«Нестандартные способы решений уравнений и неравенств»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

города Ростова-на-Дону

«Школа № 7 имени Береста Алексея Прокопьевича»

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА КУРСА

«Нестандартные способы решений уравнений и неравенств»

Учитель: Лукьянова Л.Н.

Группа 21

СОГЛАСОВАНО:

Председатель МС _______________

Протокол заседания МС № 2 от 12.09.2017 г.

УТВЕРЖДАЮ:

Директор МБОУ «Школа №7»_______ ___________

Приказ № 36-п от 12.09.2017 г.

Пояснительная записка

Курс «Нестандартные способы решения уравнений и неравенств» разработан на основе учебного пособия для профильных классов общеобразовательных учреждений «Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения» С.А. Гомонов, издательство Дрофа, Москва, 2006 год. А также на основе методических рекомендаций к элективному курсу С.А. Гомонова «Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения». 10 -11 классы. Профильное обучение Элективные курсы. Москва. Дрофа 2006 г. Программа рассчитана на 2 часа в неделю с 14.11.2016 года по 31.05.2017 г. для учащихся 11 класса.

Основная цель данного курса: изучение избранных классов неравенств с переменными и научное обоснование (в той степени строгости, которая соответствует уровню базового уровня математики) методов их получения, а также выход на практические приложения изученного материала. Такими вначале будут решения примеров на установление истинности простейших числовых неравенств, а к завершению усвоения курса – рассуждения, требующие уметь находить неравенства, помогающие справиться с данным конкретным заданием.

Данная цель курса реализуется посредством решения следующих задач:

• расширить знания учащихся по теме «Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения»;

• формировать умение планировать свою деятельность;

• развить навыки анализа и самоанализа;

• содействовать формированию у учащихся математической грамотности;

• расширить представления о профессиональных областях человеческой деятельности.

Актуальность программы заключается в том, что она создает условия для развития познавательных способностей обучающихся через освоение основных приёмов решения уравнений и неравенств: линейных, квадратных, тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных. Обучение методам решения уравнений и неравенств, традиционно является важнейшей частью школьного курса математики. При решении уравнений и неравенств помимо технических приходится преодолевать и логические трудности и в частности отвечать на вопрос, почему выполненные преобразования не приводят к потере корней или приобретению посторонних корней.

1. СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТА

1.Наименование разделов учебной программы и характеристика основных содержательных линий:

1. Числовые неравенства и их свойства

     Понятие положительного и отрицательного числа, число нуль. Основные законы сложения и умножения действительных чисел. Свойства суммы и произведения положительных чисел. Понятие «больше» для действительных чисел, его геометрическая интерпретация и  свойства. Понятия «меньше», « не больше», «не меньше» для действительных чисел и их свойства. Числовые неравенства.

     2. Основные методы установления истинности числовых неравенств с переменными.

     Сравнение двух чисел – значений числовых выражений « по определению», путем сравнения их отношения с единицей, путем сравнения их степеней, путем сравнения их с промежуточными числами (числом), метод введения вспомогательной функции, метод использования «замечательных» неравенств.

     3. Основные методы решения задач на установление истинности неравенств с переменными.

     Частные случаи неравенства Коши, их обоснование и применение. Неравенство-следствие. Равносильные неравенства. Равносильные задачи на доказательство илиопровержение неравенств. Методы установление истинности неравенств с переменными: метод «от противного», метод анализа, метод усиления и ослабления, метод подстановки, метод использования тождеств, метод введения вспомогательных функций, метод понижения степеней выражений, образующих левую и правую части неравенств.

     4. Метод математической индукции и его применение к доказательству неравенств. Неравенство Коши для произвольного числа переменных.

    Индукция вообще и в математике в частности. Система аксиом  Дж. Пеано. Схема применения принципа математической индукции. Некоторые модификации метода математической индукции. Две теоремы о сравнении соответствующих членов двух последовательностей с помощью сравнения  разности или отношения двух соседних членов одной последовательности с разностью  или отношением двух членов другой последовательности. Примеры. Неравенство Коши для произвольного числа переменных. Некоторые неравенства, эквивалентные неравенству Коши.

     5. Неравенство Коши - Буняковского и его применение для решения задач.

     Формулировка и обоснование теоремы, устанавливающей соотношение Коши - Буняковского  и дающая критерий реализации этого соотношения в варианте равенства. Геометрическая интерпретация неравенства Коши - Буняковского.  Векторный  вариант записи этого неравенства.

     6. Неравенства подсказывают методы их обоснования.

     Метод Штурма. Использование симметричности, однородности цикличности левой и правой частей неравенств. Геометрические неравенства, устанавливающие соотношения между длинами сторон треугольника.

     7. Средние степенные величины.

