Показательная функция и ее применение в других областях науки

УРОК МАТЕМАТИКИ

В 11 КЛАССЕ

2017 ГОД

Учитель математики высшей квалификационной категории Кириллова Клавдия Мулахметовна

Рост древесины происходит по закону, где: A - изменение количества древесины во времени; A 0 - начальное количество древесины; t -время, к, а- некоторые постоянные.

А = А 0 а к * t

А

A n

A 3

A 2

A 1

A 0

0

t

t n

t 3

t 2

t 1

t 0

Давление воздуха убывает с высотой по закону, где: P - давление на высоте h, P 0 - давление на уровне моря, а - некоторая постоянная.

P

T = const

P 0

P 1

P 2

P 3

P = P 0 * a -k * h

0

h

h 3

h 2

h 1

h n

h 0

Существенное свойство этих процессов

состоит в том, что

за равные промежутки времени значение величины изменяется

в одном и том же отношении

Процессы органического изменения величин

Рост древесины

Давление воздуха

А = А 0 а к * t

P = P 0 * a -k * h

Показательная функция , ее свойства и график. Применение.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

ГРАФИК

СВОЙСТВА

ПРИМЕНЕНИЯ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Функция вида

называется показательной , где а - основание, а х – показатель степени.

ГРАФИК ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ

СВОЙСТВА ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ

Свойства функции:

y

1

x

Задание A1

Из предложенного списка функций, выбрать ту функцию, которая является показательной:

• y = 2x;

• y = x 2 ;
• y = 2 x ;
• y = 7 √ x.

Задание A1

Из предложенного списка функций, выбрать ту функцию, которая является показательной:

• y = 2x;

• y = x 2 ;

• y = 2 x ;

• y = 7 √ x.

Задание A2

Укажите вид графика для функции

y

y

1

1

x

x

В

А

Задание A3

Дан график функции. Укажите эту функцию.

y

3. y = 2 x

1

x

Задание A3

Дан график функции. Укажите эту функцию.

y

3. y = 2 x

1

x

Задание A4

Выберите функцию возрастающую на

Задание A4

Выберите функцию возрастающую на

Задание A5

• х = 2

• х = 0

• х = - 4

• нет корней

5. нет корней

Решите

уравнения:

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

№4. m n № 5. a 1 №6. б) № 1. а) возрастает б) убывает в) возрастает г) убывает № 2. б) №3. а) б) №4. m n № 5. 0 №6. г) " width="640"

ОТВЕТЫ

2 вариант

1 вариант

№ 1. а) возрастает

б) убывает в) убывает г) возрастает

№ 2. г) №3. а)

б) №4. m n

№ 5. a 1 №6. б)

№ 1. а) возрастает

б) убывает в) возрастает г) убывает

№ 2. б) №3. а)

б) №4. m n

№ 5. 0 №6. г)

Показательная функция в физике

Если снять кипящий чайник с огня, то сначала он быстро остывает, а потом остывание идет гораздо медленнее, это явление описывается формулой:

T =( T 1 - T 0 ) e - kt + T 1

При падении тел в безвоздушном пространстве скорость их непрерывно возрастает. При падении тел в воздухе скорость падения тоже увеличивается, но не может превзойти определенной величины. Если считать, что сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости падения парашютиста, т.е. что F=kv , то через t секунд скорость падения будет равна: v=mg/k(1-e -kt/m ), где m - масса парашютиста.

Много трудных математических задач приходится решать в теории межпланетных путешествий. Одной из них является задача об определении массы топлива, необходимого для того, чтобы придать ракете нужную скорость v. Эта масса М зависит от массы m самой ракеты (без топлива) и от скорости v 0 , с которой продукты горения вытекают из ракетного двигателя. Если не учитывать сопротивление воздуха и притяжение Земли, то масса топлива определиться формулой:

M=m(e v/v 0 -1)

ПРИМЕР ЗАДАЧИ

Определить массу топлива необходимого для достижение ракеты массой 1500 кг скорости 8000 м/с, при скорости выброса газов 2000 м/с.

Дано: m = 1500 кг

v = 8000 м/с v 0 = 2000 м/с

e – const.

______________________

M т - ?

Решение:

M т = m ( e v/v0 – 1)

M т = 1500 (2,7 8000/2000 – 1) = = 1500 (2,7 4 – 1) = 1500 * 52,14 =

= 78 216, 15 кг.

Ответ: 78 216, 15 кг.

Решение: Анализируя график, мы видим, что при цене 120 руб. за 1 кг покупатели приобретут 80000 кг персиков. Общие расходы Z покупателей составят: P x Q = Z

12 0 x 8 0 000 = 960 0000 руб.

ОТВЕТ: 9 600 000 руб.

На графике представлена кривая спроса на персики. Каковы будут общие расходы покупателей персиков при цене 120 руб. за 1 кг.

Для решения данной задачи обратимся к графику, на нем мы видим, что при цене 120 руб. за 1 кг. покупатели приобретут 80 тыс. кг персиков. Общие расходы покупателей: P * Q = Z

120 * 80 000 = 9 600 000 руб.

ОТВЕТ: 9 600 000 руб.

Ответ: ежегодный процент амортизации составляет 8,76 %

Показательная функция находит огромное применение в различных сферах экономики. Использование показательной функции облегчает работу экономистов. При чтении ее графиков можно проследить за возможными ситуациями, складывающимися в различных отраслях промышленности,

Таких как автомобилестроение, легкая, пищевая и нефтедобывающая промышленность и др.

Математические законы применяются во всех областях производственной и экономической жизни страны. Они помогают ориентироваться в настоящем и составлять прогнозы на будущее, что в значительной степени облегчает труд человечества.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ (ЕГЭ)

1. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону m = m 0 * 2 1/T , где m 0 – начальная масс изотопа, t – время, прошедшее от начального момента, Т – период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 128 мг. Период его полураспада составляет 3 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 1 мг.

Ответ: 21

2. Зависимость объема спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб. за ед.) задаётся формулой q = 70- 5 p . Выручка предприятия r ( в тыс. руб. за месяц) вычисляется по формуле r (p) = q * p . Определите наибольшую цену p , при которой месячная выручка r (p) составит не менее 240 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб. за ед.

Ответ: 8

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

В сборниках по подготовке к экзамену.

Найти и решить задачи с применением показательной функции.

СПАСИБО

ЗА

ВНИМАНИЕ