"Парабола безопасности"

15

Управление образования администрации Ачинского района

Муниципальное казенное образовательное учреждение

«Ястребовская средняя школа»

Исследовательская работа

«Парабола безопасности»

с. Ястребово, 2015 г.

СОДЕРЖАНИЕ

КРАТКАЯ АННОТАЦИЯ

В данной работе рассматривается:

1. Теоретический материал

а) историческая справка о движении снарядов, выпущенных под углом φ к горизонту с начальной скоростью V_0;

б) о нахождении областей безопасности, обладающих свойством: если цель находится в этой области, то снаряды, выпущенные под любым углом φ, поразить не могут.

1. Экспериментальный материал

а) определение дальности полета, задавая определенный угол;

б) построение параболы безопасности.

Несутся искусство, любовь и история – по параболической траектории!

А. Вознесенский

ВВЕДЕНИЕ

Мы учащиеся 9 класса, Сергеев Роман и Кинстлер Алина решили изучить эту тему, т.к. мечта Романа - стать военным, поступить в военное училище и, поэтому его интересует все, что связано с оружием, а особенно нас заинтересовал раздел баллистика и нахождение зоны безопасности при выстреле.

Тема работы «Парабола безопасности».

Актуальность. Пули, снаряды и бомбы, теннисный и футбольный мячи, и ядро легкоатлета, при полёте движутся по баллистической траектории. На уроках физкультуры мы сталкиваемся с баллистическим движением: при метании спортивных снарядов, при игре в баскетбол, футбол, волейбол, бадминтон, прыжках в длину и высоту и т.д.

Новизна. Ни в одном учебнике по математике мы не нашли применения темы «Функция» в военном деле, а увидели в научно-популярной литературе по физике. Поэтому в своей работе мы показали связь между двумя предметами: физика и математика.

Цель исследования: определить зависимость дальности полета тела (снаряда) от угла вылета и построения параболы безопасности.

Задачи исследования:

1. Рассмотреть вопросы, связанные с историей возникновения баллистики.

2. Изучить баллистическое движение, его характеристики.

3. Экспериментально исследовать зависимости дальности полёта тела от угла вылета.

4. Построить параболу безопасности.

5. Выяснить оптимальные углы вылета при толкании легкоатлетических снарядов (ядра, диска, копья).

Объект исследования: дальность полета тела

Предмет исследования: угол вылета тела.

Гипотеза: с увеличением угла вылета тела, при одинаковой начальной скорости, дальность полёта уменьшается, а высота увеличивается.

Методы исследования:

• поиск информации;

• анализ и синтез;

• сравнение.

Предполагаемый результат:

максимальная дальность полета тела будет под углом вылета φ = 45⁰.

1. История возникновения баллистики

Сегодня баллистика – прежде всего военно-техническая наука, применяемая в проектировании орудий, ракетных пусковых установок и бомбардировщиков. Важную роль играет баллистика в проектирование космических кораблей и криминалистика.

В 1644 г. французский математик Мерсенн предложил назвать науку о движении снаряда – баллистикой.

Баллистика (от греч. “ballo” — бросать, метать) — наука о движении тел, брошенных в пространстве, основанная на математике и физике. Она занимается исследованием движения снарядов и баллистических ракет.

Траекториями движения снарядов интересовался философ Аристотель (384 -322 до н.э.). Он считал, что сначала движение идет по наклонной прямой, затем по дуге окружности и, наконец, по вертикальной прямой.

Чтобы обеспечить прицельность стрельбы, нужно было изучить движение тела, брошенного под углом к горизонту. Гениальный самоучка Никколо Тарталья (1500 -1557 г.), видимо, был первым, кто догадался, что снаряд пролетит наибольшее расстояние, если наклонить орудие к горизонту под углом 45⁰ . Он хранил эту идею в тайне, но когда, турецкие войска напали на его родную Венецию, выдал тайну герцогу Урбинскому, чтобы каждый солдат мог использовать его открытие как для нападения, так и для защиты.

