Опыты с равновозможными элементарными событиями. Урок в 8 классе. Теория вероятности и статистика

Урок 17-18. Опыты с равновозможными элементарными событиями

1. Математика 7 – 9 класс. Теория вероятностей и статистика / Ю. Н. Тюрин, А. А. Макаров, И. Р. Высоцкий, И. В. Ященко. — 3-е изд., стереотипное. — М.: МЦНМО: ОАО «Московские учебники», 2011. — 256 с.: ил.;

2. Дидактические материалы по теории вероятностей. 8 – 9 классы / И. Р. Вы- соцкий. — М.:МЦНМО, 2018, 224 с.

Цель урока — развить навыки расчёта вероятности случайного события в опытах, где все элементарные события равновозможны.

1. Сформулируйте правило вычисления вероятностей.

2. Бросают одну игральную кость. Событие A заключается том, что выпало не больше, чем шесть очков. Является ли событие A достоверным? Чему равна вероятность события A?

3. Приведите пример достоверного события в случайном эксперименте с бро- санием двух игральных костей.

4. Если в случайном опыте N равновозможных элементарных событий, то чему равна вероятность каждого?

1. Изучая статистику, семиклассник провёл экс- перимент: он 100 раз подбросил правильный иг- ральный кубик и записал, сколько очков выпало при каждом броске. Результаты показаны на ги- стограмме. Найдите частоту события «Выпало не более двух очков»

0,25

0,20

Частота

0,10

0,05

0,00

1 2 3 4 5 6

Выпавшие очки

Опыты с равновозможными элементарными событиями в жизни почти не встречаются. Практические все такие опыты искусственные. Это игры — лотереи, жребии и т.п. Теория вероятностей произошла от подсчёта шансов в играх, но она давно вышла за рамки игровых экспериментов. Однако класси- ческие вероятностные модели — монета и игральные кубики (кости), жребии и подобное — остаются важным учебным элементом и частью научной куль- туры. Во-первых, потому что в этих экспериментах заранее известны вероят- ности элементарных исходов. Но главное, потому что эти эксперименты, не- смотря на простоту, позволяют моделировать гораздо более важные и слож- ные случайные опыты и процессы.

Элементарные события называются равновозможными, если все они имеют одинаковые шансы на осуществление. Следовательно, эти элементар- ные события имеют равные вероятности.

Если в случайном опыте N равновозможных элементарных событий, то

вероятность каждого равна ¹

N

. Это обстоятельство позволяет легко находить

вероятности событий в таком опыте.

Обозначим

N _ A_

число элементарных событий, благоприятствующих

событию A . Вероятность события А равна сумме вероятностей благоприят- ствующих ему элементарных событий:

P_ A_  ¹

_ 1

_ 1

 ...  ¹

_ N _ A_

N N N N N

^N  ^A ^{слагаемых}

Таким образом, можно сформулировать правило¹.

Правило. В опыте с равновозможными элементарными событиями вероят- ность события А равна отношению числа элементарных событий, благоприят- ствующих событию А, к общему числу элементарных событий.

Пример 1. Симметричную монету бросают четыре раза. Найдите вероятность события А «орёл выпадет только один раз».

Желательный результат обсуждения. В этом опыте 16 элементарных собы-

тий, все они равновозможны. Из них событию А благоприятствуют четыре: ОРРР, РОРР, РРОР, РРРО. Воспользуемся формулой для вычисления вероят-

ности события:

_{P A } ^N  ^A _ 4

 ¹ .

N 16 4

¹ Часто это правило называют «классическим определением вероятности». Это не совсем верно.

Такой способ подсчета является не определением, а следствием из того, что вероятность события равна сумме вероятностей благоприятствующих ему элементарных событий даже тогда, когда они не равновозможны.

Пример 2. Игральную кость бросают два раза. Найдем вероятность события В «произведение выпавших очков делится на 6».

Желательный результат обсуждения. В этом опыте 36 равновозможных элементарных событий. Выделим в таблице этого опыта элементарные события, благоприятствующие событию B . Их 15. Тогда

_{PB } ^N ^B _ 15 _ 5 _.

N 36 12

Предложите ученикам следующие задачи.

Пример 3. Симметричную монету бросили три раза. Найдите вероятность со- бытия:

а) A «орлы и решки чередовались»; б) B «решка выпала ровно два раза».

Ответ: а) 0,25; б) 0,375.

Пример 4. Правильную игральную кость бросают дважды. Найдите вероят- ность события:

а) K «выпавшие очки отличаются меньше чем на 2»; б) L «выпавшие очки отличаются больше чем на 3».

Ответ: а) ⁴ ; б) ¹ .

9 6

Пример 5. Правильную игральную кость бросают дважды. Известно, что сумма выпавших очков равна 8. Найдите вероятность события А «в первый раз выпало не больше, чем 5».

Желательный результат обсуждения. Обратите внимание учащихся: в данном эксперименте воз- можных элементарных событий не 36, а 5 (в таблице эксперимента они закрашены). Из них событию А благоприятствуют четыре (отмечены в таблице

крестиком). Значит,

P^ A^  ^{N  A}  ⁴  0,8 _.

N 5

Пример 6. Правильную игральную кость бросают дважды. Известно, что сумма выпавших очков меньше шести. Найдите вероятность события:

а) «в первый раз выпало 2 очка»; б) «сумма выпавших очков равна 5».

Ответ: а) 0,3; б) 0,4.

Пример 7. По правилам игры «Морской бой» на поле 10 × 10 клеток размещаются четыре однопалубных корабля (по одной клетке), три двухпалубных, два трехпалуб- ных и один четырёхпалубный. Игрок де- лает первый случайный выстрел. Найдите вероятность того, что он:

а) попадёт в однопалубный корабль про- тивника;

б) попадёт в трёхпалубный корабль;

в) попадёт в какой-нибудь из кораблей про- тивника.

