III. Актуализация знаний Постановка цели урока. Мотивация изучения материала. По методу «ДЖИГСО» осуществляет усвоение нового материала. Контролирует выполнение записей учащимися. Работая в группах, ученики самостоятельно изучают новый материал. Изучение нового материала 1. 2. Перейдем к взаимному расположению 2-х прямых в пространстве. Как и в планиметрии, две различные прямые в пространстве либо пересекаются в одной точке, либо не пересекаются (не имеют общих точек). Однако второй случай допускает две возможности: прямые лежат в одной плоскости (параллельны) или прямые не лежат в одной плоскости. В первом случае они параллельны, а во втором - такие прямые называются скрещивающимися. Даем определение. Сопровождаем показ параллельности, пересечения, скрещивания прямых хотя бы на модели куба, параллелепипеда, пирамиды (рисунки с обозначениями). Определение: Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. 3. Докажем теорему о параллельных прямых. Теорема: Д ано: А; А ∈ а. Провести через А прямую b || а, доказать ее единственность (рис. 2). Доказательство: По условию даны прямая а и не лежащая на ней точка А. По ранее доказанной теореме через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну. Проведем плоскость α. Теперь в плоскости а через току А проведем прямую b || а, а из планиметрии известно, что через точку А вне прямой а можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. Теорема доказана. В дальнейшем нам понадобятся такие понятия: два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых, аналогично определяются параллельность отрезка и прямой, параллельность двух лучей. Д окажем лемму о пересечении плоскости параллельными прямыми, которой будем пользоваться в дальнейшем. Лемма: а || b; α; а ∩ α = А (рис. 3). Доказать, что b ∩ α. Доказательство: 1. а || b определяют плоскость β. 2. Получили, что α и β имеют общую точку А, по аксиоме А3 поэтому поэтому В ∈ α следовательно, В ∈ b, b ∈ α. Докажем, что прямая b не имеет других общих точек с плоскостью α, кроме точки В. А это означало бы, что b ⊂ α. Если бы прямая b имела еще хотя бы одну общую точку с плоскостью α, то она целиком бы лежала в плоскости α, а это значит, что она была бы общей прямой плоскости α и плоскости β, то есть b ≡ m, но это невозможно, так как по условию а || b, и а ⊂ m. Значит,b ⊂ α = B. Лемма доказана. Задание для группы 1 группа Дано: М - середина BD; N - середина CD; Q - середина АС; Р - середина АВ; AD = 12 см; ВС = 14 см (рис. 5). Найти: PMNQP - ? Решение: 1. MN || BC по составу средней линии ⇒ MN || PQ; PQ || BC. 2. РМ || AD по составу средней линии ⇒ PM || QN; NQ || DA. 3. По определению MNQP - параллелограмм. 4. PQ = 7; РМ = 6 ⇒ РMNQP = 2(7 + 6) = 26. ( Ответ: 26 см.) Подведение итогов 2 группаДаны скрещивающиеся прямые , и точка . Провести через точку прямую, пересекающую прямые и . Решение. Если точка лежит на одной из прямых или , то задача тривиальна и имеет бесконечное множество решений. Пусть, например, . Выберем на прямой произвольную точку и проведем искомую прямую . Рассмотрим случай, когда точка T не лежит ни на одной из прямых , . Проведем плоскость через прямую и точку . Пусть (если , решений не существует). Проводим прямую . Если , то прямая – искомая. Если , решений не существует. 3 группа. В планиметрии справедлива теорема: две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны. Справедлива ли эта теорема в стереометрии? Решение. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед . и , но прямые и не параллельны (это скрещивающиеся прямые). Ответ: нет. |