Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции без производной

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции без производной

Дано: , . Нарисуем график функции (см. рис.1).

Рис. 1. График функции .

Известно, что эта функция возрастает на промежутке , значит, она возрастает и на отрезке . А значит, если найти значение функции в точках  и , то будут известны пределы изменения данной функции, ее самое большое и самое маленькое значение.

Когда аргумент возрастает от  до 8, функция возрастает от  до .

Ответ: ; .

4. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции с помощью производной

(а)

Дано: , . Найти наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезке.

Если в предыдущем случае можно было обойтись без производной – мы знали, как себя ведет функция, то в данном случае функция довольно сложная. Поэтому, ту методику, которую мы упомянули на предыдущей задаче, применим в полном объеме.

1. Найдем производную . Найдем критические точки  , отсюда ,  - критические точки. Из них выбираем те, которые принадлежат данному отрезку: . Сравним значение функции в точках

, , . Для этого найдем

;

;

.

Проиллюстрируем результат на рисунке (см. рис.3).

Рис. 3. Пределы изменения значений функции

Видим, что если аргумент меняется от 0 до 2, функция изменяется в пределах от -3 до 4. Функция меняется не монотонно: она либо возрастает, либо убывает.

Ответ: ; .

Алгоритм решения задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции

Итак, на трех примерах была продемонстрирована общая методика нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке, в данном случае – на отрезке.

Алгоритм решения задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции:

1. Найти производную функции.

2. Найти критические точки функции и отобрать те точки, которые находятся на заданном отрезке.

3. Найти значения функции на концах отрезка и в отобранных точках.

4. Сравнить эти значения, и выбрать наибольшее и наименьшее.

6. Решение задачи

Рассмотрим еще один пример.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции , .

Ранее был рассмотрен график этой функции (см. рис.4).

Рис. 4. График функции .

На промежутке  область значения этой функции . Точка  - точка максимума. При  - функция возрастает, при  – функция убывает. Из чертежа видно, что ,  - не существует.

7. Итог урока

Итак, на уроке рассмотрели задачу о наибольшем и наименьшем значении функции, когда заданным промежутком является отрезок; сформулировали алгоритм решения подобных задач.

Пример № 1. Найти наименьшее значение функции на отрезке . (Учитель совместно с учащимися записывает решение на доске последовательно проговаривая каждый пункт алгоритма).

Решение:

Ответ:

Пример