О некоторых нестандартных способах решения иррациональных уравнений

О НЕКОТОРЫХ НЕСТАНДАРТНЫХ СПОСОБАХ РЕШЕНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Останов К.

1. Приведение к системе рациональных уравнений. При решении иррациональных уравнений с помощью преобразований необходимо использовать не только одну, а несколько переменных. При этом для обеспечения однозначности значений неизвестной уравнение преобразуется в систему рациональных уравнений [1]. Например, при решении уравнения

(1)

введем следующую замену переменных

(2)

Тогда уравнение (1) будет имет вид . Связь квадратов новых переменных выражается соотношением . Значит, получим систему равнений

(3)

Преобразуя и решая систему (3) методом сложения придем к системе: . Тогда получаем уравнение

(4)

Уравнение (4) можно привести к кубическому уравнению. , его единственный корень . С проверкой убеждаемся, что - корень исходного уравнения (1).

2. Умножение на сопряженное выражение.

Если в уравнение войдет сумма или разность радикалов, то можно использовать умножение на сопряженное выражение[2]. Например. при решении уравнения

(5)

так как в левой части уравнения стоит разность радикалов, то умножим обе части уравнения (5) на сумму этих радикалов. По правилу разложения множителей в произведения рассмотрим два случая:

1) если , то ; 2) если ,

то тогда это уравнение решается возведением обеих частей в квадрат. Но в

данном случае рациональнее будет рассмотреть систему уравнений

(6)

Сумма уравнений системы (6) будет следствием уравнения (5), это уравнение имеет простой вид . Решение полученного уравнения даёт еще одно решение исходного уравнения (5) :.

3. Преобразование сумму (разность) радикалов. Этот способ применяется при решении иррациональных уравнений вида . Его сущность заключается в том, что на определенном этапе сумма (разность) радикалов меняется на простое выражение. Такое преобразование избавялет от повторного возведения в степень и приведет к решению простого уравнения. Например, при решении уравнения сначала возведем обе части уравнения в куб, а потом выполняя серию преобразований получим уравнение . Поменяя сумму радикалов на выражение , получим уравнение . Возведя обе части ещё раз в куб будем иметь

.

Проверка показывает, что при в левой части уравнения:а в правой части:

значит, - корень уравнения. При левая часть уравнения равно : а правая часть: , - неправильно, значит, не является корнем данного уравнения.

Список литературы

1. Чулков П.В. Уравнения и неравенства в школьном курсе математики. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2009

2. Литвиненко А. Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике. Алгебра и тригонометрия. М.: Просвещение, 1988.