Некоторые свойства прямоугольных треугольников .

Прямоугольные

треугольники

Геометрия, 7 класс

К учебнику Л.С.Атанасяна

Автор: Софронова Наталия Андреевна,

учитель математики высшей категории

МОУ «Упшинская основная общеобразовательная школа»

Оршанского района Республики Марий Эл

Некоторые свойства прямоугольных треугольников

А

АС, ВС – катеты

АВ - гипотенуза

С

В

Свойство 1 0 . Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 0 .

Задача 1. Найдите угол А прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С если: а) ے В = 32 0 ; б) ے В в 2 раза меньше угла А; в) ے В на 20 0 меньше угла А.

Задача 2.

Задача 3.

А

А

В

С

С

В

АС = ВС

Угол А:

ВС – катет, лежащий против угла А

АС – катет, прилежащий к углу А

А

Угол В:

АС – катет, …

ВС – катет, …

С

В

М

Назвать катеты, противолежащие углам N и К

К

Назвать катеты, прилежащие углам N и К

N

Прямоугольный треугольник с углом в 30 0

Задача. Доказать, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 0 , равен половине гипотенузы.

Свойство 2 0 . Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 0 , равен половине гипотенузы.

А

30 0

30 0

60 0

60 0

D

С

В

Прямоугольный треугольник с углом в 30 0

Задача. Докажите, что если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30 0 .

Свойство 3 0 . Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30 0 .

А

?

D

С

В

Прямоугольный треугольник с углом в 30 0

А

Задача 4 .

АВ = 12 см. Найдите ВС

Задача 5.

ВС = 7,5 см. Найдите АВ

Задача 6.

АВ +ВС = 15 см.

Найдите АВ и ВС

В

С

Прямоугольный треугольник с углом в 30 0

В

Задача 7.

АС = 4 см. Найдите АВ

Задача 8.

АВ - АС = 15 см.

Найдите АВ и АС

С

М

А

Прямоугольный треугольник с углом в 30 0

А

?

Задача 9 .

Найдите острые углы прямоугольного треугольника АВС, если АВ = 12 см, ВС = 6 см.

В

С

15 0

Прямоугольный треугольник с углом в 30 0

Задача 10 .

Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если угол между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины прямого угла, равен 15 0 .

А

К

СК - биссектриса

СМ - высота

М

С

В

Прямоугольный треугольник с углом в 30 0

Задача 11 .

В равнобедренном треугольнике один из углов равен 120 0 , а основание равно 4 см. Найдите высоту, проведенную к боковой стороне.

М

В

АМ - высота

120 0

4 см

С

А

1

2

Прямоугольный треугольник с углом в 30 0

Задача 12 .

Высота, проведенная к боковой стороне равнобедренного треугольника, делит пополам угол между основанием и биссектрисой. Найдите углы равнобедренного треугольника.

В

В

АК – биссектриса угла А

К

АМ - высота

М

2х

х

А

х

4х

С

Прямоугольный треугольник с углом в 30 0

Задача 14 .

Докажите, что если треугольник прямоугольный, то медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Свойство 4 0 . В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

ΔАВС - прямоугольный

СМ – медиана

С

4

2

3

1

В

А

М

Получили противоречие!

Вывод:

СМ = АМ

Прямоугольный треугольник с углом в 30 0

Задача 13 .

Докажите, что если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.

В

ВМ – медиана



β

Доказать: ΔАВС - прямоугольный



β

С

А

М

Свойство 5 0 . Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник прямоугольный.

Некоторые свойства прямоугольных треугольников

Свойство 1 0 . Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 0 .

Свойство 2 0 . Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 0 , равен половине гипотенузы .

Свойство 3 0 . Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30 0 .

Свойство 4 0 . В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Свойство 5 0 . Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник прямоугольный.