Учитель математики
МБОУ СОШ № 18
Раджабова С.М.
l
n
Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11.
2
Три случая взаимного расположения прямых в пространстве
p
l
m
n
p
l
II
n
m
a
b
a b
2
Планиметрия
Стереометрия
Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
a IIb
a IIb
3
3
Определение
Две прямые в пространстве называются параллельными, если
1) они лежат в одной плоскости и
2) не пересекаются
b
a
3
Прямые а и с не параллельны
Прямые b и с не параллельны
с
b
a
a IIb
После демонстрации этого слайда покажите пространственную модель (плоскость – картон, прямые – спицы)
3
6
Две параллельные прямые определяют плоскость.
(определение параллельных прямых)
b
a
Показать (1)
6
n
Определение
m
Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.
FL II n
F
АВ II С D
А
В
b
С
D
a
L
Отрезок FL параллелен
прямой n
Отрезки АВ и С D параллельны
6
12 см
14 см
Точки М, N, P и Q – середины отрезков BD, CD, AB и АС.
Р MNQP - ?
D
M
N
Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11. № 17.
А
В
P
Q
С
8
8
Повторим. ПЛАНИМЕТРИЯ. Аксиома параллельности.
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
b
А
а
Аксиома параллельности поможет доказать теорему о параллельных прямых
8
Теорема
Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
Прямая и не лежащая
на ней точка определяют плоскость
a
b
М
8
Повторим. Следствие из аксиомы параллельности.
b
c
а
Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
a II b , c b c a
Это следствие из аксиомы параллельности поможет доказать лемму о параллельных прямых
8
Лемма
Если одна из двух параллельных прямых
пересекает данную плоскость, то и другая
прямая пересекает данную плоскость.
a
b
М
?
12
Плоскости и имеют общую точку М, значит они пересекаются по прямой (А 3 )
a
b
Прямая р лежит в плоскости
и пересекает прямую а в т. М.
р
М
Поэтому она пересекает и
параллельную ей прямую b
в некоторой точке N .
N
Прямая р лежит также в плоскости , поэтому N – точка плоскости .
Значит, N – общая точка прямой b и плоскости .
13
Повторим. Следствие из аксиомы параллельности.
с
а
b
Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
a II с , b II с a II b
Аналогичное утверждение имеет место и для трех прямых в пространстве.
14
Теорема
Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
a II с , b II с
Докажем, что a II b
с
Докажем, что а и b
- Лежат в одной плоскости
- не пересекаются
a
b
К
1) Точка К и прямая а определяют плоскость.
Докажем, что прямая b лежит в этой плоскости.
Допустим, что прямая b пересекает плоскость . Тогда по лемме с также пересекает . По лемме и а также пересекает . Это невозможно, т.к. а лежит в плоскости
15
2) Используя метод от противного объясните почему прямые а и b не пересекаются.
16
Дано: АА 1 II СС 1 , АА 1 II ВВ 1 , ВВ 1 = СС 1
Доказать, что В 1 С 1 = ВС
В 1
А 1
С 1
В
А
«Дидактические материалы по геометрии для 10 класса». Зив Б.Г.
С
16
16
Дано: А 1 С 1 = АС, А 1 С 1 II АС, А 1 В 1 = АВ,
А 1 В 1 II АВ
Доказать, что C С 1 = В B 1
В 1
А 1
С 1
«Дидактические материалы по геометрии для 10 класса». Зив Б.Г.
В
А
С
Проверка
16
16
Треугольник АВС и квадрат А EFC не лежат в одной
плоскости. Точки К и М – середины отрезков АВ и ВС соответственно. Докажите, что КМ II EF .
Найдите КМ, если АЕ=8см.
В
M
K
С
«Математика. Самостоятельные м контрольные работы по геометрии для 11 класса». Ершова А.П., Голобородько В.В.
А
F
8см
Е
16
16
Квадрат АВС D и трапеция KMNL не лежат в одной
плоскости. Точки A и D – середины отрезков KM и NL соответственно. Докажите, что К L II BC .
Найдите BC , если KL = 10 см , MN = 6 см.
N
6 см
M
D
А
С
С
В
L
«Математика. Самостоятельные м контрольные работы по геометрии для 11 класса». Ершова А.П., Голобородько В.В.
10 см
K
16
16
Отрезок АВ не пересекается с плоскостью . Через концы отрезка АВ и его середину (точку М) проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках А 1 , В 1 и М 1 . а) Докажите, что точки А 1 , В 1 и М 1 лежат на одной прямой. б) Найдите АА 1 , если ВВ 1 = 12см, ММ 1 =8см.
В
М
А
«Математика. Самостоятельные м контрольные работы по геометрии для 11 класса». Ершова А.П., Голобородько В.В.
А 1
M 1
В 1
16
21