Пособие Механические колебания

ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НОВОСИБИРСКОЙ ОБЛАСТИ «КУПИНСКИЙ МЕДИЦИНСКИЙ ТЕХНИКУМ»

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

Для самостоятельной работы студентов

По дисциплине: ФИЗИКА

Тема: «МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ»

Специальность: 34.02.01 Сестринское дело Курс: 1

(базовой подготовки)

Купино

2017

Рассмотрено на заседании предметной цикловой

Методической комиссии по общеобразовательным дисциплинам,

общему гуманитарному и социально-экономическому, математическому и

естественно-научному циклу

Протокол № _____ от «_____» _________20____г.

Председатель ПЦМК: _____________

Автор – составитель: преподаватель математики высшей категории Тюменцева О.Н.

Купино

2017 г

Пояснительная записка к методическому пособию

Методическое пособие предназначено для повторения теоретических и практических знаний по теме.

Цель пособия – повторить понятия: свободные, вынужденные и затухающие колебания, резонанс и подготовиться к занятию по теме «Механические колебания».

Данное пособие рекомендовано для студентов первого курса специальности 34.02.01 Сестринское дело. Пособие содержит определения основных понятий по теме механические колебания, формулы для вычисления периода, частоты, закон Гука, тест для самоконтроля и ключи к тесту.

Пособие направлено на формирование навыков самостоятельной работы с учебным материалом, формирование навыков решения задач, формирование и развитие творческого потенциала, повышение интереса к дисциплине.

Механические колебания

 В технике и окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с периодическими (или почти периодическими) процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Такие процессы называют колебательными.

   Колебания – один из самых распространенных процессов в природе и технике. Крылья насекомых и птиц в полете, высотные здания и высоковольтные провода под действием ветра, маятник заведенных часов и автомобиль на рессорах во время движения, уровень реки в течение года и температура человеческого тела при болезни, звук - это колебания плотности и давления воздуха, радиоволны - периодические изменения напряженностей электрического и магнитного полей, видимый свет - тоже электромагнитные колебания, только с несколько иными длиной волны и частотой, землетрясения - колебания почвы, биение пульса - периодические сокращения сердечной мышцы человека и т.д. 

   Колебания бывают механические, электромагнитные, химические, термодинамические и различные другие. Несмотря на такое разнообразие, все они имеют между собой много общего.

   Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям. Например, колебания тока в электрической цепи и колебания математического маятника могут описываться одинаковыми уравнениями. Общность колебательных закономерностей позволяет рассматривать колебательные процессы различной природы с единой точки зрения. Признаком колебательного движения является его периодичность.

   Механические колебания – это движения, которые точно или приблизительно повторяются через одинаковые промежутки времени.

   Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине (пружинный маятник) или шарик на нити (математический маятник).

   При механических колебаниях кинетическая и потенциальная энергии периодически изменяются.

   При максимальном отклонении тела от положения равновесия его скорость, а следовательно, и кинетическая энергия обращаются в нуль. В этом положении потенциальная энергия колеблющегося тела достигает максимального значения. Для груза на пружине потенциальная энергия – это энергия упругих деформаций пружины. Для математического маятника – это энергия в поле тяготения Земли.

   Когда тело при своем движении проходит через положение равновесия, его скорость максимальна. Тело проскакивает положение равновесия по закону инерции. В этот момент оно обладает максимальной кинетической и минимальной потенциальной энергией. Увеличение кинетической энергии происходит за счет уменьшения потенциальной энергии.

   При дальнейшем движении начинает увеличиваться потенциальная энергия за счет убыли кинетической энергии и т. д.

   Таким образом, при гармонических колебаниях происходит периодическое превращение кинетической энергии в потенциальную и наоборот.

   Если в колебательной системе отсутствует трение, то полная механическая энергия при механических колебаниях остается неизменной.

   Для груза на пружине:

   В положении максимального отклонения полная энергия мятника равна потенциальной энергии деформированной пружины:

   При прохождении положения равновесия полная энергия равна кинетической энергии груза:

   Для малых колебаний математического маятника:

   В положении максимального отклонения полная энергия мятника равна потенциальной энергии поднятого на высоту h тела:

   При прохождении положения равновесия полная энергия равна кинетической энергии тела:

   Здесь h_m – максимальная высота подъема маятника в поле тяготения Земли, x_m и υ_m = ω₀x_m – максимальные значения отклонения маятника от положения равновесия и его скорости.

   Гармонические колебания и их характеристики. Уравнение гармонического колебания.

