План-конспект урока по теме "Теорема Виета" 8-й класс

Теорема Виета. Решение приведённых квадратных уравнений.

Цели урока:

• изучить теорему Виета и теорему, обратную теореме Виета

Задачи урока:

образовательные:

• формировать умение применять теорему Виета и теорему, обратную теореме Виета в приведенных квадратных уравнениях;

• совершенствовать навык решения квадратных уравнений;

• обеспечить мотивацию к учебной деятельности как одно из средств развития и социализации личности учащихся.

развивающие:

• формировать самостоятельность и коммуникативность;

• создавать условия для проявления познавательной активности учащихся;

• учить формулировать проблему, выдвигать гипотезы и искать их подтверждение, формулировать и высказывать суждения.

воспитательные:

• воспитание личностно значимых ценностей (установка на самообразование, самооценку);

• воспитывать культуру умственного труда.

Тип урока: открытие новых знаний

Структура урока

1.Организационный момент . Мотивация учебной деятельности.

Бернард Шоу (ирландский драматург, философ и прозаик) сказал: «Единственный путь, ведущий к знаниям, - это деятельность»

Как вы понимаете это высказывание?

Урок не может быть вне деятельности и мы с вами будем трудиться в поисках научной истины.

2. Повторение и актуализация опорных знаний.

Какую тему мы изучаем последние уроки? (Квадратные уравнения)

Какие уравнения называются квадратными?

Какие уравнения называются приведенными квадратными?

Можно ли неприведенное квадратное уравнение представить в виде приведенного?

Каким образом?

Запишите на доске и в тетрадях общий вид приведенного квадратного уравнения

(х² + px + q = 0)

3. Создание проблемной ситуации. Открытие новых знаний

Квадратное уравнение x² – 6x + 8 = 0 имеет два корня, x₁ = 2; x₂ = 4.

x₁ • x₂ = 8 – равно свободному члену;

x₁ + x₂ = 6 – равно второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком.

Таким свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни. Докажем это.

Рассмотрим приведённое квадратное уравнение x² + px + q = 0.

D = p² – 4q.

Пусть D 0, тогда уравнение имеет два действительных различных корня:

и .

Найдём сумму и произведение корней:

Таким образом, если x₁ и x₂ – корни приведённого квадратного уравнения
x² + px + q = 0, то

x₁ + x₂ = –p;

x₁ • x₂ = q.

Если дискриминант приведённого квадратного уравнения будет равен 0, то условимся считать, что тогда уравнение имеет не один корень, а два совпавших корня, и поэтому доказанная теорема будет также верна.

Эта теорема называется теоремой Виета по имени французского математика Франсуа Виета.

Любое квадратное уравнение можно привести к равносильному ему приведённому квадратному уравнению, разделив обе части уравнения на первый коэффициент. Тогда при наличии действительных корней у этого уравнения и согласно теореме Виета, получим вышеприведённые равенства. Это следствие из теоремы Виета – обобщённая теорема Виета.

Используем теорему Виета для нахождения произведения и суммы корней уравнения 2x² + 9x + 7 = 0.

D = b² – 4ac = 9² – 4 • 2 • 7 = 25 0, значит, уравнение имеет 2 корня. Эти же корни имеет приведённое квадратное уравнение .

По теореме Виета

На практике чаще всего используется теорема, обратная теореме Виета:

тогда y и z – корни уравнения x² + px + q = 0.

Запишем уравнение x² + px + q = 0 в виде x² – (y + z)x + y • z = 0.

Проверим, что у является корнем уравнения. Подставим его вместо х:

y² – (y + z)y + y • z = 0.

Получим 0 = 0, значит, y – корень уравнения.

Аналогично можно проверить, что и z является корнем уравнения.

С помощью теоремы, обратной теореме Виета, можно проверять, правильно ли найдены корни квадратного уравнения.

Уравнение x² – 5x + 6 = 0 имеет два корня x₁ = 2; x₂ = 3. Покажем, что корни найдены верно:

x₁ + x₂ = 5;

x₁ • x₂ = 6.

Значит, по теореме, обратной теореме Виета, числа 2 и 3 являются корнями данного уравнения.

С помощью теоремы, обратной теореме Виета, также можно подбором находить корни приведённого квадратного уравнения.

x² + 13x + 40 = 0

D = 13² – 4 • 1 • 40 = 169 – 160 = 9 0, значит, уравнение имеет два корня.

Подберём такие х₁ и х₂, чтобы

Таким образом, по теореме, обратной теореме Виета, получим корни данного уравнения x₁ = –5; x₂ = –8.

4.Изучение и первичное закрепление нового материала по теме урока

Организует самостоятельную работу учащихся  с учебным материалом.

Прочитаем теорему в учебнике.

Запишите теорему в виде символов в тетрадь.

- В этой теореме о каких квадратных уравнениях идет речь? (О приведенных)

Как быть с неприведенными? (Вначале представить в виде приведенных и применить теорему Виета).

Что мы должны сначала проверить, прежде чем использовать теорему Виета? (имеет ли квадратное уравнение корни)

Как вы можете узнать, имеет ли квадратное уравнение корни? (Дискриминант должен быть больше или равен 0)

Существует ли теорема, обратная теореме Виета? Прочитайте ее в учебнике.

Запишите теорему в тетрадь.

5.Самостоятельная работа

Учащиеся  выполняют задание  в тетради : №580(а,б,в,г), №581

6.Подведение итогов.

Проведение анализа (самоанализа) и оценка качества  деятельности учащихся на уроке.

Постановка домашнего задания.

Теорема Виета, № 582,583

Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.