Пять красивых тел

(ФИЛИАЛ) ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра общеобразовательных дисциплин

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ

ПО МАТЕМАТИКЕ

Тема: «Математика. Пять красивых тел»

Выполнил:

Финансов Мирослав Юрьевич

Студент 1 курса

группы ОЗ-М-201

Руководитель:

Неженская Валерия Петровна

Г. Ставрополь, 2020

Содержание

Введение 3

Глава 1. Основные понятия и свойства многогранников 4

Глава 2. Многогранники в различных сферах 8

Глава 3. Доказательство существования только пяти правильных многогранников 11

Глава 4. Комбинаторные и геометрические свойства многогранников 12

Заключение 16

Список литературы и Интернет-ресурсов 17

На протяжении многих веков людей словно притягивают эти тела. Древние египтяне строили гробницы своим фараонам (которых они считали полубогами) в форме тетраэдра, что еще раз подчеркивает величие и этих фигур.

Но не только руками человека создаются эти загадочные тела. Одни из правильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие – в виде вирусов (были обнаружены учеными с помощью электрического микроскопа). А биологи говорят о том, что шестиугольные соты пчел, содержащие мед, имеют форму правильного многогранника. Существовала гипотеза, что именно правильная шестиугольная форма сот помогает сохранить полезные свойства этого ценного продукта.

Предмет исследования: Правильные многогранники.

Объект исследования: Использование многогранников человеком.

Цель: познакомить людей с удивительным миром многогранников.

Поставленная цель определяет выбор комплекса задач:

1. Рассмотреть источники по теме;

2. Проанализировать основные понятия и свойства многогранников;

3. Узнать, в каких сферах встречаются правильные многогранники;

4. Изучить доказательство существования только пяти правильных многогранников;

5. Рассмотреть комбинаторные и геометрические свойства многогранников

Актуальность: в течение всей жизни человек тесно связан с многогранниками. Несмотря на отсутствие знания таких сложных терминов, как «тетраэдр», «октаэдр», «додекаэдр» и др., он уже с самого раннего детства испытывает интерес к этим уникальным фигурам. Ведь суть «кубиков» - одной из самых популярных детских игр - состоит в том, чтобы построить из многогранников объект. Так что же представляют собой эти столь совершенные тела?

Многогранной поверхностью называют объединение конечного числа плоских многоугольников такое, что каждая сторона любого из многоугольников является в то же время стороной другого (но только одного) многоугольника, называемого смежным с первым многоугольником.

От любого из многоугольников, составляющих многогранную поверхность, можно дойти до любого другого, двигаясь по смежным многоугольникам.

Многоугольники, составляющие многогранную поверхность, называются ее гранями; стороны многоугольников называются ребрами, а вершины - вершинами многогранной поверхности.

Многогранная поверхность делит пространство на две части - внутреннюю область многогранной поверхности и внешнюю область. Из двух областей внешней будет та, в которой можно провести прямые, целиком принадлежащие области.

Объединение многогранной поверхности и ее внутренней области называют многогранником. При этом многогранную поверхность и ее внутреннюю область называют соответственно поверхностью и внутренней областью многогранника. Грани, ребра и вершины поверхности многогранника называют соответственно гранями, ребрами и вершинами многогранника.

Пирамида

Многогранник, одна из граней которого - произвольный многогранник, а остальные грани - треугольники, имеющие одну общую вершину, называется пирамидой.

Многоугольник называется основанием пирамиды, а остальные грани (треугольники) называются боковыми гранями пирамиды.

Различают треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т.д. пирамиды в зависимости от вида многоугольника, лежащего в основании пирамиды.

Треугольную пирамиду также называют тетраэдром.

Стороны граней пирамиды называются ребрами пирамиды. Ребра, принадлежащие основанию пирамиды, называют ребрами основания, а все остальные ребра - боковыми ребрами. Общая вершина всех треугольников (боковых граней) называется вершиной.

