Подготовка к олимпиаде по математике.

МУНИЦИПАЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

АБАТСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 1

ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ (школьный уровень)

2013-2014 учебный год

7 КЛАСС

1. Даны числа: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45.

Впишите их в клетки девятиклеточного квадрата так, чтобы получилось в сумме одно и то же число по любой вертикали, горизонтали и диагонали.

2. Как тремя движениями ножа разрезать сыр на восемь равных кусков?

3. Цена товара дважды увеличивалась: сначала на 20%, потом – на 30%. На сколько процентов увеличилась цена товара в результате двойного повышения?

4. Вычислите наиболее рациональным способом:

101101*999-101*999999.

5. Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трех – 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах?

8 КЛАСС

1. На сколько градусов повернется часовая стрелка через 44 минуты.

2. Длина товарного поезда 500 м и он движется со скоростью 50 км/ч. За сколько минут он пройдет тоннель длиною 1 км?

3. Построить график функции:

6x, если

9, если

5x-1, если 2

4. 1997*** делится на 1996. Сколько способов существует заменить *** цифрами?

5. В группе 29 студентов. Среди них 14 любителей классической музыки, 15-джаза, 14 – народной музыки. Классическую музыку и джаз слушают 6 студентов, народную музыку и джаз – 7, классику и народную – 9. Пятеро студентов слушают всякую музыку, а остальные не любят никакой музыки. Сколько их?

9 КЛАСС

1. Даны числа: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16.

Впишите их в клетки шестнадцатиклеточного квадрата так, чтобы получилось в сумме одно и то же число по любой вертикали, горизонтали и диагонали.

2. Числитель и знаменатель дроби - положительные числа. Числитель увеличили на 1, а знаменатель на 10. Может ли увеличиться при этом дробь? Объясните.

3. В четырехугольнике ABCD углы при вершинах B и D прямые, AB=BC, BH AD, BH=1. Найдите площадь четырехугольника ABCD.

4. В одной семье было много детей. 7 из них любили капусту, 6 – морковь, 5 – горох, 4 – капусту и морковь, 3 – капусту и горох, 2 – морковь и горох, 1 – и капусту, и морковь, и горох. Сколько детей было в семье?

5. Имеется 16 различных по весу камней. Как за 22 взвешивания на чашечных весах без гирь определить самый легкий и самый тяжелый камни?

10 КЛАСС

1. Учащиеся 10 «а» и 10«б» классов отправились на экскурсию. Юношей было 16, учащихся 10«б» класса – 24, девушек 10«а» столько, сколько юношей из 10«б» класса. Сколько всего учащихся побывали на экскурсии?

1. Найдите значение выражения:

,

при b = -2011.

1. Решить уравнение: (x-y)(x+y)=21.

1. Найти последнюю цифру числа: 2²⁵⁹+5³²⁰+3²⁰⁶+4¹²⁹, подробно пояснить ход решения.

5. В треугольнике ABC из вершины В проведен отрезок ВЕ к противоположной стороне, который делит треугольник АВС на два подобных с коэффициентом подобия . Найдите углы треугольника АВС.

11 КЛАСС

1. Представьте, если можно, в виде обыкновенной дроби число 0,22(15).

2. Решите уравнение: 2 .

3. Говядина без костей стоит 240 рублей за 1 кг. Говядина с костями - 208 руб./кг., а кости без говядины – 40 руб./кг. Сколько костей в 1 кг. говядины.

4. Сколько лет человеку, если в 2012 году его возраст оказался равным сумме цифр года его рождения.

5. Решите уравнение:

7 КЛАСС

РЕШЕНИЕ

1. Даны числа: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45.

Впишите их в клетки девятиклеточного квадрата так, чтобы получилось в сумме одно и то же число по любой вертикали, горизонтали и диагонали.

Ответ:

20 45 10

15 25 35

40 5 30

2. Как тремя движениями ножа разрезать сыр на восемь равных кусков?

3. Цена товара дважды увеличивалась: сначала на 20%, потом – на 30%. На сколько процентов увеличилась цена товара в результате двойного повышения?

Решение:

Пусть x – первоначальная цена товара,

1,2 x – цена после первого повышения,

1,3(1,2x)- цена после второго повышения, 1,3*1,2x=1,56x, значит на 56%.

ОТВЕТ: на 56 %.

4. Вычислите наиболее рациональным способом:

101101*999-101*999999.

Решение:

101101*999-101*999999=(101*1001)*99-101*(999*1001)=0

5. Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трех – 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах?

Решение:

Всеми тремя спортивными снарядами владеют три человека, значит, в общей части кругов вписываем число 3. На скейтборде и на роликах умеют кататься 10 человек, а 3 из них катаются еще и на сноуборде. Следовательно, кататься только на скейтборде и на роликах умеют 10-3=7 ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8-3=5 ребят, а только на сноуборде и на роликах 5-3=2 человека. Внесем эти данные в соответствующие части. Определим теперь, сколько человек умеют кататься только на одном спортивном снаряде. Кататься на сноуборде умеют 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими снарядами, следовательно, только на сноуборде умеют кататься 20 ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде умеют кататься 13 ребят, а только на роликах – 30 ребят. По условию задачи всего 100 ребят. 20+13+30+5+7+2+3=80 – ребят умеют кататься хотя бы на одном спортивном снаряде. Следовательно, 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.

Ответ. 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.

8 КЛАСС

РЕШЕНИЕ

1. На сколько градусов повернется часовая стрелка через 44 минуты.

60 мин - 30º

44 мин – x, значит 44*30/60=22.

Ответ: 22º.

1. Длина товарного поезда 500 м и он движется со скоростью 50 км/ч. За сколько минут он пройдет тоннель длиною 1 км?

1,5/50*60=1,8 минуты.

Ответ: 1,8 мин.