Следующий шаг в этой истории сделал Галилео Галилей (1564 -1642) . Он гениально догадался, что движение тел, брошенного под углом к горизонту, складывается из равномерного прямолинейного движения, которое имело бы место, не будь силы тяжести и свободного падения. В результате тело движется по параболе. Используя свойства параболы, Галилей составил таблицу для стрельбы, доказал утверждение Н. Тартальи о том, что угол в 45⁰ отвечает наибольшей дальности полета.

Новая эра в баллистике начинается с работ петербургского академика Эйлера (1710-1763 гг.). В 1753 году Эйлер предложил метод расчета траекторий, который применяется до настоящего времени.

Первым преподавателем баллистики в России был Викентий Александрович Анкудович (1792-1856 гг.).

В СССР была создана широкая сеть научно-исследовательских институтов, которые разработали к началу Великой Отечественной войны все необходимые вопросы баллистики.

В настоящее время применение баллистики в боевых действиях предусматривает расположение системы оружия в таком месте, которое позволяло бы быстро и эффективно поразить намеченную цель с минимальным риском для обслуживающего персонала.

1. Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Рассмотрим движение снаряда, брошенного с начальной скоростью V₀ под углом φ к горизонту. Построим математическую модель этого движения.

Рис. 1

Примем точку вылета снаряда за начало координат. Ось Ох будем считать горизонтальной, ось Оу направим вертикально вверх и через t обозначим время полета снаряда (Рис. 1).

Будем считать, что движение снаряда происходит в плоскости хОу, и не станем учитывать сил сопротивления воздуха. Тогда на основании второго закона Ньютона в момент времени t координаты точки, в которой находится снаряд, будут выражаться формулами

x = V₀ *t * cos φ;

y = V₀ *t *sin φ – . (1)

Уравнения (1)дают возможность определить положение летящего снаряда в любой момент времени t. Исключим из уравнения (1) величину t и получим уравнение траектории движения снаряда в виде зависимости y от x. Для этого выразим t из первого уравнения:

t = и подставим во второе уравнение. Из него получим

(2)

При фиксированных значениях V₀ и φ графиком полученного квадратного трехчлена будет парабола, обращенная вершиной вверх.

Следовательно, мы математически доказали, что движение снаряда действительно происходит по параболе.

На самом деле уравнение (2) задает не одну, а бесконечное множество парабол, являющихся возможными траекториями движения снаряда: если зафиксировать V₀ - начальную скорость снаряда и начать изменять угол бросания φ, то для каждого значения φ мы получим свою параболу. Уравнение (2) задает семейство парабол, зависящих от параметра φ, где 0^о ≤ φ ^о, и являющихся возможными траекториями движения снаряда (Рис. 2).

Рис. 2

Более того, дальность полета снаряда при углах наклона φ и 90^о – φ одинаковы, т.е. снаряд поподает в одну и ту же точку. Это происходит, например, при углах 30^о и 60^о, 40^о и 50^о и т.д. артиллеристы называют траекторию снаряда, отвечающую углу наклона φ, где 0^о ≤ φ ^о, настильной,

а отвечающую углу наклона φ, где 45^о ≤ φ ^о, навесной (Рис 3).

Рис.3

Реальное движение тел в земной атмосфере происходит по баллистической траектории, существенно отличающейся от параболической из-за вращения Земли, сопротивления воздуха, влажности и давления воздуха (Рис.4).

Рис. 4

Траектории снарядов, изображенных на рисунке 2, заполняют одну часть плоскости хОу , а в другую часть они не попадают. Таким образом, существует непоражаемая зона, или зона безопасности, в которую при данной начальной скорости V_o невозможно попасть ни при каком угле бросания φ.

В теории стрельбы параболу, являющуюся границей зоны безопасности, называют параболой безопасности.

Вернемся к рассмотрению семейства парабол (2) и вместо угла бросания φ введем новую переменную a = tg φ. После этого выбор угла бросания φ заменяется выбором числа а и наоборот. Поскольку 0^о ≤ φ ^о, то 0 ≤ а