Отображения на прямой и плоскости. Неподвижные точки, инволюции

Одномерные отображения

Неподвижная точка — точка, кот зад отобр переводит в неё же, иными сл, реш ур .

К прим, отобр имеет неподв точки x=1 и x=-3, т к f(1)=1 и f(3)=3.

Неподв есть не у всякого отобр — например, отобр вещ прямой в себя непод точек не имеет.

Периодические точки - Точки, возвращающиеся в себя после конечного числа итераций, т е, решение ур

неподвижные точки — это периодические точки периода 1).

Теорема Шарковского. Пусть I – отрезок на числовой прямой, а f: I → I – непрерывное
отображение. Если f имеет точку периода p и , то найдется точка периода q

Пр1.Непрерывное отображение f: [1,5] → [1, 5], имеющее период 5, но не имеющее периода 3 Пусть f задано в точках 1, 2, 3, 4, 5 так :

а на промежуточные отрезки распространено по линейности (рис). а на промежуточные

отрезки распространено по линейности (рис. 1). Орбита точки x = 1 имеет вид 1, 3, 4, 2, 5, 1, …, т. е. f обладает периодом 5. Из графиков видим что нет орбиты периода 3

пр2 Непрерывное отображение f: [1,7] → [1, 7], спериод 7, не имеющее периоды 5 и 3.

Орбита точки x = 1 имеет вид 1, 4, 5, 3, 6, 2, 7, 1, т е имеет период 7

Из последнего рис решение уравнения есть только неподвижная точка. Значит, точек предыдущих периодов нет.

Задачи на одномерные отображения

пр Найти неподвижную точку отображения промежутка [0, 1] в себя, заданного ф-лой:

РЕШ: Неподвижная точка отображения промежутка [0, 1] соотв т пересеч графика

с биссектрисой коорд угла

графиком явл окружность в ц нач к=т и с рад = 1ед измерения Неподвижная точка получ путем поворота т (1; 0) на угол 45◦, вокруг центра

1)Функция y = sign x не имеет обратной.

2) Дано уравнение преобразуем его к виду Найдите все , при которых применение теоремы возможно на отрезке [0,2]. Отв: -2  

3) Для каждого из следующих множеств указать пример непрерывного отображенияч этого множества в себя без неподвижных точек:

а) числовая прямая; б) полуинтервал (0,1]; в) пара отрезков [-2,-1] и [1,2].

4) указать пример разрывного (т.е. не непрерывного) отображения отрезка [0,1] в себя, не имеющего неподвижных точек

5)На числовой прямой R заданы функции. Какая из них отображает отрезок [0,1] в себя?

6) Пусть f – непрерывная функция на отрезке , отображающая каждый конец отрезка в себя, т. е. . Пусть g – непрерывная функция, отображающая отрезок  в себя. Докажите, что тогда на этом отрезке найдется такая точка x0, что . Сохранится ли это в силе, если g – произвольная непрерывная функция на ?

7). Докажите, что непрерывное отображение f отрезка  на (весь) отрезок , содержащий в себе отрезок А, имеет неподвижную точку. Верно ли это, если образ отрезка А не совпадает с В, а только лежит в нем?

8).Пусть f –непрерывное отображение отрезка  на себя. Докажите, что отображение    (композиция отображения f с самим собой) имеет по крайней мере две неподвижных точки. Верно ли это, если f отображает отрезок  в себя, но не на себя?

9) Показать, что отображение  оси Ох в себя имеет единственную неподвижную точку. В качестве приближенного значения корня уравнения  взять 3й член посл-ти  , полученной методом итерации, и оценить величину погрешности.

10) Отображение А на полупрямой  переводит каждую точку  в  . Является ли оно сжимающим и имеет ли неподвижную точку?

Логистическое отображение (квадратичное отображение) - это полиномиальное отображение, описывающее изменение численности популяции с течением времени. 2 вида записи

описывает два эффекта:

1)когда численность популяции xn мала, она размножается со скоростью, пропорциональной этой численности, т к если

2) скорость размножения падает, возрастает конкуренция и смертность (нелинейное ограничение роста ) :

1)Найдите неподвижные точки логистического отображения и иссл их устойивость в зависимости от λ отв и

2). Найдите в явном виде элементы 2- цикла логистического отображения В каком интервале параметра λ существует 2й- цикл ?

3)Построить с помощью компьютера итерационные диаграммы для логистического отображения для значений параметра Какой процесс будет устанавливаться в каждом случае по прошествии достаточно большого времени ?

7)пример разрывного (т.е. не непрерывного) отобр отр [0,1] в себя, не имеющ неподвижных точек.

Инволюции

Непрерывное отображение f отрезка [0,1] в себя называют инволюцией, если оставляет неподв каждую точку отрезка. Иначе, это значит, что функция f обратна самой себе.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1)Проверить что следующие функции являются инволюциями

2)Доказать что каждая нетривиальная инволюция имеет только 1 непод точку

3)Пусть f – непрерывная функция на отрезке , отобр каждый конец отрезка в себя, т.е. . Пусть g – любая непрер функция, отобр отрезок в себя. До, что тогда на этом отрезке найдется такая т x₀, что . Сохранится ли это утверждение в силе, если g – произвольная непрерывная функция на ?

Теорема о неподвижной точке.

Допустим, что некоторый шар заполнен песком. Если мы встряхнем этот шар, то все песч немн изменят свое положение. Но, оказывается, что есть такая песчинка, которая останется неподвижной.Пусть А – отрезок тонкой резинки. Б его деформир как уг, но без разрывов и склеивания. И в таком деформир виде заставим его занимать на пл=ти то же место, что и раньше (или часть места). Оказ, что при этом хотя бы одна точка займёт свое первона место.

Эти 2 примера дают понятие т о неподвижной точке. Л.Брауэра и причис к важн т в матем. Ещё прим этой т: если круг повернуть вокруг ц на угол 30о, то единств неподв точкой б центр круга.Но если то же отобр рассм на окружн, то она не б иметь неподвижных точек.

Каждое пост отобр произв пр=ва в себя имеет одну неподвижную т. А отобр некот множества в себя м иметь, а может и не иметь этой точки.

: Точка х, обл свойством, что f(x)=x, наз неподвижной точкой отображения.

Т БРАУЭРА: Каждое непрерывное отображение прямолинейного отрезка в себя имеет хотя бы 1 неподвижную точку.

Интуитивное доказательство

ДОК: В на прямой, содержащей этот отрезок, к-ты так, что отрезок превр в замкн промеж [a, b].

Тогда рассматриваемое отображение будет непрерывной функцией f, отображающей промежуток в себя (f :[a,b]→[a,c]). Опр новую ф q:[a,b]→R с усл, что q(x)=f(x) –x для x € [a,b] . Таким обр, функция q равна, взятому с определенным знаком, расстоянию между точкой Х и её образом f(x).

Если f(x) x, то f(x) - x= q 0, а если f(x)

а) Если неподвижен какой-н из концов промежeжутка, то доказывать нечего, т.к. этот конец и будет неподвижен точно.

б) Доп, что ни один из концов промежутка не неподвижен. Т к f(a) и f(b) принадлежат [a,b], то f(a)a и f(b)0 (f(a) – а = q0) и q (b)