Научный проект на тему: "Область допустимых значений"

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
Гимназия №1

ПРОЕКТНАЯ РАБОТА

По математике

«ВОЙНА С ОДЗ»

(исследование, проект.)

Выполнил:

Екатериненко Серафим Павлович,

Ученик 10 «Б» класса

Руководитель:

Мартынова Екатерина Владимировна,

учитель математики

г. Хабаровск

2022

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 1

Об истории ОДЗ 1

О различии понятий “ОДЗ” “область определения” и “область значений” 1

ТЕОРИЯ 3

Деление на ноль 3

Аргумент корня четной степени 3

Показатель степени при основании равном нулю 3

Основание рациональной степени 4

ОДЗ тригонометрических функций 4

О модуле 5

ПРАКТИКА 7

Деление на значение с неизвестным в уравнениях 7

Решение иррациональных уравнений 8

Вид уравнения, с ОДЗ из одной или нескольких точек. 9

ОДЗ при тождественных преобразованиях 9

Универсальный способ обхода ОДЗ 10

ОДЗ В ЖИЗНИ. 11

Практическое применение ОДЗ 11

Знания ОДЗ среди учеников 10 и 9 классов, учителей. 11

ОДЗ в ЕГЭ 13

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 14

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ, ИСТОЧНИКОВ И ПРИЛОЖЕНИЯ 15

Литература и источники 15

Приложения 15

О проекте

• Название проекта:

  • «Война с ОДЗ»

• Автор:

  • Екатериненко Серафим Павлович

• Руководитель:

  • Малькова Наталья Игоревна

• Цель проекта:

  • Определить значимость ОДЗ

• Задачи:

  • Дать определение ОДЗ

  • Определить границы ОДЗ

  • Найти способы обхода ОДЗ

  • Собрать статистику о знаниях ОДЗ среди учеников

  • Собрать статистику о частоте появления ОДЗ в ЕГЭ

• Актуальность:

  • Я выбрал данную тему для проекта, так как сам часто совершаю ошибки, не определив или неправильно определив ОДЗ. Поэтому для меня тема ОДЗ актуальна, и я считаю её достойной изучения.

• Методы исследования:

  • Обобщение

  • Тестирование

  • Математический метод

• Гипотеза:

  • ОДЗ является важной частью при решении уравнений и неравенств.
    
    
    

Об истории ОДЗ

ОДЗ в той или иной форме появлялась сразу, как только возникали противоречия по поводы значения тех или иных выражений, например, когда кто-либо пытался делить на ноль. Но сам термин “ОДЗ” когда и кем был введен доподлинно неизвестно, так как постоянно изменялся вместе с математикой как наукой, но предположительно он появился в тот же период времени что и область определения и область значений функции, все это – разные понятия, которые я объясню позже. Термины область значений и определения в трактовке схожей сегодняшней появились чуть позже понятия функция, которое в своем первичном виде было введено Ренэ Декартом в своем труде “Геометрия” [CITATION Рен \l 1049 ]

О различии понятий “ОДЗ” “область определения” и “область значений”

ОДЗ выражения - область допустимых значений состоит, по определению, из тех x, для которых имеют смысл его левая и правая части.[ CITATION Дор07 \l 1049 ] ^Стр.172

Область определения – множество значений переменной, на котором задается функция, это множество не может быть больше ОДЗ

Область значений функции – множество значений, которые может принять функция.

Если с областью значений все понятно, то про различие ОДЗ и области определения я поговорю по подробней, рассмотрим иррациональное уравнение:
ОДЗ: , т.к. x под знаком квадратного корня, если x отрицательно то выражение бессмысленно.
Область определения: , т.к. значение корня четной степени всегда неотрицательно, но при выражение все еще имеет смысл, хоть и ложно.

Несмотря на небольшое различие этих понятий, я рассмотрю их оба в качестве одного.

ТЕОРИЯ

Итак. ОДЗ выражения – область допустимых значений, состоит, по определению, из тех x, для которых имеют смысл его левая и правая части.

