Невідоме про відомі квадратні рівняння (додаток №9 до проекту "Квадратні рівняння")

Мета дослідження:

Історія розв’язань квадратних рівнянь

(з давнини до наших днів)

• “ Маршрут” досліджень:
• 1)Стародавній Вавілон
• 2)Діофант
• 3)Індія
• 4)Європа
• 5)Казань

Квадратні рівняння в Стародавньому Вавілоні

• Необхідність розв'язувати рівняння не тільки першого, але і другого степенів ще в давнину була викликана потребою розв'язувати задачі, пов'язані із знаходженням площ земельних ділянок та земляними роботами військового характеру, а також з розвитком астрономії і самої математики

Вавілон

• Квадратні рівняння вміли розв’язувати близько 2000 років до нашої ери вавіляни. Застосовуючи сучасний алгебраїчний запис, можна сказати, що в їх клинописних текстах зустрічаються, крім неповних, і такі, наприклад, повні квадратні рівняння:

Вавілон

Майже всі знайдені досі клинописні тексти призводять тільки завдання з розв’язками, викладеними у вигляді рецептів, без вказівок щодо того, яким чином вони були знайдені. Незважаючи на високий рівень розвитку алгебри у Вавилоні, в клинописних текстах відсутні поняття від'ємного числа і загальні методи розв'язання квадратних рівнянь.

Як складав та розв’язував Діофант квадратні рівняння

• У «Арифметиці» Діофанта міститься систематизований ряд завдань, супроводжуваний поясненнями,що розв'язуються за допомогою складання рівнянь різних степенів.
• При складанні рівнянь Діофант для спрощення розв'язування вміло обирає невідомі.

Задача Діофанта

• «Знайти два числа, знаючи, що їх сума дорівнює 20, а добуток -96»
• Діофант міркує таким чином: з умови задачі випливає, що шукані числа не рівні, тому що якщо б вони були рівні, то їх добуток дорівнював би не 96, а 100. Таким чином, одне з них буде більше половини їх суми, тобто 10+х, інше ж менше, тобто

10-х. Різниця між ними 2х.

Звідси рівняння(10+х)(10-х)=96

або ж 100-х²=96 , х²-4=0

Звідси х=2.

Одне з шуканих чисел дорівнює 12, інше 8.

Розв’язок х=-2 для Діофанта не існує, оскільки грецька математика знала тільки додатні числа.

Квадратні рівняння в Індії

• Задачі на квадратні рівняння зустрічаються вже в астрономічному трактаті «Ариабхаттиам», складеному в 499 р. індійським математиком і астрономом Ариабхаттою. Інший індійський учений, Брахмагупта( VII ст.), виклав загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, приведених до єдиної канонічної формі: х 2 +вх=с, а  0.

У цьому рівнянні коефіцієнти, крім а,можуть бути і від’ ємними. Правило Брахмагупти по суті збігається з нашим.

Індія

• Задача Мухаммеда ібн Муси ал-Хорезмі

“ Квадрат і 10 коренів дорівнюють 39”.

  Ця задача відповідає рівнянню х 2 +10х=39 .

Ал-Хорезмі пропонує розв’язати її наступним чином:

якщо б у нас був квадрат зі стороною (х+5) , тоді його можна було бподілити на квадрат зі стороною х, два прямокутника 5х та квадрат зі стороною 5 (див. рисунок). Нам відомо, що

х 2 +2*5х=39. Тоді площа більшого квадрата 39+25=64, а значить його сторона дорівнює 8. Але сторона цього квадрата дорівнює х+5, тобто х=8-5=3.

Відповідь: х=3.

У Стародавній Індії були поширені публічні змагання у вирішенні складних завдань. В одній із старовинних індійських книг говориться з приводу таких змагань наступне: «Як сонце блиском своїм затьмарює зірки, так вчена людина затьмарить славу іншого в народних зборах, пропонуючи і розв’язуючи алгебраїчні завдання» Завдання часто записувалися у віршованій формі. «Обезьянок резвых стая Всласть поевши, развлекалась, Их в квадрате часть восьмая На поляне забавлялась. А двенадцать по лианам… Стали прыгать, повисая… Сколько ж было обезьянок, Ты скажи мне, в этой стае?»

Квадратні рівняння в Європі XIII-XVII ст.

• Формули розв'язування квадратних рівнянь за зразком ал-Хорезмі в Європі були вперше викладені в «Книзі абака», написаної в 1202 р. італійським математиком Леонардо Фібоначчі.Книга сприяла поширенню алгебраїчних знань в Італії, Німеччині, Франції та інших країнах Європи.

• У давнину була знайдена формула для розв'язування квадратного рівняння за допомогою радикалів (коренів). Висновок формули є у Вієта,але він визнавав тільки додатні корені. Італійські математики Тарталья, Кордано, Бомбеллі в XVI ст. враховують і від’ємні корені. У XVII ст. завдяки працям Жирара, Декарта, Ньютона спосіб розв'язування квадратних рівнянь приймає сучасний вигляд.

Казанські вчені-математики

• Великий внесок у теорію розв'язування рівнянь внесли казанські вчені-математики.
• Н.Р.Чеботарьов в казанський період життя і наукової діяльності створив казанську алгебраїчну школу. Він і його учні працювали над теоріями алгебраїчних чисел, розподілом коренів, теорії алгебраїчних функцій.
• Н.Р.Четаєв працював над проблемами стійкості руху, аеродинамікою і якісними методами розв'язування диференціальних рівнянь.

Традиційне розв’язування квадратних рівнянь

2 кореня, якщо а і с числа з різними знаками; немає коренів, якщо а і с числа з однаковими знаками.

2 к ореня:

1 корінь, x=0

Нетрадиційне розв’язування квадратних рівнянь

• На заздрість стародавнім грекам і індійцям ви можете навчитися розв’язувати квадратні рівняння швидше.

Знайдіть зв'язок між сумою коефіцієнтів і коренями квадратних рівнянь.

Дякую за увагу!