Подготовка к ОГЭ по математике. Геометрия (базовый уровень)

Подготовка к ОГЭ геометрия (1 часть)

Гудкова Е.В., учитель математики МОУ «СОШ с.Серпиевка»

Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке K. Другая прямая пересекает окружность в точках B и C, причём AB=4, AC=64. Найдите AK.

Теория

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть

Решение

AK*АК=AB*AC

AK=√256=16

Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке K. Другая прямая пересекает окружность в точках B и C, причём AB=7, BC=21. Найдите AK.

Самостоятельно

Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB=7, BC=10, CD=14. Найдите AD.

Теория

В окружность можно описать четырехугольник тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны. AB + CD = BC + AD 

Решение

AD = AB + CD - BC = 7 + 14 - 10 = 11

Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB=10, BC=14, CD=22. Найдите AD.  

Самостоятельно

Сторона ромба равна 8, а расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до неё равно 2. Найдите площадь этого ромба.

Теория

Площадь ромба можно найти по формуле площади параллелограмма, так как ромб – это частный случай параллелограмма.

Решение

Высота ромба равна h=2+2=4 /Таким образом, площадь ромба S=a*h=8*4=32

.

Сторона ромба равна 7, а расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до неё равно 3. Найдите площадь этого ромба.

В треугольнике  ABC угол C равен 90°,  sinB=4/15, AB=45. Найдите AC.

Теория

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе

Решение

.

sinB=AC/AB

4/15=АС/45

АС=12

В треугольнике  ABC угол C равен 90°,  sinB=4/11, AB=55. Найдите AC

Самостоятельно

В треугольнике ABC известно, что AB=6, BC=10, sin∠ABC=1/3. Найдите площадь треугольника ABC.

Теория

S=1/2*a*b*sina

Решение

.

S=1/2*6*10*1/3=10

В треугольнике ABC известно, что AB=12, BC=20, sin∠ABC=58. Найдите площадь треугольника ABC.

Самостоятельно

В треугольнике ABC угол A равен 45°, угол B равен 30°, BC=6√ 2.

Найдите AC.

Теория

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов

Решение (не используя теорему синусов)

Опустим  высоту  CH  на АВ. 

Треугольник СНВ прямоугольный, СН противолежит углу 30° ⇒

СН =ВС : 2= 3√2

Треугольник АСН прямоугольный и равнобедренный

По т.Пифагора АС=6

В треугольнике ABC угол A равен 60°, угол B равен 45°, BC=7√6.

Найдите AC .

Самостоятельно

В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH, ∠BAC=37°. Найдите угол ABH. Ответ дайте в градусах.

Теория

Сумма углов треугольника равна 180°

Решение

В треугольнике АВН ∠BAН=37°, ∠BНА=90°.

Найдем ∠AВН=90°- 37°=53°.

В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH, ∠BAC=48°. Найдите угол ABH. Ответ дайте в градусах.

Самостоятельно

Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, AN=27, CM=18. Найдите CO.

Теория

Отрезки AN и CM - являются медианами треугольника ABC.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины

Решение

АО=18

ОN=9

CO=12

OM=6

Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN  и CM пересекаются в точке O, AN=18, CM=21. Найдите OM.

Самостоятельно

Использованные ресурсы:

Открытый банк заданий ГИА-9

http:// oge.fipi.ru/os/xmodules/qprint/index.php?proj=DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0