Все о треугольниках (теория)
Содержание
- Определение, элементы, внешний угол
- Виды треугольников
- Признаки равенства треугольников
- Признаки подобия треугольников
- Медиана, свойства медиан
- Биссектриса, свойства биссектрис
- Высота, свойства высот
- Средняя линия треугольника
- Свойства треугольников
- Соотношение между сторонами и углами треугольника
- Свойства равнобедренного треугольника
- Свойства прямоугольного треугольника
- Свойства подобных треугольников
- Формулы площади треугольника
Треугольник – фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки.
Точки А; В; и С – вершины
Стороны - отрезки АВ,ВС,АС
Внешний угол треугольника при данной вершине – это угол, смежный с углом треугольника при данной вершине
В
А
С
Свойства треугольников
1.Сумма углов треугольника равна 180 °
В
А + В + С =180˚
2. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, против большего угла – большая сторона.
А
С
3. Неравенство треугольника .
Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон
Свойства треугольников
1 . Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
В
2
1 + 2= 4
4
1 + 2= 5
3
1
А
С
5
Виды треугольников
- Остроугольный – все углы острые
- Прямоугольный – один угол прямой
- Тупоугольный – один угол тупой
- Разносторонний – все стороны разной длины
- Равнобедренный – две стороны (боковые) равны
- Равносторонний – все стороны равны (правильный)
Признаки равенства треугольников
1. По двум сторонам и углу между ними
Если АВ = А 1 В 1 ТО ∆ АВС= ∆ А 1 В 1 С 1
АС =А 1 С 1
А = А 1
2. По стороне и прилежащим к ней углам
Если АВ = А 1 В 1 ТО ∆ АВС= ∆ А 1 В 1 С 1
А = А 1
в = в 1
3. По трём сторонам
Если АВ = А 1 В 1 ТО ∆ АВС= ∆ А 1 В 1 С 1
ВС = В 1 С 1
АС = А 1 С 1
Признаки равенства прямоугольных треугольников
А
1. По двум катетам
Если АС =А 1 С 1 ТО ∆ АВС= ∆ А 1 В 1 С 1
ВС=В 1 С 1
2. По катету и острому углу
Если АС =А 1 С 1 ТО ∆ АВС= ∆ А 1 В 1 С 1
А = А 1
3. По гипотенузе и острому углу
Если АВ = А 1 В 1 ТО ∆ АВС= ∆ А 1 В 1 С 1
А = А 1
4. По гипотенузе и катету
Если АВ = А 1 В 1 ТО ∆ АВС= ∆ А 1 В 1 С 1
АС =А 1 С 1
В
С
А 1
С 1
В 1
Признаки подобия треугольников
1. По двум углам
Если
2. По двум сторонам и углу между ними
Если АВ/А 1 В 1 = АС/А 1 С 1 ;
∆ АВС ~ ∆ А 1 В 1 С 1
3. По трем сторонам
Если АВ/А 1 В 1 = АС/А 1 С 1 = ВС/В 1 С 1 , то
∆ АВС ~ ∆ А 1 В 1 С 1
Признаки подобия прямоугольных треугольников
1. По острому углу
Если
2. По двум катетам
АС/А 1 С 1 = ВС/В 1 С 1 , то ∆ АВС ~ ∆ А 1 В 1 С 1
3. По гипотенузе и катету
АВ/А 1 В 1 = АС/А 1 С 1, то ∆ АВС ~ ∆ А 1 В 1 С 1
А 1
А
В
С
В 1
С 1
Медиана треугольника
Медиана треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны
Медианы пересекаются в одной точке (центр тяжести треугольника).
Свойства медиан треугольника
1 . Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1 , считая от вершины угла
АО = 2ОЕ; ВО = 2О F ; СО= 2О D
2 . Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника
S ∆ АВ D = S ∆ СВ D
3. Медианы делят треугольник на шесть равновеликих треугольников.
S ∆ АО D = S ∆ АО F = S ∆ F О B = S ∆B О E = S ∆ E О C = S ∆C О D
В
Е
F
О
А
С
D
Свойства медиан треугольника
- Если О – точка пересечения медиан, то S ∆ АОВ = S ∆ ВОС = S ∆ АОС
- Медиана на сторону а вычисляется по формулам:
В
О
А
С
В
а
с
m a
С
А
в
Биссектриса треугольника
Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника от вершины угла до противолежащей стороны.
Свойства биссектрис треугольника
1 . Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной в треугольник окружности
2 . Если С D – биссектриса угла С ∆АВС, то: 1) А D : В D =АС : ВС
2) S ∆АС D : S ∆ВС D =АС : ВС =AD : BD
С
А
В
D
Высота треугольника
Высота треугольника – перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, на которой лежит противолежащая сторона.
Свойства высот треугольника
1 . Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке – ортоцентре треугольника.
