Открытый урок информатики

Большакова Ирина Павловна, учитель информатики МБОУ СШ №6 г.Димитровграда

Тема урока: Моделирование и формализация. Исследование математических моделей.

Тип урока: урок проверки знаний, умений, навыков

Цели урока:

• Образовательная: Обобщить знания по теме «Модели, моделирование, формализация», проверить знания по данной теме, умения моделировать задачи на формальном (математическом) языке, навыки решения задач программными средствами — электронными таблицами.

• Развивающие: развивать теоретическое и логическое мышление у учащихся; познавательный интерес к предмету; формировать операционное мышление, направленное на выбор оптимальных решений; развивать умение самостоятельной работы за компьютером; научить учащихся применять современное программное обеспечение в решении математических задач, развивать творческую активность учащихся.

• Воспитательные: формировать устойчивое внимание у учащихся, воспитывать веру в себя путем преодоления трудностей в учебной работе.

Формы обучения:

• фронтальная;

• индивидуальная (дифференцированно).

Средства и оборудование: компьютер, мультимедиа проектор; карточки с заданиями для компьютерного практикума; карточки-тесты, компьютерная презентация, слайды, иллюстрации.

Программное обеспечение: MS Office Excel

Этапы урока:

1. Организационный этап (1 мин)

2. Этап актуализации полученных знаний

а) Фронтальный опрос (учащиеся отвечают на вопросы по теме «Моделирование»). Вопрос-ответ. Карточки. (5 мин)

Моделирование

1. Как называется упрощенное представление реального объекта? (Модель.)

2. Как называется процесс построения моделей? (Моделирование.)

3. Система, как правило, состоит из нескольких объектов или из одного? (Из нескольких.)

4. Детские игрушки - это материальные или информационные модели? (Материальные.)

5. Схема электрической цепи - это материальная или информационная модель? (Информационная.)

1. Состояние системы в конкретный момент времени называется статической или динамической моделью? (Статической.)

2. Изменение состояния системы в некоторый период времени называется статической или динамической моделью? (Динамической.)

3. Как называется процесс описания модели на формальном языке? (Формализация.)

4. Описание модели с помощью формального языка. (Формализация.)

10. Граф, предназначенный для отображения вложенности, подчиненности, наследования и т.п. между объектами, называется деревом или схемой? (Деревом.)

1. Каково общее название моделей, которые можно осязать? (Материальные.)

2. Назовите инструмент для компьютерного моделирования. (Компьютер.)

3. Каково общее название моделей, которые представляют собой совокупность полезной и нужной информации об объекте? (Информационные.)

4. Информационная модель, состоящая из строк и столбцов, называется таблица или граф? (Таблица.)

5. Средство для наглядного представления состава и структуры системы называется таблица или граф? (Граф.)

6. Граф, отображающий последовательность выполнения действий, называется таблицей или блок-схемой? (Блок-схемой.)

7. Устное представление информационной модели называется словесной моделью или графической? (Словесной.)

8. Как называются модели, в которых на основе анализа различных условий принимается решение? (Логические.)

9. Упорядочение информации по определенному признаку называется сортировкой или систематизацией? (Систематизацией.)

10. Чертеж на бумаге - это информационная или материальная модель? (Информационная.)

11. Формула — это знаковая или вербальная модель? (Знаковая.)

12. Назовите программу, с помощью которой можно создавать графические модели. (Графический редактор.)

13. Назовите программу, с помощью которой можно создавать описательные модели. (Текстовый редактор.)

14. Что является материальной моделью земли? (Глобус.)

15. Можно ли моделировать поведение? (Да.)

б) Кроссворд. Карточки. (5 мин)

Ответы.

По горизонтали: 1) объект; 2) формализация; 3) дерево; 4) материальные; 5) компьютер; 6) информационные.

По вертикали: 7) таблица; 8) граф; 9) моделирование; 10) схема; 11) модель.

По горизонтали:

1. Некоторый предмет.

2. Описание модели с помощью формального языка.

3. Граф, предназначенный для отображения вложенности, подчиненности, наследования и т.п. между объектами.

4. Общее название моделей, которые можно осязать.

5. Инструмент для компьютерного моделирования.

6. Общее название моделей, которые представляют из себя совокупность полезной и нужной информации об объекте.

По вертикали:

1. Информационная модель, состоящая из строк и столбцов.

2. Средство для наглядного представления состава и структуры системы.