г) не попадёт ни в какой корабль.

Желательный результат обсуждения. На поле 100 клеток, поэтому в экспе- рименте 100 элементарных событий. Будем считать их равновозможными, по- скольку по условию первый выстрел случаен².

а) Четыре однопалубных корабля занимают 4 клетки, поэтому попаданию в однопалубный корабль благоприятствуют 4 элементарных исхода. Искомая

вероятность равна ⁴

100

 0, 04 _.

б) Трехпалубных корабля два, но на них приходится в сумме 6 клеток. Искомая

вероятность равна ⁶

100

 0, 06 _.

в) Всего на корабли приходится ^{41 3 2  231 4  20} клеток. Искомая ве-

роятность равна ²⁰

100

 0, 2 _.

г) Событие «не попадёт ни в какой корабль» есть отрицание события из пункта в). Поэтому искомая вероятность равна ^{1 0, 2  0,8}.

² На самом деле вряд ли игрок делает случайные выстрелы. Как правило, игроки придерживаются своих излюбленных стратегий, стараются учесть психологию противника, оптимальную расста- новку кораблей и даже опыт предыдущих партий. Но раз в условии сказано, что выстрел случайный, у нас нет оснований не считать элементарные события равновозможными.

Пример 8. На рисунке показано положе- ние в конце партии в «Морской бой». Красным цветом показаны потопленные корабли противника. У него остался лишь двухпалубный корабль, положение которого неизвестно. Точки показывают поля, по которым мы уже стреляли. В них не может быть корабля. Считая рав- новозможными любые допустимые по- ложения последнего корабля, найдите вероятность того, что мы попадём в него, если выстрелим в поле:

а) к4; б) з1; в) к1; г) е7; д) е8.

В какое поле нужно выстрелить, чтобы вероятность подбить последний ко- рабль была наибольшей?

а) При выстреле в к4 вероятность попасть в двухпалубный корабль равна нулю, так как клетка изолирована.

Чтобы дать ответы на вопросы б) – д), нужно найти общее количество элемен- тарных событий эксперимента, то есть число возможных расположений двух- палубного корабля. Их всего семь: (з1,и1), (и1,к1), (к1,к2), (е7,е8), (е8,е9), (е8,ж8), (д8,е8).

б) Событию «корабль поражён выстрелом з1» благоприятствует лишь один

элементарный исход (з1,и1). Вероятность попадания равна ¹ .

7

в) Событию «корабль поражён выстрелом к1» благоприятствуют два элемен-

тарных исхода: (и1,к1) и (к1,к2). Вероятность этого события равна ² .

7

г) и д) Рассуждая аналогично, находим, что вероятности равна ¹

7

и ⁴ соответ-

7

ственно.

Желательное обсуждение. Если бы в условии спрашивалась вероятность по- разить корабль случайным выстрелом, то элементарными исходами были бы пустые поля. Но по условию случайным является не выстрел, а положение по- следнего корабля.

Пример 9. Шахматный слон может за один ход перейти на любое число полей, двигаясь только по диагонали (см. рисунок).

На случайное поле шахматной доски поста- вили слона. Найдите вероятность того, что он может за один ход перейти на поле:

а) h1; б) a5; в) с4; г) d7; д) d5.

Желательный результат обсуждения. Элемен- тарным событием является случайное положение слона на поле. Значит, элементарных событий 64. Слон может из своего положения одним ходом по- пасть в поле h1 только если он может одним ходом

перейти из h1 обратно на это поле. Удобно сделать рисунок, где изображены все поля, которые бьёт слон, стоящий на поле h1 (см. рис.). Этих полей 7. Зна- чит, ответ 7/64.

Ответ: а) ⁷ ; б) ⁷ ; в) ¹¹ ; г) ⁹ ; д) ¹³

64 64 64 64 64

Выводы и итоги урока. При решении задач очень важно чётко определить (иногда проговорить вслух или записать), как выглядят элементарные исходы в случайном опыте. Иногда они очевидны сразу, а иногда — нет, как в при- мере 8. Определив элементарные события, нужно задать себе вопрос — явля- ются ли они равновозможными. Если из условия или из жизненного опыта ясно, что никакое элементарное событие не имеет больше шансов, чем любое другое, то да, в этом опыте элементарные события равновозможны.

Рекомендуемое домашнее задание: см. Приложение.

Приложение

1. Бросают симметричную монету два раза. Одинаковы ли вероятности собы- тий A «два раза выпал орел» и B «при одном броске выпал орел, а при дру- гом — решка»?

1. Бросают две игральных кости: желтую и зеленую. Вычислите вероятность события:

а) «сумма очков на обеих костях равна 7»;

б) «сумма очков на обеих костях больше 8, и на зеленой кости выпало больше двух очков»;

в) «на желтой кости выпало больше очков, чем на зеленой»;

1. Правильную игральную кость бросают дважды. Известно, что произведение выпавших очков чётно. Найдите вероятность события:

а) «при одном из бросков выпало 5 очков»;

б) «в сумме выпало больше 2, но меньше 7 очков»;

1. При игре в «Морской бой» после первого вашего выстрела противник сооб- щил, что вы подбили какой-то корабль (но не потопили его). Какова вероят- ность того, что вы попали:

а) в четырёхпалубный корабль; б) в трёхпалубный;

в) в двухпалубный?

1. В городе N пять улиц. Две из них идут параллельно друг другу с севера на юг, а остальные проходят параллельно друг другу с запада на восток. Любые две улицы разных направлений пересекаются. Утром два постовых случайным образом встали на два разных перекрестка. Найдите вероятность того, что они стоят на одной улице.

2