Какова же эта область? Чтобы ее найти, понадобится найти все значения переменной, при которых его или левая или правая часть не имеет смысла и вычесть их из множества действительных чисел.

Когда выражение не имеет смысла? Когда его значение невозможно вычислить, например, при делении на ноль.

Деление на ноль

Это, пожалуй, самый известный запрет в математике. Все знают, что делить на ноль нельзя.
Мне нравится следующее уравнение – ловушка:

Вот и все, при делении на 0 (здесь он замаскирован под 3 - 3) получается абсурд. С помощью такого метода можно “доказать” равенство любых двух выражений.

Аргумент корня четной степени

При прохождении квадратного корня учитель сразу говорит, что под знаком корня может стоять только неотрицательное число, затем при прохождении корня n-ной степени, это ограничение начинает распространяться на все корни четной степени.

Объясняется это просто. По определению корнем степени n из числа a называют такое число b, что . А если n – чётное, то любое число, возведенное в эту степень положительно. Следовательно, значение корня четной степени из отрицательного числа невычислимо.

Показатель степени при основании равном нулю

Ноль можно возводить только в положительную степень, т.к. при возведении в нулевую возникает противоречие: ноль в любой степени равен нулю, но любое число, возведенное в нулевую степень, равно единице, что делает выражение невычислимым. При возведении в отрицательную степень по определению происходит следующее:

Если n = 0, то происходит деление на ноль и выражение перестает иметь смысл

Основание рациональной степени

По определению: но при может возникнуть противоречие:
Пусть m и n – нечетны, ⇒  , , но, так как m нечетно, а 2m четно, то , а , т.е , , т.е

Также, при n – четно, m – нечетно, a

ОДЗ тригонометрических функций

В математике значения тригонометрических функций определяются на тригонометрическом круге (см. следующую страницу):

На тригонометрическом круге же можно определить и ОДЗ тригонометрических функций:
Для , а для

И, заодно области определения и значений для этих функций:
, ⇒ для
, для
Из-за периодичности синуса и косинуса
Из-за периодичности тангенса и котангенса

Значение арифметического корня четной степени

Как было оговорено во введении это правило не является ОДЗ, но упоминания оно стоит.

Тут все просто, при возведении любого числа в четную степень результат положителен, то есть , тогда по определению корня следует, что – это алгебраический корень четной степени, арифметический же корень четной степени всегда принимает неотрицательное значение. В практике всегда используется арифметический корень, а чтобы указать его двойное значение используется знак ±.

О модуле

Еще одно правило не входящее в группу ОДЗ

По определению
То есть значение модуля всегда неотрицательно

ПРАКТИКА

На практике применение ОДЗ может оказаться немного запутанней, чем кажется.

Деление на значение с неизвестным в уравнениях

Рассмотрим следующее уравнение и два его решения:

Как можно понять после проверки подстановкой, прекрасное и короткое левое решение дано неверный ответ, потеряв x = 0, это произошло потому, что 0 – один из корней уравнения, т.е. x = 0, а первым же действием левого решения было произведено деление на x, т.е. деление на 0.

К счастью это правило можно обойти, рассмотрев два случая: когда делитель равен нули и неравен нулю, т.е. в данном случае подставить 0 в исходное:

И вот они два корня.

В уравнениях, где делитель с неизвестным изначально, согласно ОДЗ, не равен нулю, деление производить можно.

Решение иррациональных уравнений

Иррациональное уравнение — это уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня, или возведённое в степень, которую нельзя свести к целому числу. Вся проблема здесь как раз таки в пресловутом корне (или степени), которые, как расписано в теоретической части, имеют немало ограничений.

Разберем пример иррационального уравнения с квадратным корнем:

И вот, почему ответ не верен? Корень x = -4 не является решением, это можно проверить подстановкой, но ведь ОДЗ было указано, верно? Да, но не было указано еще одно правило: значение арифметического корня четной степени всегда неотрицательно.

