Пособие по теме: Решение иррациональных уравнений

ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НОВОСИБИРСКОЙ ОБЛАСТИ «КУПИНСКИЙ МЕДИЦИНСКИЙ ТЕХНИКУМ»

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

Для самостоятельной работы студентов

По предмету: МАТЕМАТИКА Тема: «Решение иррациональных уравнений»

Специальность: 34.02.01 Сестринское дело Курс: 1

(базовой подготовки)

Купино

2021

Рассмотрено на заседании предметной цикловой

Методической комиссии по общеобразовательным предметам,

общему гуманитарному и социально-экономическому, математическому и

естественно-научному циклу

Протокол № _____ от «_____» _________20____г.

Автор – составитель: преподаватель математики высшей категории Тюменцева О.Н.

Купино

2021 г

Пояснительная записка к методическому пособию

Методическое пособие предназначено для повторения теоретических и практических знаний по теме.

Цель пособия – повторить понятия: иррационального числа, свойств степенной функции, методов решения уравнений и подготовится к занятию по теме «Решение иррациональных и тригонометрических уравнений».

Данное пособие рекомендовано для студентов первого курса специальности 34.02.01 Сестринское дело. Пособие содержит определения, свойства и формулы по теме: Решение иррациональных уравнений, тест для самоконтроля и ключи к тесту.

Пособие направлено на формирование навыков самостоятельной работы с учебным материалом, формирование навыков решения задач, формирование и развитие творческого потенциала, повышение интереса к предмету.

Решение иррациональных уравнений

Определение иррационального уравнения

Для начала нам необходимо понять, что же такое иррациональное уравнение. Иррациональными называются такие уравнения, в которых переменная стоит под знаком корня. Приведём примеры иррациональных уравнений:

Примеры решения иррациональных уравнений

Теперь решим вышеприведенные уравнения.

Нам необходимо возвести обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня.

Необходимость проверки корней после решения иррационального уравнения

Таким образом мы видим, что, решая иррациональные уравнения, нам необходимо всегда делать проверку полученных корней. Для того чтобы понять, почему это происходит, давайте решим ещё один пример.

Решаем по уже известной нам схеме и возводим обе части в квадрат.

Не забываем, что мы решили квадратное уравнение и нашли его корни, а не корни исходного иррационального уравнения. Чтобы проверить, подходят ли они нам, делаем проверку.

Проверка:

Мы видим, что равенство получилось неверное, значит,   – не корень исходного иррационального уравнения.

Видим, что равенство получилось верное, поэтому   – корень исходного уравнения.

Ответ: 

Решение иррациональных квадратных уравнений

Теперь вернёмся к нашему вопросу, почему же необходимо проверять корни.

Для этого рассмотрим один не большой, но наглядный пример:

Однако если мы обе части возведём в квадрат, то получим:

Т. е. мы из неверного неравенства получили верное: если после возведения в квадрат числа равны, это не значит, что исходные числа тоже равны (именно поэтому корни уравнений необходимо проверять).

Рассмотрим необходимость проверки корней с другой стороны:

Пусть мы имеем иррациональное уравнение, где  . Решаем его так же, как и предыдущие примеры, т. е. возводим обе части в квадрат  . Далее предположим, что мы решили это уравнение и получили корни.

Откуда же берутся посторонние корни?   

Полученное уравнение будет правильным тогда и только тогда, когда хотя бы одна из

скобок равна 0, т. е.  =  . Посмотрим на всё решение: нам необходимо было решить исходное уравнение  , мы его решили и нашли, что  , однако вместе с этим мы также получили решение  , которое не является решением, именно поэтому при решении иррациональных уравнений мы делаем проверку, чтобы понять какой из корней является непосредственно решением нашего исходного уравнения. Таким образом мы можем сделать следующий вывод: из равенства квадратов не следует равенство аргументов, однако из равенства аргументов следует равенство квадратов.

 = 

Проверка

Мы знаем, что квадратный корень – величина неотрицательная, поэтому не будем вычислять значение под его знаком, а просто скажем, что  . Тогда, по определению квадратного корня, также такое неравенство должно выполняться   . Теперь подставим полученное нами первое значение  :   – это неравенство неверно, поэтому можем сразу сказать, что   не является корнем исходного иррационального уравнения.