Высотой пирамиды называется отрезок перпендикуляра, проведенного из вершины пирамиды S к плоскости основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра).

Правильная пирамида. Пирамида называется правильной, если основанием пирамиды является правильный многоугольник, а ортогональная проекция вершины на плоскость основания совпадает с центром многоугольника, лежащего в основании пирамиды.

Все боковые ребра правильной пирамиды равны между собой; все боковые грани - равные равнобедренные треугольники.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой этой пирамиды. На рис.2 SN - апофема. Все апофемы правильной пирамиды равны между собой.

Многогранник, две грани которого - равные n-угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней - параллелограммы, называется n-угольной призмой.

Пару равных n-угольников называют основаниями призмы. Остальные грани призмы называют ее боковыми гранями, а их объединение - боковой поверхностью призмы.

Стороны граней призмы называют ребрами, а концы ребер - вершинами призмы. Ребра, не принадлежащие основанию призмы, называют боковыми ребрами.

Призму, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называют прямой призмой. В противном случае призма называется наклонной.

Отрезок перпендикуляра к плоскостям оснований призмы, концы которого принадлежат этим плоскостям, называют высотой призмы.

Прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник, называется правильной призмой.

Параллелепипед

Параллелепипед - шестигранник, противоположные грани которого попарно параллельны. Параллелепипед имеет 8 вершин, 12 рёбер; его грани представляют собой попарно равные параллелограммы.

Параллелепипед называется прямым, если его боковые ребра перпендикулярны к плоскости основания (в этом случае 4 боковые грани - прямоугольники); прямоугольным, если этот параллелепипед прямой и основанием служит прямоугольник (следовательно, 6 граней - прямоугольники);

Параллелепипед, все грани которого квадраты, называется кубом.

Объём Параллелепипед равен произведению площади его основания на высоту.

Объем тела

Каждый многогранник имеет объем, который можно измерить с помощью выбранной единицы измерения объемов. За единицу измерения объемов принимают куб, ребро которого равно единице измерения отрезков. Куб с ребром 1 см называется кубическим сантиметром. Аналогично определяется кубический метр и кубический миллиметр, и т.д.

В процессе измерения объемов при выбранной единице измерения объем тела выражается положительным числом, которое показывает, сколько единиц измерения объемов и ее частей укладывается в этом теле. Число, выражающее объем тела, зависит от выбора единицы измерения объемов. Поэтому единица измерения объемов указывается после этого числа.

Основные свойства объемов:

1. Равные тела имеют равные объемы.

2. Если тело составлено из нескольких тел, то его объем равен сумме объемов этих тел.

Для нахождения объемов тел в ряде случаев удобно пользоваться теоремой, получившей название принцип Кавальери.

Принцип Кавальери состоит в следующем: если при пересечении двух тел любой плоскостью, параллельной некоторой заданной плоскости, получаются сечения равной площади, то объёмы тел равны между собой.

Многогранники в природе

Правильные многогранники – самые выгодные фигуры, поэтому они широко распространены в природе. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Например, кристаллы поваренной соли имеют форму куба. При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами, монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра. Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана. Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра. В разных химических реакциях применяется сурьмянистый сернокислый натрий – вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьмянистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра. Последний правильный многогранник – икосаэдр передаёт форму кристаллов бора.

Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений. Применяются они и в архитектуре. Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки - это звездчатые многогранники. С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок.

Правильные многогранники встречаются так же и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр. Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное защищает себя двенадцатью иглами, выходящими из 12 вершин скелета. Оно больше похоже на звёздчатый многогранник.

Также мы можем наблюдать многогранники в виде цветов. Ярким примером могут служить кактусы.

