Опорный конспект по теме: "Квадратные уравнения". 8 класс

Квадратные уравнения, виды и методы решений

Неполные квадратные уравнения

1. ax²=0 – неполное квадратное уравнение (b=0, c=0).

Решение: х=0. Ответ: 0.

1. ax²+bx=0 – неполное квадратное уравнение (с=0).

Решение:

x (ax+b)=0 → x₁=0 или ax+b=0 → x₂=-b/a. Ответ: 0; -b/a.

1. ax²+c=0 – неполное квадратное уравнение (b=0);

Решение: ax²=-c → x²=-

Решить уравнения.

Пример 1. 2x·(x+3)=6x-x².

Решение. Раскроем скобки, умножив 2х на каждое слагаемое в скобках:

2x²+6x=6x-x²; переносим слагаемые из правой части в левую:

2x²+6x-6x+x²=0; приводим подобные слагаемые:

3x²=0, отсюда  x=0.

Ответ: 0.

II. ax²+bx=0 – неполное квадратное уравнение (с=0). Решение: x (ax+b)=0 → x₁=0 или ax+b=0 → x₂=-b/a. Ответ: 0; -b/a.

Пример 2. 5x²-26x=0.

Решение. Вынесем общий множитель х за скобки:

х(5х-26)=0; каждый множитель может быть равным нулю:

х=0 или 5х-26=0 → 5х=26, делим обе части равенства на 5 и получаем: х=5,2.

Ответ: 0; 5,2.

Пример 3. 64x+4x²=0.

Решение. Вынесем общий множитель 4х за скобки:

4х(16+х)=0. У нас три множителя, 4≠0, следовательно, или х=0 или 16+х=0. Из последнего равенства получим х=-16.

Ответ: -16; 0.

Пример 4. (x-3)²+5x=9.

Решение. Применив формулу квадрата разности двух выражений раскроем скобки:

x²-6x+9+5x=9;  преобразуем к виду: x²-6x+9+5x-9=0; приведем подобные слагаемые:

x²-x=0; вынесем х за скобки, получаем: x (x-1)=0. Отсюда или х=0 или х-1=0 → х=1.

Ответ: 0; 1.

III. ax²+c=0 – неполное квадратное уравнение (b=0); Решение: ax²=-c → x²=-

Пример 5. x²-49=0.

Решение. 

x²=49, отсюда x=±7. Ответ: -7; 7.

Пример 6. 9x²-4=0.

Решение.   

 Алгоритм решения квадратного уравнения