Олимпиада по математике для 5 класса

Задания

школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике

2019-2020 учебный год

5 класс

Время выполнения – 60 минут

Максимальное количество баллов –35 баллов

Задача № 1 

При издании книги потребовалось 2775 цифр, чтобы пронумеровать ее страницы. Сколько страниц в книге?

(7 баллов)

Задача №2

Саша заметил, что когда он ехал в школу на автобусе, а возвращался на троллейбусе, то на весь путь было затрачено 35 мин. Когда же он туда и обратно ехал на автобусе, затратил 40 мин. Сколько времени потратит Саша на путь в школу и обратно, если будет ехать на троллейбусе?

(7 баллов)

Задача № 3

Дедка вдвое сильнее бабки, бабка втрое сильнее внучки, внучка вчетверо сильнее Жучки, Жучка впятеро сильнее кошки, кошка вшестеро сильнее мышки. Без мышки все остальные не могут вытащить репку, а вместе с мышкой – могут. Сколько мышек надо собрать вместе, чтобы эти мышки смогли вытащить репку сами?

(7 баллов)

Задача № 4

Пароль состоит из 5 цифр. Четвертая цифра на 4 больше, чем вторая. Третья цифра на 3 меньше, чем вторая. Первая цифра в 3 раза больше, чем пятая. Три пары цифр дают сумму 11. Разгадайте пароль.

(7 баллов)

Задача № 5 

Сколько кубиков необходимо добавить, чтобы замкнуть цепь?

(7 баллов)

Решение заданий

школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике

2019-2020 учебный год

5 класс

Критерии оценивания

Задания математических олимпиад являются творческими, допускают несколько различных вариантов решений. Кроме того, необходимо оценивать частичные продвижения в решении задач. Наконец, возможны как существенные, так и не влияющие на логику рассуждений, ошибки в решениях.

Окончательный балл по каждой задаче должен определяться с учетом выше изложенного. В соответствии с регламентом проведения математических олимпиад школьников каждая задача оценивается исходя из 7 баллов.

Соответствие правильности (ошибочности) решения и выставляемых баллов:

7 баллов – полное верное решение;

6 баллов – верное решение, но имеются небольшие недочёты, в целом не влияющие на решение;

5  баллов – решение в целом верное, однако содержит ряд ошибок, но может стать правильным после небольших исправлений и дополнений;

4 балла – верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев, или в задаче типа «оценка + пример» верно получена оценка;

2-3 балла – доказаны отдельные утверждения, помогающие в решении задачи, или в задаче «оценка + пример» верно построен пример;

1 балл – рассмотрены частные случаи при отсутствии решения (или при ошибочном решении)

0 баллов – решение неверное или отсутствует.

Решение задач

Задача № 1 

При издании книги потребовалось 2775 цифр, чтобы пронумеровать ее страницы. Сколько страниц в книге?

Решение: В книге 9 страниц, обозначенных одной цифрой (с 1 по 9), 90 страниц, обозначенных двумя цифрами (с 10 по 99), х страниц, обозначенных тремя цифрами (с 100).

Составим уравнение:

Итого в книге 9+90+862=961 страница.

Ответ: 961 страница.

Критерии оценивания

7 баллов – полное верное решение;

5  баллов – решение содержит одну вычислительную ошибку

0 баллов – решение неверное или отсутствует.

Задача № 2

Саша заметил, что когда он ехал в школу на автобусе, а возвращался на троллейбусе, то на весь путь было затрачено 35 мин. Когда же он туда и обратно ехал на автобусе, затратил 40 мин. Сколько времени потратит Саша на путь в школу и обратно, если будет ехать на троллейбусе?

Решение: пусть х — время, которое Саша тратит, когда едет на автобусе. Тогда: х+х=40, 2х=40, х=20 минут едет автобус. Следовательно: 35-20=15 минут едет троллейбус. Таким образом, на весь путь Саша потратит 15+15=30 минут на троллейбусе.

Ответ: 30 минут

Критерии оценивания

7 баллов – полное верное решение;

6 баллов – верное решение, но имеются небольшие недочёты,

в целом не влияющие на решение;

0 баллов – решение неверное или отсутствует.

Задача № 3

Дедка вдвое сильнее бабки, бабка втрое сильнее внучки, внучка вчетверо сильнее Жучки, Жучка впятеро сильнее кошки, кошка вшестеро сильнее мышки. Без мышки все остальные не могут вытащить репку, а вместе с мышкой – могут. Сколько мышек надо собрать вместе, чтобы эти мышки смогли вытащить репку сами?

Решение:

Кошка =6мышек

Жучка =5кошек =30мышек

Внучка =4жучки=120мышек

Бабка = 3внучки=360мышек

Дедка =2бабки=720мышек

720+360+120+30+6+1=1237 мышек

Ответ: 1237 мышек

Критерии оценивания

7 баллов – полное верное решение;

5  баллов – решение содержит одну вычислительную ошибку

0 баллов – решение неверное или отсутствует.

Задача №4

Пароль состоит из 5 цифр. Четвертая цифра на 4 больше, чем вторая. Третья цифра на 3 меньше, чем вторая. Первая цифра в 3 раза больше, чем пятая. Три пары цифр дают сумму 11. Разгадайте пароль.

Решение: Из условия «четвертая цифра на 4 больше, чем вторая»вытекает, что этими цифрами могут быть соответственно 0 и 4, 1 и 5, 2 и 6, 3 и 7, 4 и 8, 5 и 9. В то же время следующее условие («третья цифра на 3 меньше, чем вторая») означает, что вторая цифра должна быть не меньше 3.

Т.к. первая цифра в 3 раза больше первой, то этими цифрами могут оказаться соответственно 3 и 1, 6 и 2, 9 и 3.

Итак, возможны 9 комбинаций:

33071 34181 35291 63072 64182

65292 93073 94183 95293

Среди них только для одной комбинации выполняется условие «три пары цифр дают сумму 11». Это комбинация 65292 (6+5=11, 2+9=11, 9+2=11).

Ответ: пароль 65292

7 баллов – полное верное решение;

6 баллов – верное решение, но имеются небольшие недочёты,

в целом не влияющие на решение;

1 балл – цифры найдены подбором, решение отсутствует;

0 баллов – решение неверное или отсутствует.

Задача № 5 

Решение: Примем зеленый кубик за точку отсчета. Чтобы добраться до красного кубика, необходимо сместиться в трех плоскостях соответственно на 5, 6 и 6 кубиков (зеленый и красный кубик не учитываются). Получается, что для соединения цепи недостает 5+6+6=17 кубиков.

Ответ: 17 кубиков

Критерии оценивания

7 баллов – полное верное решение;

1 балл – ответ верный, но решения нет;

0 баллов – решение неверное или отсутствует.