3. Построить график функции:

6x, если

9, если

5x-1, если 2

Решение:

y

4. 1997*** делится на 1996. Сколько способов существует заменить *** цифрами?

Решение: способ только один 996, то есть 1997996. Если бы существовали другие способы, то числа отличались бы от этого числа по крайней мере на 1996, т.е. первые четыре цифры не совпадали бы с 1997 .

5. В группе 29 студентов. Среди них 14 любителей классической музыки, 15-джаза, 14 – народной музыки. Классическую музыку и джаз слушают 6 студентов, народную музыку и джаз – 7, классику и народную – 9. Пятеро студентов слушают всякую музыку, а остальные не любят никакой музыки. Сколько их?

9 КЛАСС

РЕШЕНИЕ

1. Даны числа: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16.

Впишите их в клетки шестнадцатиклеточного квадрата так, чтобы получилось в сумме одно и то же число по любой вертикали, горизонтали и диагонали.

Решение:

16 2 3 13

5 11 10 8

9 7 6 12

4 14 15 1

2. Числитель и знаменатель дроби - положительные числа. Числитель увеличили на 1, а знаменатель на 10. Может ли увеличиться при этом дробь? Объясните.

BH AD

4. В одной семье было много детей. 7 из них любили капусту, 6 – морковь, 5 – горох, 4 – капусту и морковь, 3 – капусту и горох, 2 – морковь и горох, 1 – и капусту, и морковь, и горох. Сколько детей было в семье?

5. Имеется 16 различных по весу камней. Как за 22 взвешивания на чашечных весах без гирь определить самый легкий и самый тяжелый камни?

10 КЛАСС

РЕШЕНИЕ

1. Учащиеся 10 «а» и 10«б» классов отправились на экскурсию. Юношей было 16, учащихся 10«б» класса – 24, девушек 10«а» столько, сколько юношей из 10«б» класса. Сколько всего учащихся побывали на экскурсии?

Ответ: 40

1. Найдите значение выражения:

, при b = -2011.

Решение: применяя формулу разности квадратов двух выражений получаем, что исходное выражение равно 1- b=1-(-2011)=2012

Ответ: 2012

1. Доказать, что число 7ⁿ⁺¹+8^2n-1 делится на 19.

Доказательство: по методу математической индукции:

1. n=1, 7²+8=57, 57 делится на 19, 57/19=3.

2. полагаем, n=k, 7^k+1+8^2k-1 делится на 19.

3. n=k+1, докажем, что 7^(k+1)+1+8^2(k+1)-1 делится на 19

7^(k+1)+1+8^2(k+1)-1=7^k+2+8^2k+1=7*7^k+1+8²* 8^2k-1=7*7^k+1+64* 8^2k-1 = =(7*7^k+1+7* 8^2k-1)+57* 8^2k-1=7(7^k+1+ 8^2k-1)+57* 8^2k-1

Первое слагаемое делится на 9 по п. 2, второе слагаемое делится на 19, т.к. 57 делится на 19. ч.т.д.

4. Сколько лет человеку, если в 2011 году его возраст оказался равным сумме цифр года рождения?

1 вар. Человек родился в 19mn году, тогда

2011-19mn=1+9+m+n

2011-1900-m-n=10+m+n

101=11m+2n

m=9, n=1, значит 1991 год, ему 20 лет.

2 вар. Человек родился в 200n году, тогда

2011-200n=2+n

2011-2000-n=2+n

11-2=2n

9=2n, решений нет

3вар. вручную 2010, 2011- не подходят.

ОТВЕТ: 20 ЛЕТ.

5

B

из вершины В проведен отрезок ВЕ к противоположной стороне, который делит треугольник АВС на два подобных с коэффициентом подобия . Найдите углы треугольника АВС.

A

Дано: треугольник ABC, BE, E на АС.

Найти: углы треугольника ABC.

Решение:

1. A= 2 ( A≠ C, так как треугольники подобны с коэффициентом , A≠ 4, так как 4 – внешний для треугольника ABE и аналогично

2. C= 1.

3. 3= 4=90^о (как смежные).

4. B= 1+ 2= C+ 2= 3=90^о

5. А=60^о, С=30^о.(через подобие с коэффициентом и тангенс углов)

Ответ: 60^о, 90^о, С=30^о. тетрадь.

11 КЛАСС

РЕШЕНИЕ

1. Представьте, если можно, в виде обыкновенной дроби число 0,22(15).

Решение: пусть x= 0,22(15)=0,221515151515……. Так как в записи этого числа до периода содержится два десятичных знака то умножаем обе части на 100,

100x= 22,15151515….. (1), период состоит из двух цифр, поэтому умножаем на 10²,

10000x=2215,1515151515…..(2).

Вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем

9900x=2193, значит 0,22(15) = 2193/9900

ОТВЕТ: 2193/9900.

2. Решите уравнение .

Перегруппируем члены уравнения:

(2

Выносим общий множитель sin x за скобки, получим

sin x( 2cos x-1) + ( 2cos x-1)=0 (2cos x-1)( sin x+1)=0.

Имеем совокупность равносильную исходному уравнению.

Итак,

ОТВЕТ: x=±

3. Говядина без костей стоит 240 рублей за 1 кг. Говядина с костями - 208 руб./кг., а кости без говядины – 40 руб./кг. Сколько костей в 1 кг. говядины.

Решение: Пусть x (кг) костей в 1 кг говядины, тогда 1-x (кг) – чистое мясо без костей,

240(1-x) +40x=208

240-240x+40x=208

200x=32

x=0,16 кг

ОТВЕТ: 0,16 кг (160 гр.)

4. Сколько лет человеку, если в 2012 году его возраст оказался равным сумме цифр года его рождения.