На практике уравнение вида равносильно системе:
проверка не требуется, т.к. согласно верхнему уравнению системы , равно функции, возведенной в квадрат, а то, что возведено в квадрат, всегда неотрицательно.
Пример верного решения:

Ответ:

Подобное решение справедливо для всех уравнений вида:

Еще один вид иррационального уравнения: равносилен системам:

На неотрицательность проверяется лишь одна часть уравнения, т.к. вторая автоматически будет неотрицательна согласно верхнему уравнению системы. Как правило, проверяется та часть, которую легче проверить.

Вид уравнения, с ОДЗ из одной или нескольких точек.

Рассмотрим следующее уравнение:

С виду оно абсолютно нерешаемо, но при нахождении ОДЗ произойдет следующее:

Как видно, все ОДЗ состоит из двух точек: 4 и 5, то есть можно подставить эти значения и проверить, являются ли они корнями.

При : . После вычислений станет ясно, что выражение справедливо, то есть является корнем.

При : . После вычислений станет ясно, что выражение не справедливо, то есть не является корнем.

ОДЗ при тождественных преобразованиях

Рассмотрим следующее уравнение: ,
И его преобразованную версию:

Легко найти решение, , при подстановке в уже преобразованное уравнение ответ сходится, но вот при подстановке в оригинальное уравнение появляется корень из отрицательного числа.

Проблема в разности ОДЗ для обоих примеров, для первого: , для второго же ограничений нет. Из чего можно сделать вывод, что ОДЗ требуется указывать до проведения любых преобразований.

Универсальный способ обхода ОДЗ

В некоторых выражениях найти ОДЗ может оказаться непростой задачей, в таких случаях рационально не указывать его, а просто проверить верность корней методом подстановки.
Рассмотрим следующее уравнение:

В знаменателе видим уравнение четвертой степени и просто игнорируем его:

=0

Подставляем ответы в знаменатель и получаем:

– противоречит ОДЗ – не противоречит ОДЗ

Как видно, вместо решения уравнения четвертой степени можно сперва решить всё уравнение, а затем подставить корни в исходное.

ОДЗ В ЖИЗНИ.

Практическое применение ОДЗ

Честно, найти практическое применение чего-либо из математики старшей школы весьма непросто, так как в основном эти знания пригождаются лишь в узких специальностях. Но лично мне доводилось использовать не ОДЗ, а область определения в реальной жизненной ситуации. Итак, передо мной стояла задача посчитать, сколько пятерок надо получить чтобы “подтянуть” оценку по русскому до 4.5 баллов, что обеспечило бы мне пятерку за семестр, и я стал бы круглым отличником. Средняя оценка считается ка среднее арифметическое среди всех оценок, у меня имеется следующие оценки: 5, 2, 4, 4 и их среднее равно: . Пусть мне нужно получить n пятерок, тогда, чтобы вычислить n мне нужно решить неравенство: .

Здесь я решу уравнение без области определения и ОДЗ и посмотрю, что получится:

Очень странный ответ, как можно получить -4 пятерки? Никак, количество оценок должно быть положительным и целым, это и была область определения, то есть ответом будет являться .

Знания ОДЗ среди учеников 10 и 9 классов, учителей.

Изучая тему, я решил узнать, насколько ученики осведомлены об ОДЗ и умеют ли они его применять. Для этого я провел тестирование среди десятых и девятых классов профильной и базовой групп математики, дав 3 уравнения девятому и 4 десятому классу.

Дополнительное уравнение для десятого класса: .
Как видно, три из четырех уравнений я уже разобрал.

Среди десятиклассников единственной ошибкой в первом уравнении стало неправильное нахождение корней, а не деление на , во втором уравнении все ошибившиеся не указали ОДЗ, как и в третьем, в четвертом же всех ошибившихся просто пугал знаменатель, и они не могли от него избавиться, что очень интересно. Полностью с заданием никто не справился. Интересно, что после объяснения правильного решения все ученики сочли его чрезвычайно легким и признавали свои ошибки.

Полная статистика в приложении^[1].