3. Процесс построения моделей.

1. Граф, отображающий последовательность выполнения действий.

1. Упрощенное представление реального объекта, процесса или явления.

1. Этап контроля и самоконтроля знаний

Тест с вариантами ответов. Индивидуальная работа. Карточки с заданиями. (На листках). (15 мин)

Вариант 1 Тест по теме «Модели и моделирование»

1. Модель есть замещение изучаемого объекта другим объектом, который отражает:
   а) все стороны данного объекта; б) некоторые стороны данного объекта; в) существенные стороны данного объекта; г) несущественные стороны данного объекта.

2. Результатом процесса формализации является:
   а) описательная модель; б) математическая модель; в) графическая модель; г) предметная модель.

3. Информационной моделью организации занятий в школе является:
   а) свод правил поведения учащихся; б) список класса; в) расписание уроков; г) перечень учебников.

4. Материальной моделью является:
   а) макет самолета; б) карта; в) чертеж; г) диаграмма.

5. Генеалогическое дерево семьи является:
   а) табличной информационной моделью; б) иерархической информационной моделью; в) сетевой информационной моделью; г) словесной информационной моделью.

6. Знаковой моделью является:
   а) анатомический муляж; б) макет здания; в) модель корабля; г) диаграмма.

7. Укажите в моделировании процесса исследования температурного режима комнаты объект моделирования:
   а) конвекция воздуха в комнате; б) исследование температурного режима комнаты; в) комната; г) температура.

8. Правильный порядок указанных этапов математического моделирования процесса: 1) анализ результата; 2) проведение исследования; 3) определение целей исследования; 4) поиск математического описания.
   Соответствует последовательности:
   а) 3-4-2-1; б) 1-2-3-4; в) 2-1-3-4; г) 3-1-4-2.

9. Из скольких объектов, как правило, состоит система?
   а) из нескольких; б) из одного; в) из бесконечного числа; г) она не делима.

10. Как называется граф, предназначенный для отображения вложенности, подчиненности, наследования и т.п. между объектами?
    а) схемой; б) сетью; в) таблицей; г) деревом.

11. Устное представление информационной модели называется:
    а) графической моделью; б) словесной моделью; в) табличной моделью; г) логической моделью;

12. Упорядочение информации по определенному признаку называется:
    а) сортировкой; б) формализацией; в) систематизацией; г) моделированием.

Вариант 2 Тест по теме «Модели и моделирование»

1. Как называется упрощенное представление реального объекта?
   а) оригинал; б) прототип; в) модель; г) система.

2. Процесс построения моделей называется:
   а) моделирование; б) конструирование; в) экспериментирование; г) проектирование.

3. Информационная модель, состоящая из строк и столбцов называется:
   а) таблица; б) график; в) схема; г) чертеж.

4. Каково общее название моделей, которые представляют собой совокупность полезной и нужной информации об объекте:
   а) материальные; б) информационные; в) предметные; г) словесные.

5. Схема электрической цепи является:
   а) табличной информационной моделью; б) иерархической информационной моделью; в) графической информационной моделью; г) словесной информационной моделью.

6. Знаковой моделью является:
   а) карта; б) детские игрушки; в) глобус; г) макет здания.

7. Укажите в моделировании процесса исследования температурного режима комнаты цель моделирования:
   
   а) конвекция воздуха в комнате; б) исследование температурного режима комнаты; в) комната; г) температура.

8. Правильные определения понятий приведены в пунктах
   1) моделируемый параметр — признаки и свойства объекта-оригинала, которыми должна обязательно обладать модель; 2) моделируемый объект — предмет или группа предметов, структура или поведение которых исследуется с помощью моделирования; 3) закон — поведение моделируемого объекта.
   а) 1-2-3 б) 2-3; в) 1-3; г) 1-2.

9. Инструментом для компьютерного моделирования является:
   а) сканер; б) компьютер; в) принтер; г) монитор.

10. Как называется средство для наглядного представления состава и структуры системы?
    а) таблица; б) граф; в) текст г) рисунок.

11. Как называются модели, в которых на основе анализа различных условий принимается решение?
    а) словесные; б) графические; в) табличные; г) логические;

12. Решение задачи автоматизации продажи билетов требует использования:
    а) графического редактора; б) текстового редактора; в) операционной системы; г) языка программирования.

Проверка. Самопроверка. Выставление оценки.