Многогранники в биологии

Интересно, что именно икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Чтобы установить форму вируса, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень – икосаэдр. Его геометрические свойства, о которых говорилось выше, позволяют экономить генетическую информацию. Вирус герпеса Скелет одноклеточного Вирус герпеса организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra)

Многогранники в медицине

Усечённый октаэдр нейтрализует энергетическое воздействие извне, повышает уровень энергетики головного мозга, помогает в работе на интуитивном уровне и очищает энергетическую структуру места в радиусе 500 м; икосаэдр со стороной 5 см устраняет психологические зависимости, восстанавливает биоструктуру, гармонизирует личность, очищает структуру места в радиусе 100 м; десятигранная пирамида защищает от излучений техногенного свойства, активизирует саморегуляцию организма, восстанавливает энергообмен человека, усиливает энергетику человека, повышает энергетический уровень места (70 м), восстанавливает эндокринную систему человека, нейтрализует геомагнитные излучения, гармонизирует взаимоотношения между людьми. Своеобразная форма многогранников позволяет накапливать энергию и передавать ее владельцу. Положительно влияет в основном на психику и поведение.

Многогранники в быту

Усеченный икосаэдр (футбольный мяч), кубик рубика, пирамида Мефферта.

Многогранники в живописи

Сальвадор Дали Картина известнейшего художника Сальвадора Дали «Тайная вечеря».

На ней изображён Христос со своими двенадцатью учениками.

Сальвадор показал их сидящими в
огромном полупрозрачном додекаэдре. Многие века учёные искали разгадку такому странному изображению сцены из библии и пришли к выводу, что этим художник хотел показать Вселенную, бесконечность и, конечно же, духовность. Вот так, с помощью простой геометрической фигуры Сальвадор Дали скрыл огромный смысл.

Многогранники и профессии

Ювелир. Назначение огранки - максимально выявить красоту ограненного камня, помочь продемонстрировать присущие ему свойства. Для цветных камней главным является цвет, а для бесцветных - сверкание и «игра». Стеклодув – это мастер, создающий изделия из разогретой стеклянной массы путём выдувания. Примеры многогранников: граненая посуда, граненые кувшины.

Плотник — профессия связана с механической обработкой дерева и превращением необработанной древесины в детали, конструкции и стройматериалы.

Слесарь — специалист по ручной (без использования станков) обработке металлов, включая операции по сборке и разборке на производстве или в быту.

Скульптор – это художник, занимающийся созданием скульптур, то есть произведений объемно-пространственной формы, трехмерных и осязаемых.

Опираясь на определение правильных многогранников и основную их характеристику, что сумма углов многогранников при любой вершине не превышает и не равна 360, доказали, что существует только пять правильных многогранников. Рассмотрим доказательство. В каждой вершине тетраэдра сходятся 3 грани, значит, сумма трех углов по 60 градусов будет равна 180. Если добавить к вершине тетраэдра еще один треугольник, то в сумме получится 240 — это октаэдр. Добавление пятого треугольника дает сумму углов 300- получается икосаэдр. Если допустить добавление шестой грани, то сумма углов станет равной 360. Что противоречит основной характеристики многогранников. Многогранник исчезнет, и все углы развернутся на плоскости в полный круг. Три квадратные грани имеют угол 270 — это вершина куба. Добавление еще одного квадрата увеличит угол до 360 — это также не соответствует выпуклому многограннику. Три пятиугольные грани дают угол 324(3*108)- вершина додекаэдра. Если добавим еще один пятиугольник, получим больше 360. Для шестиугольников уже три грани дают угол развертки 360(3*120), поэтому можно сделать вывод, что гранями правильных многоугольников могут быть лишь треугольники, четырехугольники, пятиугольники, выпуклого многогранника с гранями, имеющими шесть и более углов, не существует. Таким образом, существует лишь пять выпуклых правильных многогранников - тетраэдр, октаэдр и икосаэдр с треугольными гранями, куб (гексаэдр) с квадратными гранями и додекаэдр с пятиугольными гранями. Если наблюдать и рассматривать многогранные формы, то можно не только почувствовать их красоту, но и обнаружить некоторые закономерности, возможно, имеющие прикладное значение. 12 Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе, мы можем их наблюдать и находить в архитектуре и живописи.

