Опорный конспект по теме логарифмы

Логарифмические уравнения

Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестное содержится под знаком логарифма ( в частности, в основании логарифма).

Простейшее логарифмическое уравнение имеет вид:

1. log_af(x) = b, используя определение логарифма получим f(x) = a^b

Решение любого логарифмического уравнения предполагает переход от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифмов.

2. log_af(x) = log_ag(x)

Сделать равносильный переход от исходного уравнения к системе, включающей область допустимых значений уравнения: 1.f(x) = g(x) и f(x)0 или

2. f(x) = g(x) и g(x)0,

в зависимости от того, какое неравенство проще.

3.Если уравнение содержит неизвестное в основании логарифма:

log_a(x)f(x) = log_a(x)g(x),то мы переходим к системе: f(x) = g(x)

g(x) 0

a(x ) 0

a(x) ≠ 1

4. Отдельно найти область допустимых значений уравнения, затем решить уравнение и проверить, удовлетворяют ли найденные решения ОДЗ уравнения.

5. Решить уравнение, и потом сделать проверку: подставить найденные решения в исходное уравнение, и проверить, получим ли мы верное равенство.

Внимание! Мы всегда ищем ОДЗ исходного уравнения, а не того, которое получится в процессе преобразований. То есть ОДЗ записываем перед тем, как переходим к решению уравнения.

Вид уравнения

Метод решения

Примеры

1.log _a f(x)=b, где

a 0, а ≠ 1, f(x) 0

Применение определения логарифма: f(x) = a^b.

log _(x+1)(2x²+1) =2.

Найдем ОДЗ уравнения:

(х+1) 0 х -1

(2x²+1) 0 для любого х

ОДЗ :

По определению логарифма: (x+1)² =2x²+1;

x²+2x+1 =2x²+1;

x²-2x = 0; х(х-2) = 0

х = 0 или х - 2 = 0;

x₁ = 0; x₂ = 2.

Из двух полученных корней только корень x₂ =2 принадлежит ОДЗ, а x₁ =0 не принадлежит ОДЗ и, следовательно, является посторонним корнем.

Ответ: x =2.

Решить уравнение:

1. log₃(2x+1)=2

По определению логарифма имеем:

1.2х + 3 = 3²

2.2х + 3 0 -ОДЗ

3.а = 3 0 , значит основание подходит.

1.2х + 3 = 9, 2х = 9 – 3, 2х = 6,

х = 6:2, х=3.

2.2х+30, 2х -3, х -3:2,

х -1,5 - ОДЗ

Вывод: х=3 принадлежит ОДЗ.

Ответ:3.

Замечание! Можно было не находить ОДЗ, а сделать проверку корня, подставив его значение х=3 в первоначальное уравнение.

2. log₃ (2х-1) = 2

Исходя из определения логарифма, а именно, что логарифм - это число, в которое надо возвести основание, чтобы получить выражение, которое находится под знаком логарифма, т.е. 3 ² = 2х-1 или 2х = 9+1 и х=5

1 .log2(3 – 6x) = 3

2. lg(х2 – 2х) =

= lg (2х + 12)

3. х ^{lg х} = 10000

4. log₃x - log₃ x = 3

5. log2x – log4x =3

6. log₃ x = - x

7. lg (x² – 2x) = lg(2x + 12)

8. log₃ x - 2log _ х = 6

9. log₅(2x + 3) = log₅(x + 1)

2. log_a f(x) = log_a g(x)

f(x) =g(x)

f(x)0

или

f(x)=g(x)

g(x) 0

Уравнения, которые содержат логарифмы только в первой степени. Они с помощью преобразований и использования свойств логарифмов приводятся к виду 2, т.е используется метод потенцирования.

Решить уравнение:

1. log _x-6(x²-5) =log _x-6(2x+19).

x²-5 =2x+19;

x²-2x-24 =0;

x₁ =6; x₂ =-4.

Подставим у уравнение x₂ =-4, получим

log _-4-6((-4)²-5) =log _-4-6(2∙(-4)+

+ 19).

log _-1011 =log _-10 11, а = -10 , но по определению это невозможно

Аналогично проверим второй корень. Учитывая проверку, отметим, что x₂ =-4; x₁ =6 - посторонний корень.

Ответ: решений нет.

Решить уравнение:

1. log₅x =log₅(6-x²)

Применяя метод потенцирования, получим:

x = 6-x²;

х 0

x² + x - 6 = 0;по

т.Виета х₁∙х₂ = -6

х₁+х₂ = -1, подбором найдём корни

x₁ =2; x₂ =-3.

Учитывая ОДЗ, отметим, что x₂ =-3 - посторонний корень.

