Построение графиков функций

Построение графиков функций

Упражнение:

Составьте верные высказывания:

Если на промежутке ,

то функция убывает на промежутке

Если на промежутке ,

− точка − точка максимума

− точка − точка минимума

− в точке экстремума нет

то функция возрастает на промежутке

– стационарные и критические точки;

– точки экстремума;

– точки пересечения графика функции с осями координат;

– точки разрыва функции.

• Если функция непрерывна на всей числовой прямой, то достаточно найти стационарные и критические точки, точки экстремума, промежутки монотонности, точки пересечения графика с осями координат и при необходимости выбрать еще несколько контрольных точек.
• Если функция определена не на всей числовой прямой, то начинать следует с нахождения области определения (если область не задана) и с указания ее точек разрыва.
• Полезно исследовать функцию на четность, поскольку график четной или нечетной функции обладает симметрией (соответственно относительно оси или относительно начала координат), и, следовательно, можно сначала построить только ветвь графика при , а затем дорисовать симметричную ветвь.
• Если, то прямая является горизонтальной асимптотой графика функции .
• Если , при , , то − вертикальная асимптота графика функции .

Построить график функции

.

Решение:

1. .

2.

2. ,

2. − ни четная, ни нечетная

3. вертикальной асимптоты нет

горизонтальной асимптоты нет

4. ,

4.

min

max

5.

Построить график функции

.

Решение:

1.

2.

2. функция четная

3. − вертикальные асимптоты

– горизонтальная асимптота

4.

4.

Не сущ.

Не сущ.

Не сущ.

Не сущ.

0

0

max

Схема исследования функции для построения графика:

• Находим .
• Проверяем функцию на четность или нечетность.
• Находим асимптоты графика функции, если они есть.
• Находим промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремума функции.
• Находим точки пересечения графика функции с осями координат.
• Строим таблицу значений функции для некоторых точек.
• Отмечаем на координатной плоскости найденные точки, соединяем их и получаем график исходной функции.