1 вар. Человек родился в 19mn году, тогда

2012-19mn=1+9+m+n

2012-1900-m-n=10+m+n

102=11m+2n

m=8, n=7, значит 1987 год, ему 25 лет.

2 вар. Человек родился в 200n году, тогда

2012-200n=2+n

2012-2000-n=2+n

12-2=2n

n=5, значит 2005 год, ему 7 лет

3вар. вручную 2010, 2011, 2012- не подходят.

ОТВЕТ: 7 ЛЕТ, 25 ЛЕТ.

5. Решите уравнение:

Сделаем замену y= .

Уравнение примет вид:

Уравнение равносильно системе:

, y=1, y=-3/5, с учетом y0, решением системы является y=1.

Cделаем обратную замену и возведем обе части полученного уравнения в квадрат:

_{ }=1_{ } x=1, x=-1.

Ответ: 1; -1.

Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике, 8 класс, 2010–2011 уч. год

Муниципальный этап

всероссийской олимпиады школьников

по математике

2010–2011 учебный год

8 класс

Дорогой друг! Желаем успеха!

Инструкция для учащихся

Олимпиада по математике состоит из 5 заданий. На выполнение Олимпиады отводится 4 астрономических часа. Каждое задание оценивается в 7 баллов, решение задания необходимо расписать подробно. Задания можно выполнять по своему усмотрению. Если задание не удается выполнить сразу, перейдите к следующему. Если останется время, вернитесь к пропущенным заданиям.

Калькулятором, справочной литературой пользоваться нельзя!

Задания (максимальный балл за всю работу – 35)

1. Какое слово зашифровано: 222122111121? Каждая буква заменена своим номером в русском алфавите.

(7 баллов)

1. Как вы думаете, среди четырех последовательных натуральных чисел будет  ли хотя бы одно делиться на 2? на 3? на 4? на 5?

(7 баллов)

1. В одном стакане было молоко, а в другом – столько же кофе. Из стакана молока перелили одну ложку в стакан с кофе и размешали. Затем такую же ложку смеси перелили обратно в стакан с молоком. Чего теперь больше: кофе в стакане с молоком или молока в стакане с кофе?

(7 баллов)

1. У звезды ACEBD равны углы при вершинах А и В, углы при вершинах Е и С, а также длины отрезков АС и ВЕ (см. рис.) Докажите, что АD = BD.

(7 баллов)

1. На столе лежат в ряд четыре фигуры: треугольник, круг, прямоугольник и ромб. Они окрашены в разные цвета: красный, синий, жёлтый, зелёный. Известно, что красная фигура лежит между синей и зелёной; справа от жёлтой фигуры лежит ромб; круг лежит правее и треугольника, и ромба; треугольник лежит не с краю; синяя и жёлтая фигуры лежат не рядом. Определите, в каком порядке лежат фигуры и какого они цвета.

(7 баллов)

2

Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике, 9 класс, 2010–2011 уч. год

Муниципальный этап

всероссийской олимпиады школьников

по математике

2010–2011 учебный год

9 класс

Дорогой друг! Желаем успеха!

Инструкция для учащихся

Олимпиада по математике состоит из 5 заданий. На выполнение Олимпиады отводится 4 астрономических часа. Каждое задание оценивается в 7 баллов, решение задания необходимо расписать подробно. Задания можно выполнять по своему усмотрению. Если задание не удается выполнить сразу, перейдите к следующему. Если останется время, вернитесь к пропущенным заданиям.

Калькулятором, справочной литературой пользоваться нельзя!

Задания (максимальный балл за всю работу – 35).

1. Докажите, что при любом a имеет место неравенство: 3(1+a²+a⁴)(1+a+a²)² .

(7 баллов)

1. В ряд лежат в некотором порядке семь монет (по одной с весами 1, 2, ... , 7 граммов). Для любой монеты (кроме крайних) известна сумма весов её соседей. У какого наибольшего количества монет можно гарантированно узнать вес?

(7 баллов)

1. На координатной плоскости изобразите все точки, координаты которых являются решениями уравнения: y² - |y| = x² - |x|.

(7 баллов)

1. Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его площадь пополам. В каком отношении она делит боковые стороны треугольника?

(7 баллов)

1. На доске 100*100 расставлено 100 ладей, не бьющих друг друга. Докажите, что в правом верхнем и в левом нижнем квадратах размером 50*50 расставлено равное число ладей.

(7 баллов)

1

Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике, 9 класс, 2010–2011 уч. год

Ответы и решения

Муниципальный этап

всероссийской олимпиады школьников

по математике

2010–2011 учебный год

9 класс

Ответы и решения задач

1. УСЛОВИЕ

Докажите, что при любом a имеет место неравенство: 3(1+a²+a⁴)(1+a+a²)².

РЕШЕНИЕ

Составим разность
3(1 + a² + a⁴) – (1 + a + a²)² = 3(1 – a + a²)(1 + a + a²) – (1 + a + a²)² = (1 + a + a₂)(2 – 4a + 2a²) = 2(1 + a + a²)(1 – a)² ≥ 0.
Здесь мы воспользовались разложением 1 + a² + a⁴ = 1 + 2a² + a⁴ – a² = (1 + a²)² – a² = (1 + a + a²)(1 – a + a²).

1. УСЛОВИЕ

В ряд лежат в некотором порядке семь монет (по одной с весами 1, 2, ... , 7 граммов). Для любой монеты (кроме крайних) известна сумма весов её соседей. У какого наибольшего количества монет можно гарантированно узнать вес?

ПОДСКАЗКА

Составьте соответствующие уравнения. Убедитесь, что можно выразить вес второй, четвертой и шестой монет через известные веса.