    Простейшим видом колебательного процесса являются простые гармонические колебания, которые описываются уравнением

x = x_m cos (ωt + φ₀).

   Здесь x – смещение тела от положения равновесия,
   x_m – амплитуда колебаний, то есть максимальное смещение от положения равновесия,
   ω – циклическая или круговая частота колебаний,
   t – время.

Характеристики колебательного движения.

   Смещение х – отклонение колеблющейся точки от положения равновесия. Единица измерения – 1 метр.

   Амплитуда колебаний А – максимальное отклонение колеблющейся точки от положения равновесия. Единица измерения – 1 метр.

   Период колебаний T – минимальный интервал времени, за который происходит одно полное колебание, называется. Единица измерения – 1 секунда.

T=t/N

   где t - время колебаний, N - количество колебаний, совершенных за это время.

   По графику гармонических колебаний можно определить период и амплитуду колебаний:

   Частота колебаний ν – физическая величина, равная числу колебаний за единицу времени.

ν=N/t

   Частота – величина, обратная периоду колебаний:

   Частота колебаний ν показывает, сколько колебаний совершается за 1 с. Единица частоты – герц (Гц).

   Циклическая частота ω – число колебаний за 2π секунды.

   Частота колебаний ν связана с циклической частотой ω и периодом колебаний T соотношениями:

   Фаза гармонического процесса – величина, стоящая под знаком синуса или косинуса в уравнении гармонических колебаний φ = ωt + φ₀. При t = 0 φ = φ₀, поэтому φ₀ называют начальной фазой.

   График гармонических колебаний представляет собой синусоиду или косинусоиду.

   Во всех трех случаях для синих кривых φ₀ = 0:

красная кривая отличается от синей только большей амплитудой (x'_m  x_m);

красная кривая отличается от синей только значением периода (T' = T / 2);

красная кривая отличается от синей только значением начальной фазы (рад).

   При колебательном движении тела вдоль прямой линии (ось OX) вектор скорости направлен всегда вдоль этой прямой. Скорость движения тела определяется выражением

   В математике процедура нахождения предела отношения Δх/Δt при Δt → 0 называется вычислением производной функции x(t) по времени t и обозначается как x'(t).Скорость  равна производной функции х(t) по времени t.

   Для гармонического закона движения x = x_m cos (ωt + φ₀) вычисление производной приводит к следующему результату: 

   υ_х =x'(t)= ωx_m sin (ωt + φ₀)

   Аналогичным образом определяется ускорение a_x тела при гармонических колебаниях. Ускорение a равно производной функции υ(t) по времени t, или второй производной функции x(t). Вычисления дают:

   а_х=υ_х'(t) =x''(t)= -ω²x_m cos (ωt + φ₀)=-ω²x

   Знак минус в этом выражении означает, что ускорение a(t) всегда имеет знак, противоположный знаку смещения x(t), и, следовательно, по второму закону Ньютона сила, заставляющая тело совершать гармонические колебания, направлена всегда в сторону положения равновесия (x = 0).

   На рисунке приведены графики координаты, скорости и ускорения тела, совершающего гармонические колебания.

Графики координаты x(t), скорости υ(t) и ускорения a(t) тела, совершающего гармонические колебания.

Пружинный маятник.

   Пружинным маятником называют груз некоторой массы m, прикрепленный к пружине жесткости k, второй конец которой закреплен неподвижно.

Собственная частота ω₀ свободных колебаний груза на пружине находится по формуле:

   Период T гармонических колебаний груза на пружине равен

   Значит, период колебаний пружинного маятника зависит от массы груза и от жесткости пружины.

   Физические свойства колебательной системы определяют только собственную частоту колебаний ω₀ и период T. Такие параметры процесса колебаний, как амплитуда x_m и начальная фаза φ₀, определяются способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия в начальный момент времени.

   Математическим маятником называют тело небольших размеров, подвешенное на тонкой нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела.

 В положении равновесия, когда маятник висит по отвесу, сила тяжести уравновешивается силой натяжения нити N. При отклонении маятника из положения равновесия на некоторый угол φ появляется касательная составляющая силы тяжести F_τ = –mg sin φ. Знак «минус» в этой формуле означает, что касательная составляющая направлена в сторону, противоположную отклонению маятника.

Математический маятник. φ – угловое отклонение маятника от положения равновесия,

x = lφ – смещение маятника по дуге

   Собственная частота малых колебаний математического маятника выражается формулой:

   Период колебаний математического маятника:

   Значит, период колебаний математического маятника зависит отдлины нити и от ускорения свободного падения той местности, где установлен маятник.

