Подготовка к ЕГЭ "Преобразование выражений"

Преобразование выражений

Теоретический материал

Рациональные выражения

Формулы сокращенного умножения многочленов

Формулы корней квадратного уравнения

Алгебраическое уравнение 2-й степени называют квадратным. Общий вид квадратного уравнения с одним неизвестным ax² + bx + c = 0, где a  0.

1. Дискриминант: D = b² – 4ac.

Если D

Если D ≥ 0, то .

2. Если b – четное число, то удобнее представить общую формулу в виде
, где .

Формула разложения квадратного трехчлена на множители

ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂), где x₁ , x₂ – корни квадратного трехчлена, a ≠ 0.

Теорема Виета

1. Если приведенное квадратное уравнение x² + px + q = 0 имеет действительные корни, то

2. Если квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 (где a ≠ 0) имеет действительные корни, то

Верны и обратные утверждения.

Основные свойства степени ( x  R, y  R, a  R, a 0, b  R, b 0).

а) , б) , в) , г) , д) , e) , ж) , з) .

Иррациональные выражения

Определение 1. Корнем n-й степени из неотрицательного числа a (n = 2, 3, 4, 5, …) называют такое неотрицательное число, которое при возведении в степень n дает в результате число a.

Определение 2. Корнем нечетной степени n из отрицательного числа a (n = 3, 5,7, …) называют такое отрицательное число, которое при возведении в степень n дает в результате число a.

Определение 3. Если – обыкновенная дробь () и , то под понимают , т.е. .

Свойства функции при четной степени n (n = 2, 4, 6, …):

1) ;

2) функция не является ни четной, ни нечетной;

3) функция возрастает на ;

4) функция не ограничена сверху, ограничена снизу;

5) функция не имеет наибольшего значения; y_наим= 0;

6) функция непрерывна;

7) .

Свойства функции при нечетной степени n (n = 3, 5, 7, …):

1) ;

2) функция нечетна;

3) функция возрастает;

4) функция не ограничена ни сверху, ни снизу;

5) функция не имеет наибольшего и наименьшего значений;

6) функция непрерывна;

7) .

Свойства корня n-й степени (n = 2, 3, 4, 5, …) из неотрицательного числа ()

1) ; 2) (); 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

Замечания. , где (в частности ). , где , .

Теорема. При натуральном n уравнение равносильно системе

Логарифмы

Определение. Логарифм числа х по основанию а есть показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить х.

Тождество (где x 0, a 0 и a  1) называют основным логарифмическим тождеством.

Определение. Логарифмической функцией называется функция вида у = logx, где a  0, a  1.

Основные свойства логарифмической функции у = logx (a 0, a  1).

1. D(log_a ) = R₊ .

2. E(log_a ) =R.

3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает при а 1 и убывает при 0 a

4. Основные свойства логарифмов.

4.1. При любых a 0 (a  1), b 0 (b  1), x 0, y 0, p  R, k  R верны равенства:

При решении логарифмических уравнений и неравенств используются теоремы, вытекающие из свойств монотонности логарифмической функции.

Теорема 1. Если , то

log f(x) = log g(x)

Теорема 2. log (f(x)) = b  f(x)= a (a 0, a  1).

Теорема 3. Если a 1, то

log f(x) log g(x)

Теорема 4. Если 0 a

log f(x) log g(x)

1. ОГЭ, 1_31412. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния . Ответ: −2.

2. ОГЭ, 1_337273. Найдите зна­че­ние вы­ра­же­ния . Ответ: 0,8.

3. ОГЭ, 1_287946. Найдите зна­че­ние вы­ра­же­ния . Ответ: 12,5.

4. ОГЭ, 21_311255. Упростите вы­ра­же­ние  . Ответ: 0,5.

5. ОГЭ, 21_311552. Один из кор­ней урав­не­ния 5x² – 2x + 3p = 0 равен 1. Най­ди­те вто­рой корень. Ответ: − 0,6.

6. Найдите , если , при .

7. Найдите , если .

8. Найдите , если при .

9. Найдите , если .

10. Найдите при .

11. Найдите , если .

12. Найдите значение выражения .

13. Найдите значение выражения .

14. Найдите значение выражения при b = 6.

15. Найдите значение выражения при x = 3.

16. Найдите значение выражения .

17. Найдите корень уравнения: . Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

18. Найдите значение выражения .

19. Найдите значение выражения .

20. Найдите значение выражения .

21. Вычислите значение выражения: .

22. Решите уравнение  .

23. Решите уравнение  .

24. Решите уравнение  .

25. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

26. Найдите ошибку

27. Решите уравнение . Ответ: 625.

Критерии оценивания задания 21 ОГЭ