РЕШЕНИЕ

Обозначим веса монет в порядке их расположения в ряду: x₁, x₂, ... , x₇. Из условия задачи имеем уравнения: x₁ + x₃ = a₂, x₂ + x₄ = a₃, x₃ + x₅ = a₄, x₄ + x₆ = a₅, x₅ + x₇ = a₆, x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ + x₆ + x₇ = 28, где a_k - сумма весов соседей k-й монеты (k = 2, 3, 4, 5). Отсюда x₄ = a₃ + a₅ - (28 - a₂ - a₆). Значит, вес четвертой монеты установить можно. Поскольку x₂ = a₃ - х₄, x₆ = a₅ - х₄, то и веса второй и шестой монет можно узнать. С другой стороны, если монеты, лежащие в ряду, имеют веса 2, 1, 5, 7, 3, 6, 4 или 4, 1, 3, 7, 5, 6, 2, тогда суммы весов соседей каждой монеты в обоих случаях одинаковы, следовательно, гарантированно установить веса первой, третьей, пятой и седьмой монет невозможно.

ОТВЕТ: у трех монет.

1. УСЛОВИЕ

На координатной плоскости изобразите все точки, координаты которых являются решениями уравнения: y² – |y| = x² – |x|.

РЕШЕНИЕ

y² - | y| = x² - | x| y² – x² = | y| - | x| (| y| - | x|) (| y| + | x|) = | y| - | x| (| y| - | x|) (| y| + | x| - 1) = 0 | y| + | x| = 1 или | y| = | x|. См. Рис. К ответу.

ОТВЕТ: См. рис.

1. УСЛОВИЕ

Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его площадь пополам. В каком отношении она делит боковые стороны треугольника?

РЕШЕНИЕ

Площадь треугольника ABC равна двум площадям треугольника МBN . ABC ~ MBN, следовательно, , а значит, АВ = МВ.

АМ = АВ – МВ = МВ – МВ = ( – 1)МВ. – 1, следовательно,

- 1.

B

ОТВЕТ: - 1.

1. УСЛОВИЕ

На доске 100*100 расставлено 100 ладей, не бьющих друг друга. Докажите, что в правом верхнем и в левом нижнем квадратах размером 50*50 расставлено равное число ладей.

ПОДСКАЗКА

В 50 верхних строках расставлено 50 ладей, в 50 левых столбцах также расставлено 50 ладей.

РЕШЕНИЕ

Обозначим через k число ладей, которые стоят в левом верхнем квадрате 50*50. Левый верхний и правый верхний квадраты 50*50 образуют вместе 50 верхних строк, следовательно, в них расположено 50 ладей. Поэтому в правом верхнем квадрате 50*50 расположено 50-k ладей. Аналогичным образом левый верхний и левый нижний квадраты 50*50 образуют вместе 50 левых столбцов, следовательно, в них расположено 50 ладей. Поэтому в левом нижнем квадрате 50*50 расположено 50-k ладей – столько же, сколько и в правом верхнем.

3

Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике, 8 класс, 2010–2011 уч. год

Ответы и решения

Муниципальный этап

всероссийской олимпиады школьников

по математике

2010–2011 учебный год

8 класс

Ответы и решения задач

1. УСЛОВИЕ

Какое слово зашифровано: 222122111121? Каждая буква заменена своим номером в русском алфавите.

ПОДСКАЗКА

Обратите внимание: первая буква  —либо Б, либо Ф.

РЕШЕНИЕ

Для решения этой задачи выпишем буквы с номерами 1, 2, 11, 12, 21, 22. Это будут, соответственно, "А", "Б", "Й", "К", "У", "Ф". Теперь займёмся перебором вариантов. Первая буква либо "Б", либо "Ф". В первом случае далее возможны варианты "БББА", "БББЙ", "ББУБ", "ББУФ", "БФАБ", "БФК". Ни одно русское слово с таких буквосочетаний не начинается. Значит, первая буква в слове будет "Ф". Продолжим. Далее могут идти буквы "ФБУБ", "ФБУФ", "ФБАБ", "ФБАФ", "ФУББ", "ФУБУ", "ФУФА", "ФУФЙ". Среди этих сочетаний только "ФУБУ" и "ФУФА" дают надежду на нахождение искомого слова. Продолжив перебор, получим единственный возможный ответ: "ФУФАЙКА".

ОТВЕТ: ФУФАЙКА.

1. УСЛОВИЕ

Как вы думаете, среди четырех последовательных натуральных чисел будет ли хотя бы одно делиться на 2? на 3? на 4? на 5?

ПОДСКАЗКА

Обратите внимание на остатки от деления каждого из этих чисел на 2, на 3 и т.д.

РЕШЕНИЕ

Сначала рассмотрим вопрос о делимости на 4. При делении на 4 возможны четыре разных остатка: 0, 1, 2 или 3. Если первое из чисел даёт остаток 0, то оно кратно 4. Если оно даёт остаток 1, то последнее число кратно 4. Если оно даёт остаток 2, то третье число кратно 4. И, если оно даёт остаток 3, то второе число кратно 4. О делимости на 2 и 3. Рассуждая так же, как в случае делимости на 4, придём к выводу, что в обоих случаях найдётся кратное число. Теперь о делимости на 5. Если первое число даёт при делении на 5 остаток 1, то ни одно из четырех чисел не будет кратно 5 (например, если эти числа 21, 22, 23, 24). Итак, обязательно найдутся числа, кратные 2, 3, 4, но может не найтись числа, кратного 5.

ОТВЕТ: да. Да. Да. Не всегда.

1. УСЛОВИЕ

В одном стакане было молоко, а в другом – столько же кофе. Из стакана молока перелили одну ложку в стакан с кофе и размешали. Затем такую же ложку смеси перелили обратно в стакан с молоком. Чего теперь больше: кофе в стакане с молоком или молока в стакане с кофе?