Критерии оцеонк:

«5» — 11 – 12 (95%)

«4» — 9 – 10 (80%)

«3» — 7 – 8 (65%)

1. Этап применения знаний

Вступительное слово учителя

За последнее десятилетие подход к математическим расчетам изменился коренным образом. На смену счётам, арифмометрам, логарифмическим линейкам и калькуляторам пришли компьютеры. Специалист, даже хорошо знающий математику, но не умеющий на практике применять знания, производить математические вычисления с помощью компьютера, едва ли может считаться высококлассным. В качестве основного средства для решения математических задач можно использовать широкие возможности пакета Microsoft Excel.

Задача оптимизации – это математическая модель определенного процесса производства продукции, его распределение, хранение, переработки, транспортирования, покупки или продажи, выполнение комплекса сервисных услуг и т.д. Это обычная математическая задача типа: Дано/Найти/При условии,  но которая имеет  множество возможных решений. Таким образом, задача оптимизации – задача выбора из множества возможных вариантов наилучшего, оптимального.

Решение такой задачи называют планом или программой, например, говорят – план производства или программа реконструкции. Другими словами это те неизвестные которые нам надо найти, например,  количество продукции которое даст максимальную прибыль. Задача оптимизации – поиск экстремума, то есть, максимального или минимального значения определенной функции, которую называют целевой функцией, например, это может быть функция прибыли – выручка минус затраты. Так как и всё в мире ограничено (время, деньги, природные и человеческие ресурсы), в задачах оптимизации всегда есть определенные ограничения, например, количество метала, рабочих и станков на предприятии по изготовлению деталей.

Каждая задача оптимизации обязательно должна иметь три компоненты:

1. неизвестные (что ищем, то есть, план);

2. ограничение на неизвестные (область поиска);

3. целевая функция (цель, для которой ищем экстремум).

При решении оптимизационных задач с помощью Поиск решений (Solver) необходимо различать линейные и нелинейные модели. Под линейными понимаются модели, в которых связь между ограничениями на неизвестные и целевой ячейкой описывается линейными функциями. Общий вид линейной функции: Y=AX1+BX2+…+CXn, где A, B, C – константы, X1, X2, X3 – переменные, Y – результирующие значение.

Линейное программирование – наиболее развитый раздел математического программирования, вычислительные средства которого позволяют находить глобальный оптимум линейной задачи оптимизации.

Большинство экономических задач хорошо описываются линейными моделями.

Историческая справка

1. История + персоны (доклады учащихся)

1 ученик

История математического моделирования

Математические модели являются одним из основных инструментов познания человеком явлений окружающего мира.

Под математическими моделями понимают основные закономерности и связи, присущие изучаемому явлению. Это могут быть формулы или уравнения, наборы правил или соглашений, выраженные в математической форме. Испокон веков в математике, механике, физике и других точных науках естествознания для описания изучаемых ими явлений использовались математические модели.

Математическое моделирование и вычислительный эксперимент - ведущие методологии изучения глобальных моделей процессов и явлений на Земле, например климата Земли.

Существенное усложнение организационных, экономических и производственных процессов, характерное для послевоенного периода (50-ые годы XX ст.), привело к потребности использования в соответствующих расчетах мощных математических и вычислительных средств, что стало возможным, в частности, с появлением компьютеров (ЭВМ).

На стыке математики и экономики возник и постепенно стал развиваться современное научное направление "Математическая экономика", где профессиональные экономисты в своих исследованиях активно используют математические методы, а математики обращаются к экономическим задачам, чтобы применить соответствующие полученные ими результаты. Основателем и активным разработчиком математической экономики считается В. В. Леонтьев.

2 ученик

Васи́лий Васи́льевич Лео́нтьев (5 августа 1905, Мюнхен) — экономист, лауреат Нобелевской премии по экономике за 1973 год «за развитие метода «затраты — выпуск» и за его применение к важным экономическим проблемам».

1 ученик

В 1938 году 26-летний профессор-математик Л. В. Канторович (1912-1986), работая научным консультативным фанерной фабрики, впервые сформулировал задачу оптимального (то есть наилучшего из всех возможных вариантов при определенных ограничениях) использования ограниченных производственных ресурсов и предложил соответствующий математический метод ее решения.

2 ученик

Леони́д Вита́льевич Канторо́вич (6 (19) января 1912, Санкт-Петербург — 7 апреля 1986, Москва) — советский математик и экономист, лауреат Нобелевской премии по экономике 1975 года «за вклад в теорию оптимального распределения ресурсов». Пионер и один из создателей линейного программирования.