Ответ: x =2.

2. log₃ (2х-5) = log₃х

Применяем потенцирование, получаем:

2х-5 = х 2х – 1х = 5 х = 5

ОДЗ находить не будем, а сделаем проверку корня. Подставим х = 5 в первоначальное уравнение

log₃ (2∙5-5) = log₃5

log₃ 5= log₃5 верное равенство.

Ответ: 5.

а) log_a f(x)+log_a g(x)=log_ah(x)

log_a( f(x)∙ g(x)) = log_ah(x)

( f(x)∙ g(x)) = h(x)

f(x) 0

g(x) 0

h(x) 0

Решить уравнение:

1. lg(x+3) =2lg2- lgx

Преобразуем: перенесём

- lgx из правой части в левую поменяв знак, а 2 внесём в степень числа 2 (2lg2 = lg2²).

lg(x+3) =lg2²-lgx;

lg(x+3) + lgx= lg2², применив формулу а).

lg((x+3)∙x) = lg2²

((x+3)∙x) = 2²

x² + 3x - 4 = 0,

по т. Виета х₁∙х₂ = -4 , а х₁+х₂ = -3. Подбором найдём корни:

x₁ =1; x₂ =-4.

Учитывая ОДЗ ,т.е , (x+3)0

х -3

отметим, что x₂ = -4 - посторонний корень.

Ответ: x=1.

1.log₂(х+5) = 2log₂ (1- х)

Преобразуем по формуле в).

Имеем: log₂ (х+5)= log₂ (1- х)²

ОДЗ: х +5 0 или х -5

х+5 = (1 – х)² или

х²-3х-4=0, тогда х₁=4, а х₂ =-1

Ответ: х₁=4, а х₂ =-1

5.log₂ (4х + 5) = log₂ (9 – 2х)

6.log₃ (х² - 5х – 23) =0;

7.lg(x + 2) + lg(x – 2) = lg(5x + +10)

б) log_a f(x)-log_a g(x)=log_ah(x) log _a ( f(x):g(x)) = log _a h(x)

( f(x) : g(x)) = h(x)

f(x) 0

h(x) 0

g(x) 0

Из б) всегда можно получить а), перенеся слагаемое в другую часть уравнения.

в) nlog_a f(x)=log_ah(x)

log_a f ⁿ(x) =log_ah(x)

f ⁿ(x) = h(x)

f(x) 0

h(x) 0

3.log²_a f(x)+b∙ log _a f(x)+c = 0

Пусть log _a f(x) = t,тогда

log²_a f(x ) = t² и уравнение примет вид t² + bt + c = 0. Найдём t₁ и t_2.

Затем вернёмся к старой переменной, решив уравнения:

1) log _a f(x) = t₁ 2) log _a f(x) = t₂

Решить уравнение:

1. log₃²x-log₃x =2

log₃²x-log₃x – 2 = 0

ОДЗ: x 0.

Пусть log₃x =у, тогда уравнение примет вид:

y²-y-2 =0, по

т.Виета у₁∙у₂ = -2

у₁+у₂ = 1, подбором найдём корни:

y₁ =2; y₂ =-1.

Вернёмся к старой переменной. Т.к log₃x =у, то

1)log₃x =2; x₁ =3²; x₁ =9;

2)log₃x =-1; x₂ =3^-1; x₂ =1/3.

Так как x₁ 0, x₂ 0 то они принадлежат ОДЗ уравнения и являются его корнями.

Ответ: x₁ =9; x₂ =1/3.

Важно! Прежде чем вводить замену, нужно «растащить» логарифмы, входящие в состав уравнения на «кирпичики», используя свойства логарифмов.

4.Приведение к одному основанию, если они различные.

Решить уравнение: log₇x+log_x7 =2,5.

ОДЗ: x 0,

log_x7 =

log₇x + =умножим на 2∙ log_x7

2log²₇x-5 log₇x+2 =0 или

log²₇ x-2,5 log₇x+1 =0.

Пусть log₇x =у, тогда y²-2,5y+1 =0;

y₁ =2; y₂ =1/2.

1)log₇x =2; x₁ = 7² = 49;

2)log₇x =1/2; x₂ =7^0,5 = ;

Ответ: x₁ =49; x₂ = .

Решить уравнение:

1. log₁₆x+log₄x+log₂x =7

ОДЗ: x 0.

Логарифмы в левой части уравнения приведем к оснаванию 2 по формуле.

log₁₆x =log₂⁴ x=1/4 ∙log₂x;

log₄x =log₂ ²x=1/2log₂x 1/4log₂x)+1/2log₂x+log2x =7;

(7/4)log₂x =7;

log₂x =7:7/4; log₂x = 4 x =2⁴ х =16 0.