РЕШЕНИЕ

Примем начальный объем жидкости в каждом стакане за 1. Таким образом, после всего в обоих стаканах имеется единичный объем кофе и единичный объем молока. Поскольку из первого стакана перелили во второй одну ложку, а затем из второго в первый перелили такую же ложку, то в конце в каждом стакане снова будет объем жидкости, равный 1. Пусть объем кофе в первом стакане после переливания равен x, а во втором стакане – y. Тогда молока во втором стакане – (1-y). Поскольку в двух стаканах всего единичный объем кофе, x+y=1. Отсюда x=1-y, т.е. кофе в стакане с молоком и молока в стакане с кофе поровну.

ОТВЕТ: поровну.

1. УСЛОВИЕ

У звезды ACEBD равны углы при вершинах А и В, углы при вершинах Е и С, а также длины отрезков АС и ВЕ (см. рис.) Докажите, что АD = BD.

РЕШЕНИЕ

В силу равенства АСК = ВЕМ получаем, что АКС = ВМЕ и АК = ВМ.

Тогда МКD = KMD и KMD будет равнобедренным. Поэтому КD = MD. Тогда AK + KD = BM + MD, а значит, AD = BD.

1. УСЛОВИЕ

На столе лежат в ряд четыре фигуры: треугольник, круг, прямоугольник и ромб. Они окрашены в разные цвета: красный, синий, жёлтый, зелёный. Известно, что красная фигура лежит между синей и зелёной; справа от жёлтой фигуры лежит ромб; круг лежит правее и треугольника, и ромба; треугольник лежит не с краю; синяя и жёлтая фигуры лежат не рядом. Определите, в каком порядке лежат фигуры и какого они цвета.

РЕШЕНИЕ

Для удобства изложения повторим все условия задачи: 1) красная фигура  — между синей и зелёной; 2) справа от жёлтой фигуры  — ромб; 3) круг  — правее и треугольника, и ромба; 4) треугольник  — не с краю; 5) синяя и жёлтая фигуры  — не рядом. Поскольку красная фигура лежит между синей и зелёной (условие 1), а жёлтая  — не рядом с синей (условие 5), то возможны только два варианта расположения фигур по цвету: "синяя, красная, зелёная, жёлтая" или "жёлтая, зелёная, красная, синяя". Первый из приведённых вариантов неверен, поскольку по условию 2 жёлтая фигура не может лежать на правом крае. Остаётся только одна возможность расположения фигур по цветам: "жёлтая, зелёная, красная, синяя". Из условия 2 сразу же определяется, что ромб зелёный. Отсюда и из условия 4 следует, что треугольник красный. В свою очередь отсюда и из условия 3 следует, что круг синий. Значит, прямоугольник может быть только жёлтым. Окончательный ответ: жёлтый прямоугольник, зелёный ромб, красный треугольник, синий круг.

ОТВЕТ: жёлтый прямоугольник, зелёный ромб, красный треугольник, синий круг.

3

Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике, 11 класс, 2010–2011 уч. год

Пояснительная записка

Муниципальный этап

всероссийской олимпиады школьников по математике

2010–2011 учебный год

11 класс

Пояснительная записка

Олимпиадная работа состоит из пяти заданий, к каждому из них предложено возможное решение. В Олимпиаду включаются задания на логическое мышление, алгебраического, геометрического, занимательного и смыслового характера.

Решение заданий возможно на основании тех знаний, которые дают школьные программы по алгебре и геометрии, а также на основании тех знаний, которые учащиеся приобретают на факультативных, кружковых занятиях, элективных курсах и т. д.

1. Решение каждой задачи оценивается в 7 баллов. Жюри не имеет права изменять «цену» задачи. В случаях, не предусмотренных прямо дополнительными указаниями по проверке и оценке задачи, ее решение оценивается по следующим правилам:

Решение считается неполным в следующих случаях:

• если оно содержит основные идеи, но не доведено до конца;

• если оно при верной общей схеме рассуждений содержит пробелы, т. е. явно или скрыто опирается на недоказанные утверждения, которые нельзя счесть известными или очевидными;

• если оно требует разбора нескольких возможных случаев, большая часть из которых разобрана, но некоторые упущены.

При расхождении между общими и дополнительными указаниями применяются дополнительные.

2. При оценке решений на Олимпиаде учитывается только их правильность, полнота, обоснованность, идейность и оригинальность. Нельзя снижать оценку за «нерациональность» решения. Ни при каких обстоятельствах нельзя снижать оценку за нетиповое оформление решения, исправления, помарки и т. д.

3. Оценивая олимпиадные работы, следует отличать принципиальные (прежде всего логические) ошибки от технических, каковыми являются, например, вычислительные ошибки в не вычислительной задаче (алгебраические в вычислительной задаче часто являются принципиальными). Технические ошибки, не искажающие логику решения, следует приравнивать к недочетам.

4. При обосновании решений не следует требовать большего уровня строгости, чем принято в обычной школьной практике для соответствующего класса. Умение хорошо изложить решение надо поощрять, но умение хорошо догадываться на Олимпиаде все же должно цениться выше.

Если участник владеет нужным обоснованием, но не может связно изложить его, роль обоснования могут в известной мере сыграть черновые записи и рисунки, раскрывающие ход мыслей автора. Поэтому при проверке надо просматривать все черновики, причем недостатки, которых нет в чистовике, не учитываются, но учитывается все, что может улучшить чистовик. Еще эффективнее в этом отношении проверка работы в присутствии автора. При небольшом числе участников это вполне возможно.

5. Ответ, найденный логическим путем, обычно оценивается выше, чем найденный слепым подбором.

На выполнение олимпиадных заданий отводится 4 астрономических часа (240 минут).

Максимальная оценка всей работы – 35 баллов.

