План-конспект занятия в рамках элективного курса «Нестандартные методы решения математических задач» на тему «Применение свойств функции при решении уравнений и неравенств. Ограниченность функции»

План-конспект занятия в рамках элективного курса «Нестандартные методы решения математических задач» на тему «Применение свойств функции при решении уравнений и неравенств. Ограниченность функции».

Класс :11

Цель занятия: углубить и расширить знания и умения по методам решения уравнений и неравенств, по свойствам функций;

развитие у учащихся умений пользоваться опорными знаниями для их применения в новой и нестандартной ситуации, выделять существенные признаки и делать обобщения; развитие логического мышления, алгоритмической культуры, формирование навыков самообразования, самоорганизации;

развитие коммуникативных навыков учащихся, посредством групповой и парной работы.

Оборудование: карточки с заданиями, мультимедийный проектор, компьютер, документ - камера; презентация в программе MicrosoftPowerPoint.

Ход занятия:

1. Организационный момент.

2. Актуализация опорных знаний.

1) Устная работа:

График какой функции изображен на слайде 1? Перечислите свойства функции у=сosx.

Что такое область определения, множество значений функции?

Какие функции называются ограниченными сверху, ограниченными снизу, ограниченными функциями?

2) Среди данных функций выберите ограниченные и постройте их графики схематически:

y=, y=, y=, y= y=log₂x, y=2+.

Самопроверка по слайду 2.

3) Найдите множество значений следующих функций:

1) y=, 2)y=(x+4)² +1, 3)y=x²-4x+5, 4)y=, 5)y=

6)y= 7) y= +3, 8) y=log₃ (x²+3), 9)y=5-|x+8| 10) y=5-x²

Взаимопроверка по слайду 3.

Ответы: 1) [-; ], 2) [1; +∞); 3) [1; +∞); 4) [1; 2]; 5) (–∞; 7) ∪ (7; +∞);

6) (–∞; 1) ∪ (1; +∞); 7) [3; +∞); 8)[1; +∞); 9) ) (–∞; 5]; 10) (–∞; 5];

1. Открытие новых знаний, обретение новых умений и навыков.

Решить уравнение: 1) cosx = x²+1

Решение: Оценим левую и правую части уравнения. Известно, что

Очевидно, что уравнение равносильно системе уравнений Из 2-го уравнения, х=0. Проверим, является ли число 0 корнем 1-го уравнения:

Ответ: 0.Слайд 4

Вопрос: Итак, на чем основывается метод оценки?

Ответ: Метод оценки (по другому его называют методом мини-макса)основывается на утверждении: если некоторое число n является наибольшим значением функции f(x) и одновременно наименьшим значением функции g(x), то уравнение f(x) = g(x) равносильно системе двух уравнений:

Слайд 5

1. Закрепление.

Задача 2: Работа в парах. = 4 – sin²x.

Решение:

0≤sin²x≤1, следовательно, -1≤ -sin²x≤0, 3≤ 4-sin²x≤4. Значит, исходное уравнение равносильно системе уравнений Из 1-го уравнения получается, что х=0. Число 0 является и корнем 2-го уравнения.

Ответ: 0.Самопроверка с помощью документ-камеры.

Вопрос: Итак, в каких случаях применяется метод оценки?

Ответ: метод оценки применяется при решении нестандартных уравнений и неравенств, которые не получается решить с помощью обычных приемов, а именно:

1. если в одной части соотношений стоят ограниченные функции, а в другой конкретные числа.

2. если в задаче переменных больше чем уравнений или неравенств.

3. если в равнении или неравенстве содержатся разного рода функции: тригонометрические, алгебраические, показательные и т.д.

Чтобы успешно пользоваться этим методом, необходимо знать, какие из элементарных функций имеют ограниченное множество значений.

Вопрос: Итак, какие функции, имеющие ограниченное множество значений, вам известны? Слайд 6.

Ответ: -1≤sinx ≤1, -1≤cosx ≤1, a^x0, |x|≥0, ,

≥0, -≤arcsinx≤, 0≤arccosx≤π, -arctgx, 0arcctgx

Раздать карточки.

Найти значение х, при котором уравнение 3sin≥-3x+x².

Решение: Оценим каждую часть неравенства.

1. -1≤sin≤1, следовательно, -3≤3sin≤3.

2. х²-3х+≥3, так как вершина графика квадратичной функции (1,5; 3).

Следовательно, исходное неравенство нужно рассматривать как уравнение

3sin=-3x+x², которое, в свою очередь, равносильно системе уравнений Решив 2 уравнение, получим, х=1,5. Убедимся, что это число является также корнем 2 уравнения.

Ответ: 1,5.

Проверка с помощью документ-камеры, обсуждение.

1. Итог.

Сформулируйте алгоритм решения задач методом оценки. Слайд 7.

Домашнее задание: слайд 8

1. sin=12x-37+x².

2. 25x²+20x+20=

3. =2sin .

4. 2+log₂(x²-6x+13) = 18x²-77-x⁴.