План-конспект урока алгебры 11 класс по теме: «Четность, нечетность, периодичность тригонометрической функций»

№

Этап урока

Название используемых

ЭОР

Деятельность учителя

(с указанием действий с ЭОР, например, демонстрация)

Деятельность ученика

Время

в мин.

1

2

3

4

5

6

1

Организационный момент.

Приветствие кадет. Определение готовности учащихся к уроку.

Приветствуют учителя.

3

2

Актуализация знаний.

Актуализация

Проверим домашнее задание.

Какова область определения функции y=cos x?

Почему?

Запишем в канву-таблицу.

Каково множество значений функции y=cos x?

Почему?

Запишем в канву-таблицу.

Функция y=cos x является четной или нечетной?

Почему?

Запишите в канву-таблицу.

При каких значениях х функция у=cos x принимает значение, равное 0?

Запишем в канву-таблицу.

При каких значениях х функция принимает положительные значения?

Отрицательные значения?

Запишем в канву-таблицу.

Какова область определения функции y=sin x?

Почему?

Запишем в канву-таблицу.

Каково множество значений этой функции?

Почему?

Запишем в канву-таблицу.

Следующее свойство – четность/нечетность.

Какой является функция y=sin x?

Почему?

Запишем в канву-таблицу.

При каких значениях х функция у=sin x принимает значение, равное 0?

Запишем в канву-таблицу.

При каких значениях х функция принимает положительные значения?

Отрицательные значения?

Запишем в канву-таблицу.

Какова область определения функции y = tg x?

Каково множество значений этой функции?

Четной или нечетной является данная функция?

Почему?

Запишите в канву-таблицу.

При каких значениях х функция принимает значение, равное 0?

Положительные значения?

Отрицательные значения?

Запишем в канву-таблицу.

Какова область определения функции y = ctgx?

Запишем в канву-таблицу.

Каково множество значений данной функции?

Запишем в канву-таблицу.

Какой является данная функция, чётной или нет?

Почему?

Запишите в канву-таблицу.

При каких значениях х функция принимает значение, равное 0?

Положительные значения?

Отрицательные значения?

Запишем в канву-таблицу.

Функции y=cos x, y=sin x, y=tg x, y=ctg x называются тригонометрическими функциями.

Мотивация

Тригонометрическими функциями описываются многие процессы реальной действительности, которые периодически повторяются по истечении некоторого промежутка времени. Периодически, с периодом в 1 год, меняется расстояние Земли от Солнца, с периодом в 1 лунный месяц меняются фазы Луны и т.д.

Постановка учебной задачи

Итак, мы рассмотрели некоторые свойства тригонометрических функций, но эти функции обладают еще одним важным свойством, о котором мы ранее не говорили, т. к. не было соответствующих функций, которые это свойство иллюстрировали - это свойство периодичности.

11

3

Изучение нового материала.

Формулируется определение: функция f(x) называется периодической, если существует такое число T 0, что для любого x из области определения этой функции выполняется равенство f(x-T)=f(x)=f(x+T). Число Т называется периодом функции f(x).

Примером периодической нетригонометрической функции может служить функция у = {х}, которая каждому числу х ставит в соответствие его дробную часть.

Например, {3,56} = 0,56; {2,01} = 0,01 и т.д. Если к произвольному числу х прибавить 1, то изменится лишь целая часть этого числа; дробная же часть останется прежней. Следовательно, {х + 1} = {х} и потому функция у = {х} является периодической с периодом 1.

Из равенства  f (x + T) = f (x)  следует, что все значения функции  у = f (x) повторяются с периодом T. Это находит свое отражение и в графическом изображении периодических функций.

На рисунке представлен график функции у = {х}. Периодичность функции у = {х} обусловливает то, что график ее в интервале [0, 1] имеет ту же самую форму, что и в интервалах [1, 2], [2, 3] и т. д.

Если Т – период функции f (x), то 2Т, 3T, 4Т и т. д. – также периоды этой функции.

Действительно,

f (x + 2T) = f [(x + T) + Т] = f (x + T) = f (x),

f (x + 3T) = f [(x + 2T) + Т] = f (x + 2T) = f (x)

и т. д. Кроме того, периодом функции f (x) можно считать и любое из чисел: – Т, – 2T, – 3Т и т. д. В самом деле,

f (x – Т) = f[(x – Т) + Т] = f (x),

f (x – 2Т) = f [(x – 2Т) + 2Т] = f (x) и т. д. Итак, если число Т есть период функции f (x), то при любом целом п число пТ также период этой функции. Поэтому всякая периодическая функция имеет бесконечное множество периодов. Например, периодом функции у = {х} можно считать любое из чисел: 1, 2, 3, –1, – 2, – 3 и т. д.

Говоря о периоде функции у = f(x), обычно имеют в виду наименьший положительный период. Так, мы говорим, периодом функции {х} является число 1.

Покажем, что 2π – период функции y=cos x.

Так функция y=cos x определена на всей числовой оси, то достаточно показать, что f(x+2π)=f(x). сos(x+2π)=cos x по формулам приведения, т.е. 2π – период функции.

Покажем теперь, что 2π – наименьший положительный период.

Пусть Т0 – период косинуса, т.е. для любого х выполняется равенство cos(x + Т)= cosx. Положим х=0, получим сos Т=1. Отсюда Т=2πk, k Z. Так как Т0, то Т может принимать значения 2π, 4π, 6π, …, и поэтому период не может быть меньше 2π.

Доказать дома самостоятельно, что наименьший положительный период функции y=sin x равен 2π.

Покажем, что функция y=tg x является периодической с периодом π.

Если х принадлежит области определения этой функции, т.е. х≠p/2+pn, nÎ Z, то по формулам приведения получаем tg(x-π)= - tg(π-x)= - (-tgx)=tg x, tg(x+π)=tg x.

Таким образом, tg(x-π)=tg x=tg(x+π). Следовательно, π – период функции у=tgx.

Покажем, что π – наименьший положительный период функции у=tg x.

Пусть Т период тангенса, тогда tg(x+Т)= tg x, откуда при х=0 получаем tgТ=0, T=kπ, k Z. Так как наименьшее целое положительное k равно 1, то π – наименьший положительный период функции у=tg x.

Доказать дома самостоятельно, что наименьший положительный период функции y=ctg x равен π.

4

3

Формирование умений и навыков.

Фронтальная работа. Исследовать на четность следующие функции:

1)

2)

3)

4)

5)

Ответы: 1) - чет., 2) - чет., 3) -неч., 4) - нечет., 5) - чет.

18

5

Рефлексия

Какова была цель нашего урока?

Достигли ли мы ее?

Какая функция называется периодической?

Что называется периодом?

3

Домашнее задание

1