Присуждение призовых мест

Победителем муниципального этапа Олимпиады признается участник муниципального этапа Олимпиады, набравший наибольшее количество баллов, составляющее более половины от максимально возможных.

Все участники муниципального этапа Олимпиады, которые набрали одинаковое наибольшее количество баллов, составляющее более половины от максимально возможных, признаются победителями.

В случае, когда ни один из участников муниципального этапа Олимпиады не набрал более половины от максимально возможных баллов, определяются только призеры.

В случае, когда у участника муниципального этапа Олимпиады, определяемого в пределах установленной квоты победителей и призеров в качестве призера, оказывается количество баллов такое же, как и у следующих за ним в итоговой таблице, решение по данному участнику и всем участникам, имеющим с ним равное количество баллов, определяется решением Жюри муниципального этапа Олимпиады.

2

Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике, 10 класс, 2010–2011 уч. год

Пояснительная записка

Муниципальный этап

всероссийской олимпиады школьников по математике

2010–2011 учебный год

10 класс

Пояснительная записка

Олимпиадная работа состоит из пяти заданий, к каждому из них предложено возможное решение. В Олимпиаду включаются задания на логическое мышление, алгебраического, геометрического, занимательного и смыслового характера.

Решение заданий возможно на основе тех знаний, которые дают школьные программы по алгебре и геометрии, а также на основании тех знаний, которые учащиеся приобретают на факультативных, кружковых занятиях, элективных курсах и т. д.

1. Решение каждой задачи оценивается в 7 баллов. Жюри не имеет права изменять «цену» задачи. В случаях, не предусмотренных прямо дополнительными указаниями по проверке и оценке задачи, ее решение оценивается по следующим правилам:

Решение считается неполным в следующих случаях:

• если оно содержит основные идеи, но не доведено до конца;

• если оно при верной общей схеме рассуждений содержит пробелы, т. е. явно или скрыто опирается на недоказанные утверждения, которые нельзя счесть известными или очевидными;

• если оно требует разбора нескольких возможных случаев, большая часть из которых разобрана, но некоторые упущены.

При расхождении между общими и дополнительными указаниями применяются дополнительные.

2. При оценке решений на Олимпиаде учитывается только их правильность, полнота, обоснованность, идейность и оригинальность. Нельзя снижать оценку за «нерациональность» решения. Ни при каких обстоятельствах нельзя снижать оценку за нетиповое оформление решения, исправления, помарки и т. д.

3. Оценивая олимпиадные работы, следует отличать принципиальные (прежде всего, логические) ошибки от технических, каковыми являются, например, вычислительные ошибки в не вычислительной задаче (алгебраические в вычислительной задаче часто являются принципиальными). Технические ошибки, не искажающие логику решения, следует приравнивать к недочетам.

4. При обосновании решений не следует требовать большого уровня строгости, чем принято в обычной школьной практике для соответствующего класса. Умение хорошо изложить решение надо поощрять, но умение хорошо догадываться на Олимпиаде все же должно цениться выше.

Если участник владеет нужным обоснованием, но не может связно изложить его, роль обоснования могут в известной мере сыграть черновые записи и рисунки, раскрывающие ход мыслей автора. Поэтому при проверке надо просматривать все черновики, причем недостатки, которых нет в чистовике, не учитываются, но учитывается все, что может улучшить чистовик. Еще эффективнее в этом отношении проверка работы в присутствии автора. При небольшом числе участников это вполне возможно.

5. Ответ, найденный логическим путем, обычно оценивается выше, чем найденный слепым подбором.

На выполнение олимпиадных заданий отводится 4 астрономических часа (240 минут).

Максимальная оценка всей работы – 35 баллов.

Присуждение призовых мест

Победителем муниципального этапа Олимпиады признается участник муниципального этапа Олимпиады, набравший наибольшее количество баллов, составляющее более половины от максимально возможных.

Все участники муниципального этапа Олимпиады, которые набрали одинаковое наибольшее количество баллов, составляющее более половины от максимально возможных, признаются победителями.

В случае, когда ни один из участников муниципального этапа Олимпиады не набрал более половины от максимально возможных баллов, определяются только призеры.

В случае, когда у участника муниципального этапа Олимпиады, определяемого в пределах установленной квоты победителей и призеров в качестве призера, оказывается количество баллов такое же, как и у следующих за ним в итоговой таблице, решение по данному участнику и всем участникам, имеющим с ним равное количество баллов, определяется решением жюри муниципального этапа Олимпиады.

2

Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников, 9 класс, 2010–2011 уч. год

Пояснительная записка

Муниципальный этап

всероссийской олимпиады школьников по математике

2010–2011 учебный год

9 класс

Пояснительная записка

Олимпиадная работа состоит из пяти заданий, к каждому из них предложено возможное решение. В Олимпиаду включаются задания на логическое мышление, алгебраического, геометрического, занимательного и смыслового характера.

Решение заданий возможно на основании тех знаний, которые дают школьные программы по алгебре и геометрии, а также на основе тех знаний, которые учащиеся приобретают на факультативных, кружковых занятиях, элективных курсах и т. д.

1. Решение каждой задачи оценивается в 7 баллов. Жюри не имеет права изменять «цену» задачи. В случаях, не предусмотренных прямо дополнительными указаниями по проверке и оценке задачи, ее решение оценивается по следующим правилам:

Решение считается неполным в следующих случаях:

• если оно содержит основные идеи, но не доведено до конца;

• если оно при верной общей схеме рассуждений содержит пробелы, т. е. явно или скрыто опирается на недоказанные утверждения, которые нельзя счесть известными или очевидными;

• если оно требует разбора нескольких возможных случаев, большая часть из которых разобрана, но некоторые упущены.

При расхождении между общими и дополнительными указаниями применяются дополнительные.