Ответ: x=16.

5.Логарифмирование левой и правой части уравнения по одному и тому же основанию «a», если уравнение имеет вид:

х ^log_a ^g(x) =b

Решить уравнение:

х ^log2х+2 = 8.

Прологарифмируем левую и правую части уравнения по основанию 2. Получим

log₂ (х ^(log₂^х+2)) = log₂ 8,

(log₂ х + 2) · log₂ х = 3.

log² ₂ х + 2 · log₂ х = 3.

log² ₂ х + 2 · log₂ х – 3 = 0

Пусть log₂ х = t.

t² + 2t – 3 = 0.

t₁= -3 t₂ = 1

Значит 1. log₂ х = 1 и х₁ = 2 или 2. log₂ х = -3 и х₂ =2^-3 = 1/8

Ответ: х₁ = 2 и х₂ =1/8

6.Функционально-графический метод, если уравнение имеет вид:

log _a f(x) = g(x)

у = log₂ x

y = 3 – x

Ответ: х = 2

Строим графики функций

у = log _a f(x) и у = g(x)

Решение – абсцисса ( х) точки пересечения графиков.

Решить уравнение:

log₃ x = 4-x

Построим графики функций

у = 4 – х и у = log₃ x

Абсцисса точки пересечения графиков х = 3 есть решение данного уравнения.

Основные логарифмические формулы

Определение логарифма

Логарифмом числа b по основанию a ( a 0, a ≠ 1,b 0 ) называется показатель степени, в который нужно возвести число a, чтобы получить число b, т.е.

log _a b = n или aⁿ = b

a – основание логарифма;

n – показатель степени

log – обозначение логарифма

1. log₂8=3, т. к. 2³=8;

1. log₅(1/25)=-2,

т. к. 5^-2=1/5²=1/25;

3)log₇1=0, т. к. 7⁰=1.

Основное логарифмическое тождество

= b

Это тождество следует из определения логарифма: так как логарифм – это показатель степени (n), то, возводя в эту степень число а, получим число b.

Десятичные логарифмы

Логарифм по основанию 10 называют десятичным логарифмом и при написании опускают основание 10 и букву «о» в написании слова «log»,

т.е. log₁₀b = lg b.

2) lg100=2, так как10²=100.

4) lg0,1=-1, так как 10^-1=1/10=0,1.

5) lg0,01=-2, так как 10^-2=1/10²=1/100=0,01.

1. lg7=log₁₀7, lg7 – десятичный логарифм числа 7.

1) lg10=1, так как 10¹=10.

1/10 означает

Натуральные логарифмы

Логарифм по основанию е (Неперово число е ≈ 2,7) называют натуральным логарифмом.

ln23=log _e23, ln23 – натуральный

логарифм числа 23.

ln (1/e)=-1.

1) lne³+lne⁴=3+4=7.

Свойства логарифмов ( справедливы для логарифмов по любому основанию (a0, a≠1))

Логарифм единицы равен нулю

log _a 1 = 0

(a 0, a ≠ 1), т.к. a⁰ = 1

1) log₇1=0, т.к. 7⁰=1. 2) lg1=0, т.к. 10⁰=1 3) ln1=0, т.к. е⁰=1.

Логарифм числа а по основанию а равен единице

log _a a = 1

1) log₅5=1, т.к. 5¹=5. 2) lg10=1, т.к. 10¹=10.

3) lne=1, т.к. е¹=е.

Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

log _a (x∙y)=log _a x + log _a y

Найти log ₃ 6, если log₃2=a.

log₃6=log₃(2∙3)=log₃2+log₃3=log₃2++1=a+1.

Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.

log _a = log _a x- log _a y

1) log₃24- log ₃8 =log₃(24:8)=log₃3=1;

2) log₅600-log₅12- log₅50 = =log₅(600:12:50)=log₅1=0;

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.

log _a b^k=k∙log _a b

1) log₅16=log₅2⁴=4log₅2.

2) log₅9=log₅3²=2log₅3.

Основание логарифма и число под знаком логарифма можно поменять местами по формуле:

log _a b= Логарифм числа b по основанию а равен единице, деленной на логарифм числа а по основанию b.

log₂₅5 =

Действительно, log₂₅5 = ½ = 0,5; так как 25^0,5 = (5²)^0,5 = 5^2∙0,5 = 5¹ = 5.

log₅25=2, так как 5²=25.

Получаем верное равенство: 0,5=1/2.

Логарифм по основанию aⁿ.

logb=∙log _a b Логарифм числа b по основанию an равен произведению дроби 1/n на логарифм числа b по основанию a.

