Построение графиков функций и уравнений, содержащих знак модуля

Урок математики даёт учитель МОУ гимназии №1

г. Благовещенска Амурской области

Ситникова Людмила Геннадьевна.

Урок по теме: «Построение графиков функций и уравнений, выражение которых содержит знак модуля» на основе проблемно-исследовательской технологии.

Тип урока: изучение нового материала.

Оборудование:

• раздаточный материал – карточки для разноуровневой самостоятельной работы по выбору учащихся; карточки для индивидуальной работы и конверт с двухуровневыми указаниями для их решения,

• компьютерные презентации, выполненные творческой группой учащихся,

• мультипроектор.

Предварительные знания и умения учащихся:

На предыдущих уроках ученики изучили свойства и график дробно-линейной функции.

Цели урока:

• создать условия для самостоятельного поиска, осознания и осмысления методов построения графиков уравнений с модулями;

• способствовать обучению школьников умению определять черты сходства и различия, обобщать изучаемые объекты, а также выдвигать гипотезу и обосновывать своё предположение;

• воспитание культуры учебного труда, наблюдательности, самостоятельности и настойчивости в достижении поставленной цели.

Ход урока.

1. Актуализация ранее изученного материала, постановка целей урока.

Задание 1.

-Пусть функция задана уравнением у = f(x). Используя его, запишите всевозможные уравнения, выражение которых содержит знак модуля. (Ребята ведут записи на выданных больших листах бумаги. Работа идёт в парах.)

- у = |f(x)|, y = f(|x|), |y| = f(x), y = |f(|x|)|, |y| = f(|x|), |y| = |f(x)|, |y| = |f(|x|).

Листы по желанию вывешиваются на доску. Их обсуждают.

Задание 2.

- Запишите всевозможные уравнения с модулями, которые можно составить, используя дробно-линейную функцию Y = Х / Х + 1.

- Y = ‌| X / X+1 | , Y = |X| / |X| + 1 , |Y| = X / X+1, |У| =|Х / Х+1|, |У| = |Х| / |Х|+1 и т. д.

Ученики демонстрируют листы с выполненными заданиями и обсуждают возможные варианты уравнений, содержащих знак модуля.

Ученики вместе с учителем формулируют цели урока:

- Самостоятельно «открыть» методы построения графиков уравнений, содержащих знак модуля.

- Сформулировать алгоритм построения графиков уравнений с модулями. Развивать наблюдательность, умение анализировать, делать выводы, обобщать.

- Какую теорию необходимо для этого повторить?

- Определение и свойства модуля, определения функции и уравнения, графика функции и уравнения.

( Повторяют необходимую теорию).

2) Изучение нового материала. Исследовательская работа в группах.

Задание 3.

-Я предлагаю вам разделиться на 4 научно-исследовательские лаборатории (НИЛ) и самостоятельно провести исследовательскую работу. Цель исследования – найти способы построения графиков уравнений с модулями. Выберите уравнение, над графиком которого вы хотите работать и займите место, приготовленное для вашей лаборатории. Постарайтесь сформулировать общий алгоритм для построения графиков уравнений вашего вида. Обоснуйте предложенный алгоритм.

Ученики занимают места в соответствии с выбранными уравнениями.

- Группа учащихся «Поиск», занимавшаяся дома по индивидуальному плану, получает конверт с особым заданием.

В каждой «лаборатории» выбирается старший научный сотрудник, который руководит исследованиями и оценивает работу членов группы.

НИЛ №1. Уравнение У = | X / X+1 |.

Так как У= Х / Х+1 = (X+1–1)/(X+1) = -1/(X+1) + 1,

то построим сначала график функции

У= -1/(X+1) + 1 с асимптотами Х= -1 и У=1.

Там, где график идёт выше оси абсцисс, f(x)0, а

значит | f(x) | =f(x), график У=|X / X+1| совпадает с

графиком У= Х / Х+1. Там, где f(x)

идёт ниже оси абсцисс), | f(x) | = -f(x), значит на

этом участке нужно у каждой точки графика

У= Х / Х+1 поменять знак ординаты, т. е. отразить

эту часть графика относительно оси абсцисс.

НИЛ №2. Уравнение У = |Х| / |Х|+1.

Построим сначала график функции У = Х / Х+1.

Так как для положительных значений аргумента

|Х| = Х, то справа от нуля график функции

У = |Х| / |Х|+1 совпадает с графиком функции

У = Х / Х+1. Чтобы получить левую половину

искомого графика, заметим, что функция

У = |Х| / |Х|+1 чётная. Значит, левая половина

графика получается из его правой половины

зеркальным отражением относительно оси

ординат.

