Повторение теории по геометрии за 7 класс. Углы. Треугольники. Параллельные прямые

1. УГЛЫ

Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки.

Виды углов: острые (градусная мера до 90 градусов), прямые (градусная мера 90 градусов), тупые (градусная мера от 90 до 180 градусов), развернутые (градусная мера 180 градусов).

1. Смежные углы — два угла с общей вершиной, одна из сторон которых — общая, а оставшиеся стороны лежат на одной прямой (не совпадая).

2. Свойство смежных углов. Сумма смежных углов равна 180

3. Какие углы называются вертикальными? Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла.

4. Свойство вертикальных углов. Вертикальные углы равны.

Углы 1,2 – смежные и 3,4 - смежные

2 Углы 1,4 – вертикальные и 2,3

4

1

3

2. ТРЕУГОЛЬНИК

1. Какая фигура называется треугольником? Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами, а отрезки – сторонами треугольника.

2. Какие неравенства выполняются в треугольнике? Неравенство треугольника вытекает из важной теоремы, о сторонах и углах треугольника. Теорема 1: Против большей стороны в треугольнике лежит больший угол и, наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

Теорема 2: Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Теорема 3: Каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон.

Следствие: Для любых трех точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства: АВ АС+СВ, АС АВ+ВС, ВС ВА+АС.

1. Дать определение внешнего угла треугольника. Внешний угол треугольника – это угол, смежный с любым из внутренних углов треугольника.

2. Свойство внешнего угла треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов не смежных с ним.

1. Какие отрезки можно провести внутри треугольника?

2. Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, расположенной напротив данной вершины.

3. Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

4. Биссектриса треугольника — это отрезок биссектрисы угла треугольника, проведенной из данной вершины, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне.

1. Какие треугольники называются равными? Равные треугольники – два треугольника, стороны и углы которых соответственно равны.

2. Перечислите признаки равенства треугольников. СУС, УСУ, ССС

1. Дать определение равнобедренного треугольника. Равнобедренный треугольник — это треугольник, в котором две стороны равны между собой по длине. Равные стороны называются боковыми, а последняя основанием.

2. Свойство равнобедренного треугольника.

Теорема 1: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Теорема 2: в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Поскольку биссектрисой, высотой и медианой является один и тот же отрезок, то справедливы и следующие утверждения:

- Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

- Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

1. Признак равнобедренного треугольника.

Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Если в треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой, то треугольник равнобедренный.

Если в треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой, то треугольник равнобедренный.

Если в треугольнике медиана, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой то треугольник равнобедренный.

1. Какой треугольник называется прямоугольным? Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого один из углов прямой, два других острые.

2. Как называются стороны прямоугольного треугольника? Стороны прямоугольного треугольника - сторона, лежащая против угла в 90гр называется гипотенузой, две остальные стороны называются катетами.

3. Перечислите свойства прямоугольного треугольника.

Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна   

Если в прямоугольном треугольнике один из углов равен  , то такой треугольник – равнобедренный.

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла  , равен половине гипотенузы

Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол напротив этого катета равен  .

В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Если гипотенуза и прилежащий к ней острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и прилежащему острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

Если катет и гипотенуза одного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого треугольника, такие прямоугольные треугольники равны.

3. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ

1. Параллельные прямые – это две прямые в пространстве, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются.

2. Как называются углы, образованные пересечением двух прямых секущей? При пересечении двух прямых секущей образуются накрест лежащие, односторонние и соответственные углы.

3. Сформулировать свойства параллельных прямых.

Если две прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны

Следствие: если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй.

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.

1. Сформулировать признаки параллельных прямых.

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

1. Аксиома параллельных прямых

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Следствия из аксиомы параллельных прямых:

1. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

1. Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Следствие: Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.