Первообразная функции и неопределенный интеграл

5

Лекция№2

Тема: Первообразная функции и неопределенный интеграл.

План:

1. Первообразная функция.

2. Неопределенный интеграл и его свойства.

3. Таблица неопреленных интегралов.

4. Методы интегрирования.

1. Первообразная функция:

Под дифференцированием функции мы понимаем процесс нахождения производной, но в практике есть еще и обратные задачи, нахождение функции, зная её производную. Процесс нахождения производной и первообразной являются взаимообратные операции.

Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на интервале (а, b), если F(x) дифференцируема на (а, b) и F'(x) = f(x)

Первообразная обозначается F(x)

Пример: Функция х является первообразной для 5х на (-∞;+∞), так как (х ) =5х

Теорема 1: Если функция непрерывна на каком-нибудь промежутке, то она имеет на нем первообразную. (Без доказательства).

Теорема 2: Если F(x)- первообразная для функции f(x) на интервале (а, b), то F(x) +С, также первообразная , где С - любое число.

Теорема 3:Если F (x) и F (x) – две первообразные для функции f(x) на интервале (а, b), то они на этом промежутке отличаются на постоянную т.е. F (x) - F (x) = С

Из данных теорем следует что, если функция f(x) непрерывна на промежутке (а, b), то она имеет не одну первообразную, а множество первообразных.

Множество всех первообразных обозначается F(x) +С

2.Неопределенный интеграл и его свойства.

Действие нахождения первообразной называется интегрированием

Определение: Множество всех первообразных функции f(x) на интервале (а, b) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символом: f(x)dx.

Где f(x) – подынтегральная функция, dx- дифференциал независимой переменной, f(x)dx – подынтегральное выражение.

Примеры: cosxdx = sinx +C ; xdx= x /2

Для того, чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, надо взять производную от результата и убедиться, что получена подынтегральная функция f(x). Как и всякая обратная операция, интегрирование более сложное действие чем дифференцирование.

Основные свойства неопределенного интеграла:

а). Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной

Функции ( f(x)dx)' = f(x); .

б). Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых функций (f (x) + f (x))dx = f (x) + f (x);

в). Постоянный множитель можно вынести из под знака интеграла, т.е. если k = const ≠ 0, то k f(x)dx) = k f(x)dx).

г)Если F(x) есть первообразная f(x), то

3. Таблица неопределенных интегралов:

8 .

9 .

1 0.

1 1.

12.

1 3.

Интегралы содержащие в этой таблице называются табличными.

4. Методы интегрирования:

• Непосредственное интегрирование функций

Непосредственным интегрированием называется способ вычисления неопределенных интегралов с помощью тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенных интегралов.

Пример1.

Пример2.

• Интегрирование методом замены переменной (подстановки).

В основе метода лежит утверждение о независимости вида неопределенного интеграла от выбора аргумента, то есть если , то для любой непрерывно дифференцируемой функции U= h(x) также существует неопределенный интеграл, причем .

Таким образом, получаем формулу интегрирования подстановкой:

, где U = h(x).

Пример1. , делаем обратную подстановку и таким образом:

Пример2.

• Интегрирование по частям:

Пусть U(x) и V(x) функции аргумента х, имеющие производные U' и V' .

Формула интегрирования по частям:

UdV = UV - VdU

Этот метод целесообразно выполнять, когда имеется произведение алгебраического многочлена на элементарную функцию.

Порядок применения формулы интегрирования по частям:

• Выбор U и DV

• Нахождение DU (без учета постоянной С)

• Применение формулы интегрирования по частям.

Поскольку под знаком интегрирования стоит обычно произведение 2-х функций, то иногда бывает трудно сделать выбор U и V. В этом случае можно воспользоваться простым правилом.

Правило: В качестве функции U выбирается та из функций, которая при дифференцировании упрощается больше, а в качестве V выбирается та из функций, которую легче внести под знак дифференциала. Например: sinxdx = - cosx, но lndx=?. Поэтому dv=sinx dx.

Пример: