Олимпиадные задачи районной олимпиады по математике 2017(7 класс)

Олимпиадные задачи по математике 7 класс 2017 год

ЗАДАЧА 1. На крыше здания сидели вороны. Когда пришел хулиган Вася и пальнул в них из рогатки, 75% ворон улетели; вместо них на крышу прилетели 80 других ворон. Тогода хулига Вася пальнул в них ещё раз, и тогда 80% ворон улетело, а взамен прилетело 75 других ворон. В результате ворон на крыше осталось меньше, чем до начала хулиганских действий Васи.

Какое наименьшее число ворон могло сидеть на крыше?

ЗАДАЧА 2. На автомагистрали Минск – Брест со скоростью 100км/час едут два автомобиля; расстояние между ними равно 1,5 км. В некоторых точках трассы стоит дорожный знак, обязывающий снизить скорость до 60 км/час.

Каким станет расстояние между автомобилями после того, как они проедут оба дорожных знака, каждый раз снижая скорость до максимально разрешенной?

ЗАДАЧА 3. Существует ли такой треугольник АВС, в котором угол при вершине С больше угла при вершине А, а длина стороны АС не меньше удвоенной стороны АВ?

Решение:

Предположим, от противного, что такой треугольник существует, т. е. С A и АС 2 АВ. Поскольку против большего угла в в треугольнике лежит большая сторона, то АВ BС. Тогда АС 2AB 2 ВС, откуда

2АС = АС + АС 2АВ + 2ВС т.е. АС АВ + ВС. Однако последнее неравенство противоречит неравенству треугольника. Следовательно указанный в условии треугольника не существует.

ЗАДАЧА 4. Числа 1, 2, 3,…,14 разбили на несколько групп (не менее двух) так, что во всех группах суммы чисел оставались равными.

Сколько групп могло получится? (Найдите все возможные значения.)

ЗАДАЧА 5. Ферзь ходит по бесконечной шахмотной доске, начав с некоторой клетки. Первый ход он делает как ладья (т. е. по вертикали и по горизонтали) на одну клетку, второй ход – как слон (т. е. по диагонали) на две клетки, третий ход – как ладья на 3 клетки, четвертый – как слон на 4 клетки и т. д.

а) Сможет ли ферзь через некоторое число ходов оказаться в исходной клетке?

б) Если да, то какое наименьшее число ходов для этого понадобится?