НИЛ №3. Уравнение |У| = Х / Х + 1.

В тех точках, где Х / Х+1

теряет смысл, так как |У| 0 или |У| = 0.

Рассмотрим уравнение при условии, что Х /Х+10.

По определению модуля:

У = Х / Х+1 при У0 или У = 0;

У = - Х / Х+1 при У

У = Х / Х=1 выделим те участки, где У0 или

У = 0, а затем достроим к ним их отражения

относительно оси абсцисс.

После обсуждения задания в группах, учащиеся выступают перед классом с результатом своих исследований, обобщают результаты своих наблюдений для всех уравнений данного типа. Формулируют и обосновывают алгоритм построения графиков на основании определения и свойств модуля. Полученные выводы корректируются в результате сопоставления своей позиции с позициями других групп.

Задание 4.

- Запишите алгоритмы построения графиков функций |y| = f(|x|), |y| = |f(x)|.

Учащиеся обобщают способы построения графиков уравнений, содержащих знак модуля.

Ребята из лаборатории «Поиск», занимавшиеся по индивидуальной программе, показывают компьютерную презентацию своего алгоритма построения графиков уравнений, содержащих знаки модуля.

Учащиеся оценивают их работу и составляют памятку для построения графиков уравнений с модулям.

3) Первичное закрепление нового материала.

Учащиеся группы «Поиск», выполнявшие дома творческое задание, предлагают одноклассникам задания 5 и 6.

Задание 5. Игра «лови ошибку» с использованием компьютерной презентации.

- Установите ошибку в соответствии между графиками и

уравнениями.

З адание 6. Группа «Поиск» демонстрирует сказку на экране (используя компьютерную презентацию).

В одном математическом царстве жил-был король. И была у него дочь, красавица принцесса по имени Функция. Настало время выбирать принцессе жениха. Со всего света съехались к принцессе принцы. По древней традиции, чтобы стать женихом Функции, принц должен был отгадать загадку: как построить график уравнения

|y| = f(|x|) и получить волшебный цветок для принцессы? Долго ломали голову над задачей принцы Синус, Косинус, Тангенс и многие другие. Один только принц Модуль стоял в стороне и что-то чертил. Когда подошла его очередь отвечать на загадку, принц Модуль дал правильный ответ. И вскоре состоялась свадьба принца Модуля и принцессы Функции. Как принц отгадал загадку?

З АГАДКА:

Учащиеся обсуждают способы построения графика уравнения, повторяют алгоритм построения графиков уравнений, содержащих модули. Затем члены лаборатории «Поиск» выводят на экран своё решение.

4)Самостоятельная работа в парах с последующей проверкой.

Учащиеся получают карточки с печатной основой с заданиями двух видов.

- Используя график функции y = f(x), постройте графики уравнений:

1) |y| = f(x), |y| =|f(x)|, |y| =f(|x|);

2) |y| = |f(x), |y| =f(|x|).

Учащиеся выбирают вариант задания по своему желанию и выполняют его на листах с готовой системой координат, обсуждая решение в парах. При решении используются составленные памятки. Затем варианты решения демонстрируются у доски и обсуждаются с одноклассниками, даётся оценка решения. Вносятся исправления с учётом обсуждения.

5) Разбор с классом задания для группы «Поиск», работавшей по индивидуальному плану.

ЗАДАНИЕ: Найти геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению Х + |Х| = У+ |У|. (В случае затруднения группа могла получить конверт с указаниями двух уровней).

Решение.

1) При Х0 или Х=0, Х+Х=У+У, т. е. У=Х.

2) При У0 или У=0, ХУ=0.

3) При У, 0=0 - верно

при всех X

4) При Х0 или Х=0, и У

Х=0.

5) Построим ГМТ «по кусочкам».

- Почему при построении ГМТ нельзя было воспользоваться составленным в начале урока алгоритмом?

- Данное уравнение содержит одновременно переменные со знаком модуля и без него.

6) Оценка результатов работы на уроке.

Ученикам предлагается ответить на вопросы:

- Что из изученного на уроке вы считаете наиболее важным?

- Какой вид учебной работы на уроке вам показался интересным?

- Оцените работу учеников, подготовивших компьютерные презентации.

- Считаете ли вы, что цель урока достигнута?

- Ваши пожелания?

7)Домашнее задание.

- Какого вида задания нужно включить в домашнюю работу, чтобы лучше усвоить тему?

- Отредактируйте памятку методов построения графиков уравнений с модулями.

- Придумайте интересные уравнения, содержащие знак модуля, и постройте их графики.

Можете подготовить компьютерную презентацию.

Урок окончен. Спасибо за хорошую работу.

8