Определитель второго порядка и площадь многоугольника

КГУ ЧЕРНОРЕЦКАЯ СОШ № 1

ПАВЛОДАРСКАЯ ОБЛАСТЬ

ПАВЛОДАРСКИЙ РАЙОН

СЕЛО ЧЕРНОРЕЦК

САРСЕНОВА ДИЛЬНАЗ

11 КЛАСС

ПЛОЩАДЬ МНОГОУГОЛЬНИКА ЧЕРЕЗ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА И ТРИАНГУЛЯЦИЯ ФИГУР.

НАПРАВЛЕНИЕ: Математическое моделирование экономических и социальных процессов

СЕКЦИЯ: Математика

Руководитель проекта: учитель математики, педагог-мастер

Середкин В. П.

Научный консультант: к.п.н. ассоциированный профессор (доцент) факультета Computer Science Торайгыров университета

Даниярова Ж.К.

Павлодар 2022 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ЭССЕ

АННОТАЦИЯ

РЕЦЕНЗИЯ

ВВЕДЕНИЕ

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ ЧАСТЬ

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА В ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ИНТЕРПРЕТАЦИИ ЧЕРЕЗ ПЛОЩАДЬ ПРОИЗВОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА ЗАДАННОГО В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

ТРИАНГУЛЯЦИЯ МНОГОУГОЛЬНИКА И ЕГО ПЛОЩАДЬ ЧЕРЕЗ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ЭССЕ

Тема моей работы – площадь многоугольника через определитель второго порядка и триангуляция фигур. Цель моей работы заключалась в том, чтобы связать площадь многоугольника с определителем второго порядка.

Приходя в 5 класс, мы начинаем изучать темы координатных точек,рассматривая точку как элемент координатной прямой, а далее переносим ее на прямоугольную систему. Изучая точку как главный элемент геометрии, мы теряем ее связь с алгеброй. И этот вопрос заинтересовал меня. Взяв объект для исследования – площадь многоугольника, я решила выяснить существует ли связь площади с таким понятием линейной алгебры как определитель второго порядка. В своей работе я доказала, что площадь произвольных треугольника и четырехугольника заданного координатами их вершин на координатной плоскости можно определить, используя определитель второго порядка. Если говорить об уникальнности моей работы, она заключается в том, что я рассмотрела геометрическую интерпретацию определителя второго порядка, тем самым показав связь геометрии с линейной алгеброй. Формула для нахождения площади треугольника ,выведенная путем доказательства в моей работе, позволит найти площадь треугольника, заданного координатами его вершин, используя определитель второго порядка.

Для нахождения площади многоугольника, используя определитель второго порядка неообходимо многоугольник разбить на треугольники, т.е. провести опреацию триангуляции. В своей работе я использовала самый простой способ триангуляции выпуклого многоугольника - за линейное время в веерную триангуляцию. Метод триангуляции и формула площади треугольника через определитель второго прорядка позвлили мне вывести формулу для нахождения площади четырехугольника через определитель второго порядка.

АННОТАЦИЯ

При изучении школьного курса математики, начиная с 5 класса, мы начинаем говорить о координатах точки. Сначала мы рассматриваем точку как элемент координатной прямой. Далее мы переносим этот элемент на прямоугольную систему координат на плоскости и в пространстве. Но, изучая точку как основной элемент геометрии мы теряем ее связь с алгеброй. Меня заинтересовал вопрос, а какая связь существует между точкой как геометрической фигурой и предметом алгебра. И найти эту связь мне позволило понятие линейной алгебры – определитель второго порядка.

Гипотеза: площадь геометрической фигуры заданной координатами вершин в прямоугольной системе координат, возможно, вычислить не используя стандартные формулы площади, изучаемые в школьном курсе.

Цель работы: исследовать взаимосвязь площади фигуры заданной в прямоугольной системе координат координатами ее вершин и определителем второго порядка.

Задачи исследования:

1. Изучить литературу по исследуемой теме;

2. Отобрать интересную и понятную информацию для исследования;

3. Рассмотреть взаимосвязь между площадью треугольника и определителем второго порядка.

4. Рассмотреть взаимосвязь между площадью четырехугольника и определителем второго порядка.

Объектом исследования площадь треугольника и четырехугольника, определитель второго порядка

Предметом исследования геометрическая интерпретация определителя второго порядка.

РЕЦЕНЗИЯ

ВВЕДЕНИЕ

Работа посвящена исследованию взаимосвязи линейной алгебры и геометрии на плоскости. Автор рассмотрел геометрическую интерпретацию определителя второго порядка, формулы нахождения площадей треугольника и четырехугольника через определитель второго порядка. В работе автор приводит несколько задач на доказательство взаимосвязи площади фигуры заданной координатами ее вершин на прямоугольной системе координат с одним из элементов линейной алгебры – определителем второго порядка.

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ ЧАСТЬ

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА В ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ИНТЕРПРЕТАЦИИ ЧЕРЕЗ ПЛОЩАДЬ ПРОИЗВОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА ЗАДАННОГО В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

Определитель второго порядка равен произведению элементов на главной диагонали минус произведение элементов на побочной диагонали.