     Средние величины в школьном курсе математики, физики. Многообразие «средних». Среднее арифметическое, среднее геометрическое и соотношение между ними в случае двух параметров. Геометрическая интерпретация. Четыре средние линии трапеции.

     8. Неравенство Чебышева и некоторые его обобщения.

     Неравенство Чебышева: простейший вариант и его обобщение, порожденное понятием одномонотонной  последовательности. Неравенства, обобщающие как неравенство Чебышева, так и неравенство Коши-Буняковского.

     9. Генераторы замечательных неравенств.

     Свойства квадратичной функции – источник простейших неравенств. Неравенство треугольника. Свойства одномонотонных последовательностей – источник замечательных неравенств. Неравенство Иенсона.

     10. Применение неравенств.

     Задача Дидоны (упрощенный вариант) и другие задачи на оптимизацию. Поиск наибольшего и наименьшего значений функции с помощью замечательных неравенств.

КАЛЕНДАРНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

Основные виды УУД:

ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Педагогическим инструментом реализации поставленных целей в данном курсе является системно-деятельностный подход.

Основные результаты освоения данного элективного курса.

Общеучебные умения и навыки:

• сформированная мотивация учащихся к изучению математики;

• сформированность мировоззрения, соответствующего современному уровню развития науки и общественной практики;

• сформированность основ саморазвития и самовоспитания в соответствии с общечеловеческими нравственными ценностями и идеалами российского гражданского общества; готовность и способность к самостоятельной, творческой и ответственной деятельности (образовательной, учебно-исследовательской, проектной, коммуникативной, иной);

• готовность и способность к образованию, в том числе самообразованию, на протяжении всей жизни; сознательное отношение к непрерывному образованию как условию успешной профессиональной и общественной деятельности;

• осознанный выбор будущей профессии на основе понимания еѐ ценностного содержания и возможностей реализации собственных жизненных планов.

Предметные результаты

Учащиеся должны знать:

- понятие «больше», «меньше», «не больше», «не меньше» для действительных чисел и их свойства;

- основные методы сравнения двух чисел: «по определению», сравнение их отношений с единицей, сравнение их степеней, сравнение их с промежуточным числом, метод использования «замечательных неравенств»;

- основные методы установления истинности неравенств с переменными: метод анализа, метод синтеза, метод «от противного», метод использования тождеств, метод подстановки (введение новых переменных), метод оценивания (усиление и ослабления);

- схему применения метода математической индукции;

- неравенство Коши для произвольного числа переменных;

- соотношение Коши-Буняковского;

-средние арифметическое, геометрическое, гармоническое и квадратическое двух положительных чисел, их геометрическое интерпретация.

В результате изучения курса учащиеся должны уметь:

- применять основные методы сравнения двух чисел;

-применять основные способы доказательства истинности неравенств с переменными;

-применять метод математической индукции для доказательства неравенств;

- применять неравенство Коши - Буняковского при n = 2 и n = 3;

-применять замечательные неравенства для нахождения наибольшего и наименьшего значений функций, решения несложных задач на оптимизацию.

Используемая литература:

1. Гомонов С. А. Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения. 10 -11 классы. Профильное обучение Элективные курсы. Учебное пособие: Москва. Дрофа 2006.

2. Гомонов С. А. Методические рекомендации к элективному курсу Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения. 10 -11 классы. Профильное обучение Элективные курсы. Москва. Дрофа 2006.

3. Ким Н. А. Неравенства: через тернии к успеху. Элективный курс. Алгебра 10 – 11 классы./ Волгоград: ИТД «Корифей». 2007г.

4. КаспржакА.Г.Элективные курсы в профильном обучении. Образовательная область «Математика». Министерство образования РФ.- Национальный фонд подготовки кадров.- М.: Вита-Пресс, 2004

5. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике: Решение задач. – М.: Просвещение, 1991.

6. Сканави М.И., Сборник задач по математике для поступающих во втузы. – М.: ОНИКС 21 век, Мир и Образование, Альянс-В, 2001.

7. Чеботарева Л.А. Задачи с параметрами / Л.А. Чеботарева // Профильная школа. – 2007. – №2.

Интернет-ресурсы:

- Федеральный институт педагогических измерений (ФИПИ) www.fipi.ru - Сайт газеты «Математика» http://mat.1september.ru

- Единая коллекция образовательных ресурсов http://school-collection.edu.ru - Федеральный центр информационно-образовательных ресурсов ФЦИОР http://fcior.edu.ru/ - МО и Н РФ www.edu.ru

- http://alexlarin.net/ - Сайт Ларина Александра

Цифровые образовательные ресурсы учителя (презентации, иллюстрации и др.)

Технические средства обучения: экспозиционный экран, персональный компьютер, мультимедийный проектор, компьютер.