Свободные и вынужденные колебания.

   Механические колебания, как и колебательные процессы любой другой физической природы, могут быть свободными и вынужденными.

   Свободные колебания – это колебания, которые возникают  в системе под действием внутренних сил, после того, как система была выведена из положения устойчивого равновесия.

   Колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными колебаниями.

   Для того, чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению.

   В реальных условиях любая колебательная система находится под воздействием сил трения (сопротивления). При этом часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию теплового движения атомов и молекул, и колебания становятся затухающими.

   Затухающими называют колебания, амплитуда которых уменьшается со временем.

   Чтобы колебания не затухали, необходимо сообщать системе дополнительную энегрию, т.е. воздействовать на колебательную систему периодической силой (например, для раскачивания качели).

   Колебания, совершающиеся под воздействием внешней периодически изменяющейся силы, называются вынужденными.

   Внешняя сила совершает положительную работу и обеспечивает приток энергии к колебательной системе. Она не дает колебаниям затухать, несмотря на действие сил трения.

   Периодическая внешняя сила может изменяться во времени по различным законам. Особый интерес представляет случай, когда внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону с частотой ω, воздействует на колебательную систему, способную совершать собственные колебания на некоторой частоте ω₀.

   Если свободные колебания происходят на частоте ω₀, которая определяется параметрами системы, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте ω внешней силы.

   Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты собственных колебаний с частотой внешней вынуждающей силы называется резонансом.

   Зависимость амплитуды x_m вынужденных колебаний от частоты ω вынуждающей силы называется резонансной характеристикой или резонансной кривой.

Резонансные кривые при различных уровнях затухания:

1 – колебательная система без трения; при резонансе амплитуда x_m вынужденных колебаний неограниченно возрастает;

2, 3, 4 – реальные резонансные кривые для колебательных систем с различным трением.

   В отсутствие трения амплитуда вынужденных колебаний при резонансе должна неограниченно возрастать. В реальных условиях амплитуда установившихся вынужденных колебаний определяется условием: работа внешней силы в течение периода колебаний должна равняться потерям механической энергии за то же время из-за трения. Чем меньше трение, тем больше амплитуда вынужденных колебаний при резонансе.

  Явление резонанса может явиться причиной разрушения мостов, зданий и других сооружений, если собственные частоты их колебаний совпадут с частотой периодически действующей силы, возникшей, например, из-за вращения несбалансированного мотора.

Тест по теме Механические колебания

1. Какая из систем, изображенных на рисунке, не является колебательной?

1. Период свободных колебаний нитяного маятника зависит от…

   1. Массы груза.

   2. Частоты колебаний.

   3. Длины его нити.

2. Период свободных колебаний нитяного маятника равен 5 с. Чему равна частота его колебаний?

   1. 0,2 Гц Б. 20 Гц В. 5 Гц.

3. Какое перемещение совершает груз, колеблющийся на нити, за один период?

   1. Перемещение, равное амплитуде колебаний..

   2. Перемещение, равное нулю.

   3. Перемещение, равное двум амплитудам колебаний.

4. Как изменится период колебаний математического маятника при увеличении амплитуды его колебаний в 2 раза?

   1. Увеличится в 2 раза.

   2. Уменьшится в 2 раза.

   3. Не изменится.

5. На рисунке приведены графики зависимости координаты тела от времени. Какой из графиков соответствует незатухающим колебаниям тела?

1. Как относятся длины математических маятников, если за одно и то же время первый из них совершает 20 колебаний, а второй 10 колебаний?

   1. 2:1. Б. 4:1. В. 1:4.

2. По графику зависимости координаты маятника от времени определите период колебаний маятника?

Ответы к тесту Механические колебания

Литература

1. Мякишева Г.Я., Быховцов Б.Б., Сотский Н.Н. Физика. 10-11 класс (базовый и профильный уровни)  М.: Просвещение, 20012 г 

2. Яремкевич А.П. Физика. Задачник 10-11 класс. - М.: Дрофа, 2005 г. 

Интернет-ресурсы

1. http://vschool.km.ru - Виртуальный репетитор по физике.

2. http://archive.1september.ru - Газета “1 сентября”: материалы по физике. Подборка публикаций по преподаванию физики в школе. Архив с 1997 г.

3. http://experiment.edu.ru - Физика: коллекция опытов

4. http://www.gomulina.orc.ru - Физика и астрономия: виртуальный методический кабинет.