Сделаем аналогично со вторым корнем:   :   неверное неравенство, поэтому корень   также не является корнем исходного иррационального квадратного уравнения.

Таким образом, получается, что в данном уравнении нет корней.

Ответ: корней нет.

Главная особенность решения иррациональных уравнений: если мы возводим иррациональное уравнение в квадрат, то  после нахождения корней вторичного уравнения мы обязаны проверить, являются ли эти корни корнями исходного иррационального уравнения.

Вывод

Итак, мы с вами на данном уроке познакомились с иррациональными квадратными уравнениями, познакомились со способами решения простейших иррациональных квадратных уравнений. Выучили, что некоторые корни при решении могут оказаться неверными, а для того чтобы избежать неправильного ответа, нам необходимо всегда после полного решения уравнения делать проверку. Также мы объяснили, почему мы можем получить неверные (посторонние) корни: из равенства квадратов не следует равенство аргументов, однако из равенства аргументов следует равенство квадратов.

И самое главное: после решения иррационального уравнения всегда необходима проверка корней методом их подстановки в исходное уравнение.

Тест по теме Решение иррациональных уравнений1

1. Решите уравнение 

A) 1

B) – 2

C) 2

D) -1

E) 0

2. Решите уравнение 

A) 1

B) -2

C) 2

D) - 1

E) 0

3. Решите уравнение . 

A) 1

B) - 2

C) 2

D) -1

E) 0

4. Найдите сумму корней уравнения 

A) 10

B) 12

C) 13

D) 11

E) 14

5. Решите уравнение 

A) 8

B) −8

C) ± 8

D) 5

E) - 5

6. Укажите количество корней уравнения 

A) 1

B) 2

C) 3

D) нет корней

E) 4

7. Найдите значение выражения  , если х₀- корень уравнения 

A) −1

B) 3

C) −3

D) −2

E) 2

8. Решите уравнение 

A) 12

B) 6

C) – 6

D) 4

E) −4

9. Найдите корень уравнения .

A) 6

B) - 6

C) 9

D) −9

E) 0

10. Укажите промежуток , которому принадлежат все корни уравнения .

A) (−∞; −6]

B) [−6; 0)

C) (−∞; −6) (0;3)

D) _{ }

E) (−6; 6)

11. Решите уравнение .

A) 2

B) −1

C) − 2

D)

E) −

12. Найти разность корней уравнения .

A) 1

B) 2

C) 0

D) 3

E) 4

13. Найдите корни уравнения 

A) 3

B)

C) 7

D) −3

E)

14. Укажите количество корней уравнения 

A) 1

B) 2

C) 3

D) нет корней

E) 4

15. Найдите корень уравнения 

A) 2

B) 1

C) 2

D) 1

E)

16. Решите уравнение .

A) -

B)

C) - 2 ;

D) ; 2

E) 2

17. Найдите сумму квадратов корней уравнения .

A) 4

B) 13

C) 16

D) 20

E) 26

18. Укажите промежуток, которому принадлежат все корни уравнения

A) (−2; 0)

B) (−∞; 2)

C) (−2; 2)

D) (2; +∞)

E) (−∞; −2)

19. Укажите промежуток, которому принадлежат все корни уравнения .

A) (−∞; 2)

B) (-2;0)

C) (−2; +∞)

D) (−2; 0) (0;2).

E) (−∞; -2)

20. Решите уравнение , в ответе укажите меньший корень.

A) 0

B) −4

C) 4

D) −3

E) 3

Ответы к тесту

Критерии оценивания тестовых заданий

20 вопросов 5 (отлично) (20-18 ответов)

20 вопросов 4 (хорошо) (17-16 ответов)

20 вопросов 3 (удов) (15-14 ответов)

Литература

1. Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М.: 2018

2. Башмаков М.И. Сборник задач: учеб. пособие (базовый уровень). 11 кл. – М.: 2012

Интернет-ресурсы

1. http://school-collection.edu.ru – Электронный учебник «Математика в

школе, XXI век».

1. http://fcior.edu.ru - информационные, тренировочные и контрольные материалы.

2. www.school-collection.edu.ru – Единая коллекции Цифровых образовательных ресурсов