1 ученик

Американский математик Дж. Данциг, занимаясь планированием в оборонной сфере, где разрабатывал программы совершенствования военно-воздушных сил США, в 1947 г. сформулировал задачу оптимизации и соответствующий математический аппарат, который назвал „линейное программирование". В 50-ые годы в США с появлением первых компьютеров этим методом сразу же воспользовались и запрограммировали его. После этого начался бурный процесс применения линейного программирования в самых разнообразных сферах: военной, промышленной, бизнесовой и др.
С середины 50-х годов математическая оптимизация уже в виде всем известного линейного программирования начала применяться и в нашей стране.

Постепенно наши математики начинают решать практические задачи оптимального планирования, которые существуют в экономике и производственной сфере. Так формируется научное направление "экономико-математическое моделирование".

Выдающиеся математики, такие, как Джон фон Нейман (США)

2 ученик

Джон фон Нейман, John von Neumann (родился 28 декабря 1903 года в Будапеште; умер 8 февраля 1957 года в Вашингтоне) - один из крупнейших ученых ХХ века, работавший в областях математики, физики, химии, астрономии, биологии, экономики.

• Мы научимся контролировать всё, чего не можем предсказать, и научимся предсказывать всё, чего не можем контролировать.

• Кто пытается арифметическими методами генерировать случайные числа, тот, конечно, живет во грехе.

• Нет смысла быть точным, когда не знаешь, о чем говоришь.

• В математике не усваивают понятий, а привыкают к ним.

• Вы говорите, что машина не может делать все. Если вы скажете точно, что именно она не может делать, я могу создать машину, которая это сделает.

1 ученик

или В.М. Глушков (СССР), как никто понимали необходимость иметь мощные вычислительные средства. Они и стали известными в мире как основатели математической теории автоматов и руководители проектов по разработки компьютеров, активными проводниками внедрения методов математического моделирования в экономическую.

Вычислительные методы линейного, а позже - математическое программирование уже приобрели статус мощных инструментов решения многообразных задач оптимизации с применением компьютеров. Модели и методы математического программирования вошли в арсенал средств для поиска оптимальных решений в экономических и организационных задачах.

1. О моделировании экономических задач (на оптимизацию) методом линейного программирования (учитель). Решение, исследование, уточнение с использованием надстроек «Поиск решения» и «Подбор параметра» ЭТ MS Excel. {Поиск значения параметра формулы, удовлетворяющего конкретному значению – это численное решение уравнений}

Задачи поиска параметра или нескольких параметров, обеспечивающие заданный результат или минимально (максимально) возможный решаются с помощью Поиска решения.

Надстройки в электронных таблицах

В электронных таблицах для решения некоторых специфических задач существуют надстройки. С помощью надстроек можно приближенно с заданной точностью решать уравнения методом подбора параметра, решать задачи оптимизационного моделирования методом поиска решения.

• Надстройка Поиск решения позволяет решать задачи оптимизационного моделирования. Процедура поиска решения позволяет найти оптимальное решение формулы, содержащейся в ячейке, которая называется целевой. Эта процедура работает с группой ячеек, прямо или косвенно связанных с формулой в целевой ячейке. Чтобы получить по формуле, содержащейся в целевой ячейке, искомый результат, процедура изменяет значения во влияющих ячейках. Чтобы сузить множество значений, используемых в модели, применяются ограничения. Эти ограничения могут содержать ссылки на другие влияющие ячейки.

• Подбор параметра используется при поиске значения аргумента функции, который обеспечивает требуемое значение функции с заданной точностью. При подборе параметра изменяется значение в ячейке аргумента функции до тех пор, пока значение в ячейке самой функции не будет возвращать нужный результат. Точность подбора зависит от заданной точности представления чисел в ячейках таблицы.

Этапы решения задач на компьютере.

Решение задач с помощью компьютера включает в себя следующие основные этапы, часть из которых осуществляется без участия компьютера.

1. Постановка задачи:

• сбоp инфоpмации о задаче;

• фоpмулиpовка условия задачи;

• опpеделение конечных целей pешения задачи;

• определение формы выдачи результатов;

• описание данных (их типов, диапазонов величин, структуры и т.п. ).