1. При оценке решений на Олимпиаде учитывается только их правильность, полнота, обоснованность, идейность и оригинальность. Нельзя снижать оценку за «нерациональность» решения. Ни при каких обстоятельствах нельзя снижать оценку за нетиповое оформление решения, исправления, помарки и т. д.

2. Оценивая олимпиадные работы, следует отличать принципиальные (прежде всего логические) ошибки от технических, каковыми являются, например, вычислительные ошибки в не вычислительной задаче (алгебраические в вычислительной задаче часто являются принципиальными). Технические ошибки, не искажающие логику решения, следует приравнивать к недочетам.

3. При обосновании решений не следует требовать большего уровня строгости, чем принято в обычной школьной практике для соответствующего класса. Умение хорошо изложить решение надо поощрять, но умение хорошо догадываться на Олимпиаде все же должно цениться выше.

4. Если участник владеет нужным обоснованием, но не может связно изложить его, роль обоснования могут в известной мере сыграть черновые записи и рисунки, раскрывающие ход мыслей автора. Поэтому при проверке надо просматривать все черновики, причем недостатки, которых нет в чистовике, не учитываются, но учитывается все, что может улучшить чистовик. Еще эффективнее в этом отношении проверка работы в присутствии автора. При небольшом числе участников это вполне возможно.

1. Ответ, найденный логическим путем, обычно оценивается выше, чем найденный слепым подбором.

На выполнение олимпиадных заданий отводится 4 астрономических часа (240 минут).

Максимальная оценка всей работы – 35 баллов.

Присуждение призовых мест

Победителем муниципального этапа Олимпиады признается участник муниципального этапов Олимпиады, набравший наибольшее количество баллов, составляющее более половины от максимально возможных.

Все участники муниципального этапа Олимпиады, которые набрали одинаковое наибольшее количество баллов, составляющее более половины от максимально возможных, признаются победителями.

В случае, когда ни один из участников муниципального этапа Олимпиады не набрал более половины от максимально возможных баллов, определяются только призеры.

В случае, когда у участника муниципального этапа Олимпиады, определяемого в пределах установленной квоты победителей и призеров в качестве призера, оказывается количество баллов такое же, как и у следующих за ним в итоговой таблице, решение по данному участнику и всем участникам, имеющим с ним равное количество баллов, определяется решением жюри муниципального этапа Олимпиады.

2

Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике, 8 класс, 2010–2011 уч. год

Пояснительная записка

Муниципальный этап

всероссийской олимпиады школьников по математике

2010–2011 учебный год

8 класс

Пояснительная записка

Олимпиадная работа состоит из пяти заданий, к каждому из них предложено возможное решение. В Олимпиаду включаются задания на логическое мышление, алгебраического, геометрического, занимательного и смыслового характера.

Решение заданий возможно на основании тех знаний, которые дают школьные программы по алгебре и геометрии, а также на основании тех знаний, которые учащиеся приобретают на факультативных, кружковых занятиях, элективных курсах и т. д.

1. Решение каждой задачи оценивается в 7 баллов. Жюри не имеет права изменять «цену» задачи. В случаях, не предусмотренных прямо дополнительными указаниями по проверке и оценке задачи, ее решение оценивается по следующим правилам:

Решение считается неполным в следующих случаях:

• если оно содержит основные идеи, но не доведено до конца;

• если оно при верной общей схеме рассуждений содержит пробелы, т. е. явно или скрыто опирается на недоказанные утверждения, которые нельзя счесть известными или очевидными;

• если оно требует разбора нескольких возможных случаев, большая часть из которых разобрана, но некоторые упущены.

При расхождении между общими и дополнительными указаниями применяются дополнительные.

1. При оценке решений на Олимпиаде учитывается только их правильность, полнота, обоснованность, идейность и оригинальность. Нельзя снижать оценку за «нерациональность» решения. Ни при каких обстоятельствах нельзя снижать оценку за нетиповое оформление решения, исправления, помарки и т. д.

2. Оценивая олимпиадные работы, следует отличать принципиальные (прежде всего логические) ошибки от технических, каковыми являются, например, вычислительные ошибки в не вычислительной задаче (алгебраические в вычислительной задаче часто являются принципиальными). Технические ошибки, не искажающие логику решения, следует приравнивать к недочетам.

3. При обосновании решений не следует требовать большего уровня строгости, чем принято в обычной школьной практике для соответствующего класса. Умение хорошо изложить решение надо поощрять, но умение хорошо догадываться на Олимпиаде все же должно цениться выше.

4. Если участник владеет нужным обоснованием, но не может связно изложить его, роль обоснования могут в известной мере сыграть черновые записи и рисунки, раскрывающие ход мыслей автора. Поэтому при проверке надо просматривать все черновики, причем недостатки, которых нет в чистовике, не учитываются, но учитывается все, что может улучшить чистовик. Еще эффективнее в этом отношении проверка работы в присутствии автора. При небольшом числе участников это вполне возможно.

1. Ответ, найденный логическим путем, обычно оценивается выше, чем найденный слепым подбором.

На выполнение олимпиадных заданий отводится 4 астрономических часа (240 минут).

Максимальная оценка всей работы – 35 баллов.

Присуждение призовых мест

Победителем муниципального этапа Олимпиады признается участник муниципального этапа Олимпиады, набравший наибольшее количество баллов, составляющее более половины от максимально возможных.

Все участники муниципального этапа Олимпиады, которые набрали одинаковое наибольшее количество баллов, составляющее более половины от максимально возможных, признаются победителями.

В случае, когда ни один из участников муниципального этапа Олимпиады не набрал более половины от максимально возможных баллов, определяются только призеры.

В случае, когда у участника муниципального этапа Олимпиады, определяемого в пределах установленной квоты победителей и призеров в качестве призера, оказывается количество баллов такое же, как и у следующих за ним в итоговой таблице, решение по данному участнику и всем участникам, имеющим с ним равное количество баллов, определяется решением Жюри муниципального этапа Олимпиады.

