Наибольший общий делитель

Автор: Сидорова А.В.

учитель математики

МБОУ г. Мурманска СОШ № 31

13

5

17

27

4

21

9

14

А как называются оставшиеся числа?

Ученик записал разложение числа

на простые множители:

120=2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5

Это верно?

4 – составное число!

120 = 2 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 5

Какое наибольшее число

одинаковых подарков можно составить из

48 конфет «Белочка» и 36 конфет «Кара -Кум»?

Решение.

Каждое из чисел должно делиться на число

подарков.

Выпишем все делители чисел 48 и 36.

48: 1,2,3,4,6,8,12,16,24,48.

36: 1,2,3,4,6,9,12,18,36.

Общими делителями чисел 48 и 36 будут:

1,2,3,4,6,12.

Наибольшим общим делителем

этих чисел является число 12.

Его называют

наибольшим общим делителем

чисел 48 и 36.

Значит, можно составить 12 подарков.

В каждом подарке будет 4 конфеты «Белочка»

48:12=4

и 3 конфеты «Кара - Кум»

36:12=3.

• Наибольшее натуральное число, на

которое делятся без остатка

числа a и b, называют

наибольшим общим делителем

этих чисел.

15

5

1) НОД(15,20)=3;

2) НОД(30,45)=5;

4) НОД(12,6)=6.

3) НОД(4,10)=2;

Проверка:

• является ли это число общим делителем
• наибольшее ли оно из общих делителей.

Найдём наибольший общий делитель чисел 24 и 35.

24: 1,2,3,4,6,12,24;

35: 1,5,7,35.

Числа 24 и 35 имеют только один общий делитель- число 1.

Такие числа называют

взаимно простыми .

Натуральные числа называют

взаимно простыми ,

если их наибольший общий

делитель равен 1 .

• Наибольший общий делитель можно найти, не выписывая всех делителей данных чисел.

Разложим числа на простые множители

48 и 36:

48 2 36 2

24 2 18 2

12 2 9 3

6 2 3 3

3 3 1

1

НОД(48;36) = 2 · 2 · 3 = 12.

• Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел, надо:

• Разложить их на простые множители;
• Подчеркнуть общие множители;
• Найти произведение общих множителей.

Назовите общие простые множители чисел по их разложениям:

а) 15 = 3 ∙ 5; б) 36 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3;

60 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5. 78 = 2 ∙ 3 ∙ 13.

в) 54 = 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3;

90 = 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5.

• Найдите:

а) НОД (15;60) =

б) НОД (36;78) =

в) НОД (54;90) =

15

6

18

Найдите наибольший общий делитель чисел p и q , если p = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 7 ∙ 7 ∙11 и q = 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 ∙ 11 ∙ 13 .

Решение.

p = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 7 ∙ 7 ∙11

q = 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 ∙ 11 ∙ 13

НОД(p;q)=2 · 3 · 5 · 7 · 11 =

2310

Найдите самостоятельно:

НОД (16, 24) =

НОД (100, 40) =

НОД (54, 90) =

а) 16 2

8 2

4 2

2 2

1

24 2

12 2

6 2

3 3

1

б) 100 2

50 2

25 5

5 5

1

40 2

20 2

10 2

5 5

1

в) 54 2

27 3

9 3

3 3

1

90 2

45 3

15 3

5 5

1

НОД (54, 90) = 18

НОД (100, 40) = 20

НОД (16, 24) = 8

Из 156 чайных, 234 белых и 390 красных роз сделали букеты, причём во всех букетах роз каждого вида было поровну и число таких букетов было больше 50. Сколько букетов сделали из этих роз и сколько роз каждого вида было в одном букете?

156 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 13

234 = 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 13

390 = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 13

НОД(156;234; 390) =2 · 3 · 13 = 78 – количество букетов

156 : 78 = 2 (роз) –чайных

234 : 78 = 3 (роз) – белых

390 : 78 = 5 (роз) - красных

подумай

подумай

15 и 18

25 и 27

12 и 20

16 и 35

подумай

32 и 45

36 и 77

99 и 37

68 и 34

Нажмите на пару

• Чему мы научились на уроке?
• Что было нового?
• Можем ли ответить на главный вопрос урока?

• Выучить определения и правило п. 6, № 169 (1), 170 ( а,б), 171