Эйлером была выведена формула, связывающая число вершин (В), граней (Г) и рёбер (Р) любого выпуклого многогранника простым соотношением:

В + Г = Р + 2.

Отношение количества вершин правильного многогранника к количеству рёбер одной его грани равно отношению количества граней этого же многогранника к количеству рёбер, выходящих из одной его вершины. У тетраэдра это отношение равно 4:3, у гексаэдра и октаэдра — 2:1, а у додекаэдра и икосаэдра — 4:1.

Правильный многогранник может быть комбинаторно описан символом Шлефли {p, q}, где:

p — число рёбер в каждой грани;

q — число рёбер, сходящихся в каждой вершине.

Символы Шлефли для правильных многогранников приведены в следующей таблице:

Другой комбинаторной характеристикой многогранника, которую можно выразить через числа p и q, является общее количество вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г). Поскольку любое ребро соединяет две вершины и лежит между двумя гранями, выполняются соотношения:

{\displaystyle p\Gamma =2{\mbox{P}}=q{\mbox{B}}.}

Из этих соотношений и формулы Эйлера можно получить следующие выражения для В, Р и Г:

{\displaystyle {\mbox{B}}={\frac {4p}{4-(p-2)(q-2)}},\quad {\mbox{P}}={\frac {2pq}{4-(p-2)(q-2)}},\quad \Gamma ={\frac {4q}{4-(p-2)(q-2)}}.}

Углы

С каждым правильным многогранником связаны определённые углы, характеризующие его свойства. Двугранный угол между смежными гранями правильного многогранника {p, q} задаётся формулой:

{\displaystyle \sin {\theta \over 2}={\frac {\cos(\pi /q)}{\sin(\pi /p)}}.}

Иногда удобнее пользоваться выражением через тангенс:

{\displaystyle \operatorname {tg} \,{\frac {\theta }{2}}={\frac {\cos(\pi /q)}{\sin(\pi /h)}},}

где {\displaystyle h}  принимает значения 4, 6, 6, 10 и 10 для тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра соответственно.

Угловой дефект при вершине многогранника — это разность между 2π и суммой углов между рёбрами каждой грани при этой вершине.

Дефект {\displaystyle \delta }  при любой вершине правильного многогранника:

{\displaystyle \delta =2\pi -q\pi \left(1-{2 \over p}\right).}

По теореме Декарта, он равен {\displaystyle 4\pi }  делённым на число вершин (то есть суммарный дефект при всех вершинах равен {\displaystyle 4\pi }4п).

Трёхмерным аналогом плоского угла является телесный угол. Телесный угол Ω при вершине правильного многогранника выражается через двугранный угол между смежными гранями этого многогранника по форму {\displaystyle \Omega =q\theta -(q-2)\pi .}

Телесный угол, стягиваемый гранью правильного многогранника, с вершиной в центре этого многогранника, равен телесному углу полной сферы ({\displaystyle 4\pi }стерадиан), делённому на число граней. Он также равен угловому дефекту дуального к данному многогранника.

Различные углы правильных многогранников приведены в следующей таблице. Числовые значения телесных углов даны в стерадианах. Константа {\displaystyle \varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} — золотое сечение.

Радиусы, площади и объёмы

С каждым правильным многогранником связаны три концентрические сферы:

• Описанная сфера, проходящая через вершины многогранника;

• Срединная сфера, касающаяся каждого его ребра в середине;

• Вписанная сфера, касающаяся каждой его грани в её центре.

