СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Скидки до 50 % на комплекты
только до

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Переход к новому основанию логарифма

Категория: Математика

Нажмите, чтобы узнать подробности

Просмотр содержимого документа
«Переход к новому основанию логарифма»

План-конспект урока алгебры и начал анализа 11 класс

кУРНИК л.м.

Формула перехода
к новому основанию логарифма

Цели: вывести формулу перехода к новому основанию логарифма и сформировать представление о связи логарифмических функций с разными основаниями логарифма; вывести два следствия из указанной формулы; формировать умение использовать формулу перехода для решения задач.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Вычислить.

а) log 2 16; б) 32; в) lg 0,0001;

г) log 3 + log 2 18; д) lg 500 – lg 5; е) log 5 254.

2. Замените * соответствующим числом.

а) log * 4 = –2; б) = 11; в) log 2 16* = 20;

г) log 2 100 – log 2 * = 1; д) = 81; е) = 1.

III. Объяснение нового материала.

1. Актуализация знаний.

Вспоминаем, как связаны графики функций y = f (x), y = f (x) + b,
y = k · f (x), y = f (x + a) и y = f (mx). Механические преобразования предполагают параллельный перенос либо сжатие (растяжение) вдоль осей координат графика исходной функции.

2. На рисунке 215 учебника представлены графики функций y = log 2 x, y = log 3 x. Замечаем, что график функции y = log 2 x получен растяжением графика функции y = log 3 x вдоль оси . Но возможно это только видимость, доказать можно вывод, если верно равенство log 2 x = k · log 3 x, где k – некоторое число. Возникает проблемная ситуация.

3. Для решения поставленной проблемы нам необходима теорема:

log a b = , где a 0, b 0, c 0, a  1.

 Пусть x = log a b, y = log c b, z = log c a, тогда ax = b; cy = b; cz = a, значит, ax = cy. Так как a = cz, то (cz)x = cy, то есть czx = cy. Следовательно, zx = y, то есть x = или log a b =

Необходимо провести это доказательство с учащимися в классе. Это позволит еще раз проследить связь взаимообратных функций y = log a x и y = ax.

4. На основании доказанной теоремы мы можем подтвердить свою догадку:

log 3 x =  log 2 x = log 2 3 · log 3 x.

Значит, коэффициент растяжения k = log 2 3.

5. Предлагаем учащимся самостоятельно вывести следствия из доказанной теоремы. На доску выносим запись всех трех формул.

Третью формулу можно также выписать в виде:

IV. Формирование умений и навыков.

1. Упражнения, выполняемые на этом уроке, направлены как на закрепление самой формулы перехода к новому основанию логарифма, так и на применение её и её следствий для вычисления значений выражений и сравнения чисел. В каждом примере возникает необходимость обоснования выбора нового основания логарифма, к которому осуществляется переход.

2. № 46.1 (а; б), № 46.2, № 46.4 (а; б)

Решение:

46.1.

а) log 2 + log 4 9 = log 2 + 32 = log 2 + log 2 3 =
= log 2 = log 2 1 = 0.

б)

= 2.

46.2.

log 2 3 = a.

а) log 3 2 = ;

б) log 3 = log 3 2–1 = –1 · log 3 2 = –1 · ;

в) log 3 4 = log 3 22 = 2 log 3 2 = 2 · ;

г) log 3 = log 3 4–1 = – log 3 4 = .

46.4.

log 2 3 = a.

а) log 4 9 = 32 = log 2 3 = a;

б) log 8 18 = log 8 2 + log 8 9 = 2 + 32 = log 2 2 +
+ · 2 · log 2 3 = a = ;

в) log 4 81 = log 4 92 = 2 log 4 9 = 2a;

г) log 8 54 = log 8 (18 · 3) = log 8 18 + log 8 3 = + 3 =
= + · log 2 3 = = a + .

3. № 46.5 (а; б), № 46.6 (а; б).

Для сравнения чисел необходимо привести логарифмы к одному основанию. Кроме того, необходимо учитывать характер монотонности логарифмической функции.

Решение:

46.5 (а).

log 2 7 и log 7 4.

Приведем второй логарифм к основанию 2.

log 7 4 = 2 log 7 2 = .

Оценим полученные выражения:

2 2 7

;

Значит, 2 7, или log 7 4 2 7.

46.6 (б).

3 и 1,5.

Имеем: .

Функция y = x – монотонно убывает. Так как 3 , то 3 , значит, 3 1,5.

4. № 46.9 (а; б), № 46.10*.

Для решения упражнений данной группы учащимся необходимо применять все ранее изученные свойства логарифмов и формулу перехода к новому основанию логарифма.

Необходимо побуждать ребят использовать разные следствия теорем о переходе к новому основанию в зависимости от задачной ситуации.

Решение:

46.9

а)
+ = 16 + 4 = 20;

б) log 3 8 · log 2 27 – = log 3 23 · log 2 33 =
= 3 · log 3 2 · 3 · log 2 3 – = 9 – 5 = 4.

Ответ: а) 20; б) 4.

46.10

а) = log 2 56 · log 2 28 – log 2 7 · log 2 224 =
= (log 2 7 + log 2 8)(log 2 4 + log 2 7) – log 2 7 (log 2 7 + log 2 32) =
= (log 2 7 + 3)(2 + log 2 7) – log 2 7 (log 2 7 + 5) = 2 log 2 7 + +
+ 6 + 3 log 2 7 – – 5 log 2 7 = 6.

б) = log 3 135 · log 3 45 – log 3 5 · log 3 1215 =
= (log 3 5 + log 3 27)(log 3 5 + log 3 9) – log 3 5 (log 3 5 + log 3 243) =
= (log 3 5 + 3)(log 3 5 + 2) – log 3 5 (log 3 5 + 5) = + 2 log 3 5 +
+ 3 log 3 5 + 6 – – 5 log 3 5 = 6.

Ответ: а) 6; б) 6.

V. Итоги урока.

Вопросы учащимся:

– Каким образом связаны графики различных логарифмических функций?

– Назовите формулу перехода к новому основанию логарифма.

– Какие следствия существуют из теоремы о переходе к новому основанию логарифма?

Домашнее задание: № 46.1 (в; г), № 46.3, № 46.4 (в; г), № 46.5 (в; г), № 46.6 (в; г), № 46.9 (в; г).




Скачать

© 2021, 1071 42

Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей

Вебинар для учителей

Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!