(1)

На первом этапе наша задача будет заключаться в том, чтобы вывести формулу для определения площади треугольника через определитель второго порядка, элементы которого являются координатами вершин треугольника.

Определим площадь треугольника по известным координатам его вершин. Сформулируем задачу.

Задача 1: В прямоугольной системе координат дан треугольник одна из вершин которого совпадает с началом координат в две другие имеют соответствующие координаты и . Докажите что площадь треугольника можно вычислить используя определитель второго порядка и она будет равна

Доказательство:

Пусть в декартовой прямоугольной системе координат дан треугольник , вершины которого лежат в точках , и .

Обозначим сторону через c, через b, а угол между ними , тогда площадь треугольника можно выразить через известные стороны и углы или

Угол α представим в виде разности углов γ и β образованных соответственно сторонами и с осью , тогда площадь треугольника будет равна

Преобразуем, используя формулу разности аргументов

Получим

используя рисунок 1 и соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника выразим координаты точек

получим что площадь треугольника через координаты будет выражена формулой

(2)

Мы получили что в правой части в скобках стоит разность произведения элементов, тогда используя формулу (1) наша формула (2) примет вид:

или (3)

Пример 1: На координатной плоскости дан треугольник вершины которого расположены в точка А (0; 0), В (5; 3) и С (4; 4). Найти площадь данного треугольника.

Решение: Используем формулу (3) для решения данной задачи.

здесь , тогда ,

в результате вычисления мы получили что площадь равна отрицательному числу, но если мы обозначим вершины немного по другому первой вершиной возьмем С, а второй вершину В, то получим и тогда площадь будет равна

Из данного примера мы приходим к выводу, что в формуле (3)

, необходимо перед коэффициентом добавить ±, так как площадь не может принимать отрицательное значение. На знак площади будет влиять то какую вершину мы возьмем первую. Наша формула примет вид:

(4)

Формула позволяет нам определит площадь треугольника с известными координатами вершин, одна из которых расположена в начале координат.

Теперь рассмотрим треугольник вершины, которого расположены, так что не одна из вершин не совпадает с началом координат.

Задача 2: В прямоугольной системе координат дан треугольник с вершинами в точках - . Докажите что площадь треугольника можно вычислить используя определитель второго порядка по формуле .

Доказательство: Обозначим стороны треугольника , и угол между ними , тогда площадь треугольника можно выразить по известной формуле

Угол α представим в виде разности углов , которые образованны соответственно сторонами и с осью Ох.

Получим

Рассмотрим треугольники и они являются прямоугольными

Используем соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника получим выразим стороны

Используя метод координат можно выразить стороны треугольников через координаты вершин

_{Из равенств}

Получим

и проведем замену в формуле

Получим

(5)

Выше мы уже говорили о том что знак площади будет зависеть от того какая вершина взята за первую, поэтому в формулу (5) добавим ±

Данная формула позволит нам находить площадь треугольника заданного координатами вершин используя определитель второго порядка.

ТРИАНГУЛЯЦИЯ МНОГОУГОЛЬНИКА И ЕГО ПЛОЩАДЬ ЧЕРЕЗ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

Рассмотрим вопрос нахождения площади многоугольника используя определитель второго порядка. Я уже выяснила как используя определитель второго порядка найти площадь треугольника и решила использовать это для нахождения площади многоугольника. Для того чтобы использовать формулу представленную выше мне необходимо многоугольник разбить на треугольники. Опреацию разбиения многоугольника на треугольники называется операцией триангуляции. В теоретическом материале представлены неколько методов триангуляции треугольника, но я использую одну из простейших – триангуляция выпуклого многоугольника за линейное время в веерную триангуляцию. Суть данной триангуляции заключается в добавлении диагоналей от одной вершины ко всем остальным вершинам. Используя данный тип триангуляции четырехугольник разобется на два треугольника, пятиугольник - на три треугольника и так далее. Вообще для выпуклого n-угольника число диагоналей проведенных от одной вершины к всем остальным равно , а число треугольников - .

Задача: Рассмотрим произвольный четырехугольник в прямоугольной системе координат заданный его вершинами и выведем формулу для нахождения его площади через определитель второго порядка.

Р ешение: Пусть четырехугольник задан координатами своих вершин в прямоугольной системе координат - . Диагональ разделит четырехугольник на два треугольника и площади, которых найдем через определитель.

Запишем выражение в удобной для запоминания форме, в виде определителя

Площадь четырехугольника равна половине определителя, элементами столбцов и строк которого является разность координат вершин четырехугольника, взятых по диагонали.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате моего исследования я доказала формулы для нахождения площади треугольника и четырехугольника.

Площадь треугольника заданного в прямоугольной системе координат координатами его вершин:

1. Если координаты одной из вершин совпадают с началом координат

1. Если координаты вершин даны в произвольном порядке

Площадь четырехугольника заданного в прямоугольной системе координат координатами его вершин:

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. В.Б. Гуревич, В.П. Минорский, Учебник аналитической геометрии, Москва 1958г.

2. И.И. Привалов, Аналитическая геометрия, Москва, 1958 г.

3. А.С. Киркинский, Линейная алгебра и аналитическая геометрия, учебное пособие, Москва 2006 г.