2. Анализ и исследование задачи, модели:

• анализ существующих аналогов;

• анализ технических и программных средств;

• pазpаботка математической модели;

• разработка структур данных.

3. Решение задачи на компьютере с использованием программного средства.

6. Анализ результатов решения задачи и уточнение в случае необходимости результата.

Математическая модель.

Математическая модель — это система математических соотношений — формул, уравнений, неравенств и т.д., отражающих существенные свойства объекта или явления.

Создавая математическую модель для решения задачи, нужно:

• выделить предположения, на которых будет основываться математическая модель;

• определить, что считать исходными данными и результатами;

• записать математические соотношения, связывающие результаты с исходными данными.

Решение задач (30 мин)

Задачи (финансовые)

1 В

1. Известно, что школе необходимы для нормального функционирования 4-6 технического персонала, медсестра, 2 бухгалтера, 20-23 учителя, 3 зам.директора, директор, секретарь, зав.библиотекой, зав.хозяйством. Необходимо определить, какими должны быть зарплаты сотрудников школы, при условии что оклад технички не должен быть меньше прожиточного минимума – 3000 руб. и

• медсестра получает в 3 раза больше технички;

• учитель - в 4 раза больше технички;

• бухгалтер - на 800 руб. больше, чем учитель;

• зам.директора – в 5 раз больше технички;

• директор – на 900 руб.больше зам.директора;

• секретарь – в 1,5 раза больше технички;

• зав.библиотекой – на 200 руб.больше секретаря;

• зав.хозяйством – на 800 руб. больше секретаря и:

а) Общий месячный фонд зарплаты должен быть минимален;

б) Общий месячный фонд зарплаты составляет 380 000 руб;

Визуализация данных (построить диаграмму сравнения зарплат сотрудников школы).

Сделайте выводы.

2В

Школьный лагерь обслуживают семь групп сотрудников. (Группы обозначены А, Б, В, Г, Д, Е, Ж.) Каждая группа имеет разные выходные дни. Выходных дней для каждой группы должно быть не менее двух, выходные следуют подряд. Один сотрудник входит только в одну группу. Известна потребность в сотрудниках в каждый из дней.

Все сотрудники имеют одинаковый размер недельной оплаты, который не зависит от графика работы. Необходимо подобрать такую численность сотрудников в каждой группе:

а) чтобы добиться минимизации затрат на оплату труда при выполнении требования по числу сотрудников на каждый день, при условии что дневная зарплата сотрудников 500 руб.;

б) если общий недельный фонд зарплаты составляет 15 000 руб.

Визуализация данных (построить диаграмму сравнения количества сотрудников лагеря в каждый из дней).

Сделайте выводы.

Вопросы учителя.

1. Каковы исходные данные?

2. Каков предполагаемый результат?

3. Назовите целевую функцию.

4. Каков критерий оптимизации?

5. Назовите ограничения на параметры.

6. Назовите изменяемые величины.

Решение уравнений

Решение уравнений в ЭТ приближенными методами (графическим).

Алгоритм

1. Построение графика уравнения:

• В диапазон ячеек ввести значения аргумента функции (х) от a до b с шагом с.

• В ячейку следующей строки ввести формулу вычисления значений функции и скопировать ее в диапазон ячеек.

• Построить диаграмму типа Точечная.

• Абсциссы точек пересечения графика функции с осью ОХ являются приближенными корнями уравнения.

2. Определение корня уравнения приближенно с заданной точностью с помощью метода Подбор параметра.

• Найти в ячейке таблицы значений функции ближайшее к нулю значение.

• Сервис / Подбор параметра

• В поле Значение ввести значение 0.

• В поле Изменяя значение ввести адрес ячейки со значением х.

1 вар.

1. Решите графически уравнение: .

2. С помощью ЭТ решите уравнение с точностью до тысячных и представьте решение графически:

на [-4;4].

2 вар.

1. Решите графически уравнение: .

2. С помощью ЭТ решите уравнение с точностью до тысячных и представьте решение графически:

на [-4;4].

1. Этап информации о домашнем задании

Решите уравнения: 1)

2) (использовать функции категории Математические( Степень, Корень, Cos)

1. Этап подведения итогов занятия

Итог урока в виде фронтального опроса.

1. Что было сложным и трудным при решении экономических задач? Строить математическую модель (составление формул, уравнений, неравенств) или решение на компьютере?

2. Какие задачи оптимизации явились для вас более сложными геометрические или экономические?

Выставление оценок.