Логарифм корня n-ой степени из b.

log_a= log _a b

log _{3 =} log ₃15

Логарифм дроби 1 делённая на b.

log_a= - log _a b

log₇ = -log₇7 = - 1

Логарифм числа b^k по основанию aⁿ.

log _aⁿ b^k = ∙log _ab

Формула является комбинацией двух предыдущих формул.

Логарифм числа bⁿ по основанию aⁿ.

одну и ту же степень.

log _aⁿ bⁿ = log _a b или

log _a b = log _aⁿ bⁿ

Значение логарифма не изменится, если основание логарифма и число под знаком логарифма возвести в одну и ту же степень.

Формула перехода к новому основанию

log _a b =

1) log₂3 = lg3/lg2;

2) log₈7 = ln7/ln8.

Формула представления числа p в виде логарифма.

p = log _a a^p

7 = log₅5⁷

12 = log₁₃ 13¹²

Дополнительная формула

x ^log_a^y = y ^log_a^x

1

Определение: Логарифмическим неравенством называется неравенство, в котором неизвестная величина стоит под знаком логарифма.

Алгоритм решения логарифмических неравенств:

1. Представить (если возможно) левую и правую части неравенства в виде логарифмов по одному и тому же основанию.

2. Определить, возрастающей или убывающей является логарифмическая функция: если а1, то возрастающая; если 0а1, то убывающая.

3. Перейти к более простому неравенству (подлогарифмических выражений), учитывая, что знак неравенства сохранится, если функция возрастает, и изменится, если она убывает.

4.Решить систему неравенств.

Помнить !При решении систем неравенств можно каждое неравенство решить отдельно, а потом найти их общее решение т. е. найти их пересечение.

2

Неравенство log _a f(x) b сводится к системе равносильных неравенств :

0 a

a 1

1. :

2. f(x) 0

3. f(x) a^b

f(x) 0

f(x) a^b

Решить уравнение: log _{0.7) (}x-7)

Решить неравенство: а) log₃ (х + 2)

3

Неравенство log _a f(x) b сводится к системе равносильных неравенств :

0 a

a 1

f(x) 0

f(x) a^b

f(x) 0

f(x) a^b

Решить неравенство: а) .

Решение:

1. ОДЗ: 5х – 1 0 или 5х 1 или х 1/5 или х 0,2.

2. Функция у = log x убывающая, т.к.

а = 1/3 1, следовательно 5х -1

Решить неравенство: log ₈(4 – 2x) ≥ 2.

Решение:

1.ОДЗ: 4 – 2х 0 или -2х 0 – 4 или -2х -4

4

Неравенство log_a f(x) log_a g(x) сводится к системе равносильных неравенств:

0 a

a 1

f(x) g(x)

f(x) g(x)

g(x) 0

Решить неравенство:

.

Решение: убывает на всей области определения, то знак неравенства меняется и неравенство равносильно системе

4 х – х

4х 0 + 3 4х 3

Ответ: (0,75;2).

Решить неравенство:

log₃ x log₃ (5 – x)

Решение: Основание логарифмов a = 3 1, значит функция возрастающая и знак неравенства не меняется. Решим систему неравенств:

x 5 - x и 2. 5 - x 0.

решим каждое отдельно.

1. x 5 - x

х + х 5 или 2х 5 или x 2,5.

Найдем область определения,т.е. решим 2-ое уравнение:

2. 5 - x 0 или –х 0- 5 или –х -5;

поменяем все знаки х 5

Найдём общее решение неравенств. Это будет

х 5

Ответ: х 5.

5

Неравенство log_a f(х ) log_a g(x) сводится к системе равносильных неравенств:

0 a

a 1

f(x) g(x)

g(x) 0

f(x) g(x)

Решить неравенство: log_0,6 x log_0,6 72 –

log_0,6 8;

Решение:

1.ОДЗ: х 0.

2.Функция у = log_0,6 x убывающая, т.к основание 0 а= 0,6 72:8 ( по свойству логарифма) или х 9,

3.Найдём пересечение множеств х 9.

Ответ: х 9.

Решить неравенство:log₂ (5x – 9) ≤ log₂ (3x + 1).

Решение:

Решим систему неравенств:

5х - 9≤ 3х + 1

5х – 9 0

1.5х - 9≤ 3х + 1 или 5х – 3х ≤1 + 9 или 2х ≤ 10

х ≤ 5.

2. 5х – 9 0 или 5х 9 или х 9/5 =1,8.

3.Найдём пересечение множеств:

х (1,8; 5],

Ответ: х (1,8; 5],