2 . Если А D , ВЕ,С F – высоты ∆АВС, О- точка пересечения этих высот или их продолжений, то
АО · О D = ВО · ОЕ = СО · О F
С
D
Е
О
А
В
F
Свойства высот треугольника
3. Высота на сторону с вычисляется по формулам:
h c = в · SinA
h c = a· SinB
h c = 2S ∆ : с
С
в
а
h c
В
А
с
С
в
h c
а
А
с
В
Средняя линия треугольника
Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника
Свойство средней линии :
Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
MN II AB и MN= АВ/ 2
В
N
M
С
А
Свойства треугольников
Прямая С D делит ∆АВС на два таких треугольника, что
S ∆ АС D : А D = S ∆D СВ : D В
С
А
В
D
S ∆ АС D : S ∆D СВ = А D : D В
Свойства треугольников
Теорема синусов
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:
а : SinA = b : SinB = c : SinC = 2 R
где R – радиус окружности, описанной около треугольника
В
R
с
а
R
R
А
С
в
Свойства треугольников
Теорема косинусов
Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:
а ² = в ² + с ² - 2вс · Со s А
в ² = а ² + с ² - 2ас · Со s В
с ² = а ² + в ² - 2ав · Со s С
В
с
а
А
С
в
Соотношение между сторонами и углами треугольника
В треугольнике:
- В треугольнике:
- В треугольнике:
- В треугольнике:
- В треугольнике:
1) против большей стороны лежит больший угол;
2) обратно, против большего угла
лежит большая сторона
3) В прямоугольном треугольнике
гипотенуза больше катета
4) Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный
Свойства равнобедренного треугольника
1 . В равнобедренном треугольнике углы при основании равны
2 . В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Свойства равнобедренного треугольника
3 . В равнобедренном треугольнике медианы (соответственно высоты и биссектрисы ), проведенные из вершин при основании, равны.
Свойства прямоугольного треугольника
1 . Гипотенуза больше катета
2 . Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 °
3 . Катет, лежащий против угла в 30 ° , равен половине гипотенузы. Верно и обратное утверждение.
4. Медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы и равна радиусу описанной окружности.
CD = ½ АВ= AD=DB=R
В
D
А
С
Свойства прямоугольного треугольника
5. Высота, опущенная из прямого угла делит прямоугольный треугольник на два подобных треугольника, которые подобны и исходному треугольнику
6. Теорема Пифагора.
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
с ² = а ² + в ²
Египетский треугольник : 3; 4 и 5
Пифагоровы треугольники : 5; 12 и 13
8; 15 и 17 7; 24 и 25
h
с
а
в
Свойства прямоугольного треугольника
7. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.
а) Высота, опущенная из прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов.
h : а с = в с : h
т.е.
В
а с
D
а
в с
h
А
С
в
б) Каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией катета на гипотенузу:
а : с = а с : а, т.е.
в : с = в с : в, т.е.
в) Высота, опущенная на гипотенузу, делит гипотенузу на отрезки, которые относятся так же как относятся квадраты прилежащих катетов:
а с : в с = а ² : в ²
а
в
а с
в с
Свойства прямоугольного треугольника
8. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника
- Синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе
- Косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе
- Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету
А
с
в
В
С
а
Свойства подобных треугольников
1 . У подобных треугольников АВС и А 1 В 1 С 1 :
1) 1 ; 1 ; С = С 1
2) АВ : А 1 В 1 =АС : А 1 С 1 =ВС : В 1 С 1 = k
(коэффициент подобия)
В 1
В
А
С
А 1
С 1
Свойства подобных треугольников
2. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
P ∆ABC : P ∆A 1 B 1 C 1 = k
3 . Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
S ∆ABC : S ∆A 1 B 1 C 1 = k²
Формулы площади треугольника
Формулы площади треугольника
Произвольный треугольник:
S = ½ · а h а = ½ · в h в = ½ · с h с ;
S = ½·ab·Sin С= ½· a с ·Sin В= ½· вс ·Sin А;
где р - полупериметр
Прямоугольный треугольник:
S = ½ · ав, где а и в - катеты
Правильный треугольник:
S = (а ²√ 3) : 4
Формулы площади треугольника
В
с
а
R
А
С
в
b
а
r
r
c
В
с
а
А
С
в
Источники
- Л.С. Атанасян. Учебник геометрии 7-9.М.: «Просвещение», 2009 г.
- Т.С. Степанова. Математика. Весь школьный курс в таблицах., Минск, «Букмастер»,2012
https://www.google.com/search?hl=ru&site=imghp&tbm=isch&source=hp&biw=1382&bih=732&q=%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0&oq=%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0&gs_l=img.1.0.0l10.11499.13684.0.20805.10.7.0.3.3.0.113.481.6j1.7.0...0.0...1ac.1.7.img.ZRxa7gaF-MI#imgrc=hBP2SMLPpmMX9M%3A%3BLrDnnfsdseyC3M%3Bhttp%253A%252F%252Fimg16.slando.ua%252Fimages_slandocomua%252F74852745_1_644x461_podgotovka-k-zno-matematika-harkov.jpg%3Bhttp%253A%252F%252Fkharkov.kha.slando.ua%252Fobyavlenie%252Fpodgotovka-k-zno-matematika-ID5e1v1.html%3B527%3B461