Многогранники. Призма.

Многогранником называется поверхность, составленная из многоугольников, ограничивающих некоторое геометрическое тело .

Элементы Многогранника :

- Грани (многоугольники )

- Рёбра (стороны граней)

Грань

- Вершины

- Диагонали

Рёбра

Вершины

Диагональ

Многогранник называется выпуклым , если он расположен по одно сторону от плоскости каждой своей грани.

Все грани выпуклого многогранника – выпуклые многоугольники .

Свойство выпуклого многогранника:

Сумма всех плоских углов в его вершине меньше 360 градусов .

Многогранник называется правильным , если он:

1. Выпуклый

2. Все его грани –равные правильные многоугольники

3. В каждой вершине многогранника сходиться одно и то же число рёбер

Призма (греч. prísma), многогранник, у которого две грани — равные n –угольники, лежащие в параллельных плоскостях (основания призмы), а остальные n граней (боковых) — параллелограммы

Прямой призмой называется призма, боковое ребро которой перпендикулярно плоскости основания.

Высота прямой призмы равна боковому ребру, а все боковые грани - прямоугольники

Прямая призма

Наклонная призма

Вершины

Ребра (стороны граней)

Грани (многоугольники)

Диагональ призмы

Высотой ( h) призмы называется перпендикуляр , опущенный из любой точки одного основания на плоскость другого основания призмы.

F1

E1

Отрезок, концы которого - две вершины, не принадлежащие одной грани призмы, называют ее диагональю . (Отрезок A 1 D - диагональ призмы)

D1

A1

B1

C1

F

E

D

A

C

B

Правильной призмой называется прямая призма, основание которой – правильный многоугольник.

Площадь поверхности призмы ( S пр) равна сумме площадей ее боковых граней (площади боковой поверхности S бок) и площадей двух оснований (2 S осн) - равных многоугольников: Sпр . =Sбок+2Sосн

Площадь боковой поверхности – сумма площадей боковых граней

Площадь боковой поверхности прямой призмы S бок= P осн* h

Если призма наклонная: S бок= P перп.сечения* a

P – периметр перпендикулярного сечения a – длина ребра

Объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту.

* h

= S

V

* h

V

= S

перп сеч.

накл призмы

осн.

прямой призмы

Параллелепипедом называется призма, основание которой – параллелограмм.

Прямоугольным параллелепипедом называется прямой параллелепипед, основание которого – прямоугольник.

• Противоположные грани параллелепипеда равны параллельны
• Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
• Сумма квадратов диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов всех его ребер.
• Боковые грани прямого параллелепипеда – прямоугольники.
• Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

Через одну из сторон основания правильной треугольной призмы проведена плоскость под углом α к основанию, отсекающая от призмы пирамиду объёма V . Определить площадь сечения.

Решение

В основании прямой призмы – равнобедренная трапеция, диагонали которой перпендикулярны соответствующим боковым сторонам. Угол между диагоналями трапеции, противолежащий боковым сторонам, равен α , отрезок, соединяющий вершину верхнего основания с центром окружности, описанной около нижнего основания равен l и образует с плоскостью основания угол β . Найти объём призмы.

Решение