Радиусы описанной ({\displaystyle R}R) и вписанной ({\displaystyle r}r) сфер задаются формулами:

{\displaystyle R={a \over 2}\cdot \operatorname {tg} {\frac {\pi }{q}}\cdot \operatorname {tg} {\frac {\theta }{2}}}{\displaystyle r={a \over 2}\cdot \operatorname {ctg} {\frac {\pi }{p}}\cdot \operatorname {tg} {\frac {\theta }{2}},}

где θ — двугранный угол между смежными гранями многогранника. Радиус срединной сферы задаётся формулой:

{\displaystyle \rho ={\frac {a\cos(\pi /p)}{2\sin(\pi /h)}},}

где h — величина, описанная выше, при определении двугранных углов (h = 4, 6, 6, 10 или 10). Отношения описанных радиусов к вписанным радиусам симметрично относительно p и q:

{\displaystyle {R \over r}=\operatorname {tg} {\frac {\pi }{p}}\cdot \operatorname {tg} {\frac {\pi }{q}}.}

Площадь поверхности S правильного многогранника {p, q} вычисляется, как площадь правильного p-угольника, умноженная на число граней Г:

{\displaystyle S=\left({a \over 2}\right)^{2}\Gamma p\,\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{p}}.}

Объём правильного многогранника вычисляется, как умноженный на число граней объём правильной пирамиды, основанием которой служит правильный p-угольник, а высотой — радиус вписанной сферы r:

{\displaystyle V={1 \over 3}rS.}

Константы φ и ξ задаются выражениями

{\displaystyle \varphi =2\cos {\pi \over 5}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\qquad \xi =2\sin {\pi \over 5}={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}=5^{1/4}\varphi ^{-1/2}.}

Среди правильных многогранников как додекаэдр, так и икосаэдр представляют собой лучшее приближение к сфере. Икосаэдр имеет наибольшее число граней, наибольший двугранный угол и плотнее всего прижимается к своей вписанной сфере. С другой стороны, додекаэдр имеет наименьший угловой дефект, наибольший телесный угол при вершине и максимально заполняет свою описанную сферу.

В процессе исследования мы изучили удивительные особенности строения правильных многогранников, их виды и свойства, особенности строения. Познакомились с интересными историческими гипотезами и фактами. Увидели красоту, совершенство и гармонию форм этих тел, которые изучаются учеными на протяжении многих столетий и не перестают удивлять нас. Узнали, что в строении нашей, казалось бы, шарообразной планеты присутствуют правильные многогранники, что еще раз доказывает их значение в окружающем нас мире.  И многие современные ученые склоняются к гипотезе, что вещества в природе состоят именно из этих уникальных фигур.

1. Бунимович Е.А.Математика 6. – М.: Просвещение, 2016

2. Волшебные грани № 11. Многогранник. Соединение пяти тетраэдров. - Москва: СПб. [и др.] : Питер, 2017. - 244 c.

3. Волшебные грани №14. Многогранники. Пирамиды. - М.: Многогранники, 2016. - 829 c.

4. Людмила Голубовская Любовный многогранник / Людмила Голубовская. - М.: Амрита, 2017. - 256 c.

5. Н.П. Долбилин Жемчужины теории многогранников / Н.П. Долбилин. - М.: МЦНМО, 2016. - 196 c.

6. DVD. Наглядная математика. Многогранники. Тела вращения. Версия 3.0 (V 3.0). Учебное мультимедиа программное обеспечение для любых типов интерактивных досок, проекторов и иного оборудования. Для платформ Windows, Linux, Mac. ФГОС. - Москва: Огни, 2017. - 486 c.

7. https://ru.wikipedia.org/ wiki/Правильный_многогранник

8. https://nsportal.ru/ap/library/drugoe/2013/11/08/pravilnye-mnogogranniki-vokrug-nas

9. https://www.infouroki.net/urok-po-geometrii-pyat-krasivyh-tel-o-pravilnyh-mnogogrannikah-11-klass.html#google_vignette

10. https://fb.ru/article/327461/pravilnyie-mnogogranniki-v-prirode