2

Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике, 11 класс, 2010-2011 уч. год

Ответы и решения

Муниципальный этап

всероссийской олимпиады школьников

по математике

2010–2011 учебный год

11 класс

Ответы и решения задач

1. УСЛОВИЕ

В 25 коробках лежат шарики нескольких цветов. Известно, что при любом k ( 1 ≤ k ≤ 25 ) в любых k коробках лежат шарики ровно k+1 различных цветов. Докажите, что шарики одного из цветов лежат во всех коробках.

РЕШЕНИЕ

Обозначим коробки B₁ , B₂₅ . По условию, общее число цветов равно 26. Если рассмотреть все коробки, кроме B_i , то общее число цветов в них равно 25. Следовательно, есть цвет, присутствующий только в коробке B_i ; назовем его C_i . Поскольку общее число цветов – 26, остался ровно один цвет C , отличный от всех C_i . Если в какой-то коробке B_k нет шариков этого цвета, то в ней есть только шарики цвета B_k , что противоречит условию (в B_k должны быть шарики двух цветов). Значит, шарики цвета C есть во всех коробках.

1. УСЛОВИЕ

Дана геометрическая прогрессия, знаменатель которой — целое число (не равное 0 и -1). Докажите, что сумма любого числа произвольно выбранных её членов не может равняться никакому члену этой прогрессии.

Решение

Каждый член геометрической прогрессии представляется в виде aqⁿ, n ≥ 0. Случай, когда q = 1, очевиден, поэтому будем считать, что q ≠ 1. Предположим, что существуют различные целые неотрицательные числа k₁, k₂, ..., k_{m + 1} (m ≥2), для которых

aq^k₁ + aq^k₂ + ... + aq^k_m = aq^k_{m + 1}. (1)

Пусть l₁ l₂ l_{m + 1} — это числа k₁, k₂, ..., k_{m + 1}, записанные в порядке возрастания. Перепишем равенство (1) в виде

aq^l₁ = ±aq^l₂±...±aq^l_{m + 1}.

После сокращения на aq^l₁ получим

1 = q^l₂ ^{- l}₁(1 + q^l₃ ^{- l}₂ + ... + q^l_{m + 1} ^{- l}₂).

Левая часть равенства равна 1, а правая часть делится на целое число q^l₂ ^{- l}₁, абсолютная величина которого строго больше 1. Получено противоречие.

1. УСЛОВИЕ

В клетки таблицы 100×100 записаны ненулевые цифры. Оказалось, что все 100 стозначных чисел, записанных по горизонтали, делятся на 11. Могло ли так оказаться, что ровно 99 стозначных чисел, записанных по вертикали, также делятся на 11?

РЕШЕНИЕ

Предположим, что требуемая расстановка цифр возможна.
Напомним критерий делимости числа на 11: число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма его цифр, стоящих на четных местах, имеет тот же остаток при делении на 11, что и сумма цифр, стоящих на нечетных местах. Рассмотрим шахматную раскраску клеток нашей таблицы. Тогда в каждой строке сумма цифр, стоящих на черных клетках, имеет тот же остаток при делении на 11, что и сумма цифр, стоящих на белых клетках.
То есть и во всей таблице сумма цифр, стоящих на черных клетках, имеет тот же остаток при делении на 11, что и сумма цифр, стоящих на белых клетках.
Рассмотрим теперь 99 столбцов, в которых получились делящиеся на 11 числа. Для клеток этих столбцов аналогично получаем, что сумма цифр, стоящих на черных клетках, имеет тот же остаток при делении на 11, что и сумма цифр, стоящих на белых клетках.
Но тогда и в оставшемся столбце получаем, что сумма цифр, стоящих на черных клетках, имеет тот же остаток при делении на 11, что и сумма цифр, стоящих на белых клетках. Но это означает, что это число делится на 11.

ОТВЕТ: не могло.

1. УСЛОВИЕ

Числа a и b таковы, что первое уравнение системы

имеет ровно два решения. Докажите, что система имеет хотя бы одно решение.

Решение

По условию, функция y = sin x + a - b x обращается в нуль ровно в двух точках x₁ и x₂, x₁ x₂.
Эти точки разбивают числовую ось на 3 промежутка (-∞, x₁], (x₁, x₂], (x₂, +∞). Поскольку b ≠ 0, а |sin x| ≤ 1, то на промежутках (-∞, x₁) и (x₂, +∞) функция имеет разные знаки. Поэтому на некоторых двух соседних промежутках (-∞, x₁), (x₁, x₂) или (x₁, x₂), (x₂, +∞) функция имеет одинаковые знаки, а тогда либо точка x₁, либо точка x₂ является точкой экстремума и производная в ней y' = (sin x + a - b x)' = cos x - b обращается в нуль.

1. УСЛОВИЕ

Площадь основания пирамиды равна 3, объём пирамиды также равен 3. Проведены две плоскости, параллельные основанию пирамиды. Площади получившихся сечений равны 1 и 2. Найдите объём части пирамиды, расположенной между плоскостями.

РЕШЕНИЕ

Каждая из указанных плоскостей отсекает от данной пирамиды подобную ей пирамиду. Пусть k₁ и k₂ – коэффициенты подобия, V₁ и V₂ – объёмы отсечённых пирамид, V = 3 – объём данной пирамиды, v – искомый объём. Так как отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия, то

k₁ = , k₂ = .

Так как отношение объёмов подобных тел равно кубу коэффициента подобия, то

V₁ = k³₁· V = ( )³· 3 = ,

V₂ = k³₂· V = ( )³· 3 = .

Следовательно,

v = V₂ - V₁ = - = = .

ОТВЕТ: .

3