Среди девятиклассников ошибки были более разнообразны, никто также полностью с заданием не справился, я помещу статистику в отдельную таблицу^[2]. Самой распространенной ошибкой среди учеников девятого класса являлось неуказание ОДЗ во втором уравнении. Много учеников испытывали трудности с самим уравнением, а не с ОДЗ. Так, в первом уравнении, один ученик, при раскрытии скобок, умножая на получил , один ученик перенес из правой части в левую и сократил его на , стоящий как множитель перед скобкой. Несколько учеников перенесли , раскрыли скобки, но не смогли решить неполное квадратное уравнение. Было два ученика, которые верно решили первое и второе уравнения, указали ОДЗ в третьем, но при делении на 3 не поделили один из членов квадратного уравнения.

Также у меня была возможность проверить знания ОДЗ среди учителей математики, физики и информатики. Всего 4 учителя были проверены на знание ОДЗ. 2 учителя справились полностью, 2 учителя допустили по две ошибки каждый. Статистику я включил в приложение^[1] , учителя обозначены буквой У.

ОДЗ в ЕГЭ

Для меня, как для десятиклассника эта тема важна как никогда и точно подходит под заголовок “ОДЗ в жизни”.

Буквально в первом же задании нас встречает большой спектр уравнений, среди которых есть и иррациональные, и дробные, и тригонометрические. Очевидно, что на незнании ОДЗ в подобных уравнениях можно очень сильно обжечься. Но как часто в подобных уравнениях незнание ОДЗ может привести к ошибке? Я решил использовать сайт-сборник задач^[3] для сбора статистики об уравнениях и ОДЗ в них. Заранее скажу, я не включал в статистику показательные и логарифмические уравнения, так как не знаю метода их решения. Также небыли рассмотрены задания с параметром и неравенства из-за их большого количества трудностей при их проверке и высокой сложности.

После подведения статистики я занес ее в таблицу^[4]. Как видно, есть отдельная группа заданий с ОДЗ, но на ЕГЭ это конечно не будет указана. В целом шанс провала из-за неуказания ОДЗ не так велик. Но стоит отметить, что ОДЗ указывать надо в любом случае, так как шанс того, что попадется то самое задание где ОДЗ обязательно не равен нулю. Особенную осторожность требуется проявлять при решении заданий из второй части задания н12, так как там помимо повышенного риска нарваться на ОДЗ решение проверяется полностью, неуказание ОДЗ могут счесть за ошибку.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Целью проекта являлось выявление значимости ОДЗ при решении уравнений, в проекте были выделены правила ОДЗ и выяснено, что ОДЗ требуется указывать перед проведением тождественных преобразований. Были приведены примеры интересных задач с ОДЗ, собрана статистика о частоте встречи ОДЗ в ЕГЭ и о знаниях ОДЗ среди учеников.

В результате анализа полученной информации можно сказать что ОДЗ – важная часть при решении математических задач, в том числе и тех, что встречаются в ЕГЭ. При этом ученики не умеют определять границы ОДЗ при решении задач, что может привести к ошибке. Стоит отметить, что вместо ОДЗ желательно использовать область определения, так как она включает куда больше правил, следовательно “отбрасывает” большее количество неподходящих корней, что особенно заметно при решении иррациональных уравнений.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ, ИСТОЧНИКОВ И ПРИЛОЖЕНИЯ

А. Г. Мерзляк, Д. А. (2021). Алгебра и начала математического анализа.

Дорофеев Г.В, П. М. (2007). Математика для поступающих в вузы.

Р.Декарт. (1636). Геометрия

Приложения

1 – Статистика среди учеников десятого класса и учителей.
Б – база, П – профиль, У – учитель.

2 – Статистика среди учеников девятого класса:
+ – верно, - – неверное решение, из-за неуказания ОДЗ, ! – полностью неверное решение. НД – задание не выполнено З – ОДЗ указано, но не использовано, +- – ОДЗ указано, но решение неверно.

3 – https://math-ege.sdamgia.ru/?redir=1

4 – Статистика об ОДЗ в ЕГЭ.