Методическая разработка "Все о ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКАХ"

Все о четырехугольниках (теория)

Содержание

• Определения
• Параллелограмм

а) Свойства параллелограмма

• Прямоугольник, ромб, квадрат

а) Свойства прямоугольника, ромба, квадрата

• Трапеция (определения, виды)

а) Свойства трапеции

• Свойства вписанных и описанных четырёхугольников
• Формулы площадей

а) прямоугольника и квадрата

б) параллелограмма

в) ромба

г) трапеции

д) произвольного четырёхугольника

Определения

• Четырёхугольник – это многоугольник у которого четыре вершины и четыре стороны
• Соседние вершины – вершины, являющиеся концами одной из сторон четырёхугольника
• Противолежащие вершины – вершины не являющиеся соседними
• Диагонали четырёхугольника – отрезки, соединяющие противолежащие вершины.
• Соседние стороны – стороны, исходящие из одной вершины.
• Противолежащие стороны – стороны, не являющиеся соседними.
• Периметр – сумма длин всех сторон четырёхугольника.

Параллелограмм

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

A B ‖ DC AD ‖ BC

В

С

D

А

Свойства параллелограмма

1. Противолежащие стороны параллелограмма равны

2. Противолежащие углы параллелограмма равны

3. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

Утверждения, обратные свойствам 1-3 , являются признаками параллелограмма , т.е.

• если противолежащие стороны четырёхугольника равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм
• Если две стороны четырехугольника равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм
• Если диагонали в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм

Свойства параллелограмма

4 . Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон.

т.е.

d 2

d 1

а

в

Прямоугольник, ромб, квадрат

Прямоугольник - это параллелограмм, у которого все углы прямые

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Квадрат – это ромб, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника, ромба и квадрата

1. Диагонали прямоугольника равны.

2. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.

3. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

4. Диагонали квадрата:

1) равны

2) пересекаются под прямым углом

3) являются биссектрисами его углов

Свойства прямоугольника, ромба и квадрата

5. Для прямоугольника, ромба и квадрата справедливы все свойства параллелограмма.

Трапеция (определения)

• Трапеция – это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.
• Основания трапеции – её параллельные стороны.
• Боковые стороны трапеции – непараллельные, противолежащие стороны трапеции
• Высота трапеции – это отрезок перпендикуляра от любой точки одного основания до её другого основания(или его продолжения)
• Средняя линия трапеции – отрезок соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Виды трапеции

• Равнобокая (равнобедренная)
• Прямоугольная

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.

2. У равнобокой трапеции углы при основании (верхнем и нижнем) равны.

Свойства трапеции

3. Пусть АВС D – трапеция с основаниями А D и ВС , точка Е - точка пересечения её диагоналей.

Тогда S ∆ АВЕ = S ∆D СЕ

Данное свойство верно для любых трапеций.

В

С

S ∆ АВЕ

S ∆D СЕ

Е

А

D

Свойства вписанных и описанных четырёхугольников

1. Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180 °

А + С = В + D = 180 °

В

А

С

D

Свойства вписанных и описанных четырёхугольников

2. Четырёхугольник можно описать около окружности тогда и только тогда, когда суммы его противолежащих сторон равны.

а + с = в + d

в

а

с

d

Свойства вписанных и описанных четырёхугольников

3. Если четырёхугольник вписан в окружность, то произведение его диагоналей равно сумме произведений его противолежащих сторон.

АС · В D = АВ · С D + А D· ВС

С

В

D

А

Формулы площадей четырёхугольников

Квадрат: а – сторона; d – диагональ

S = a²

S =1 / 2·d²

Прямоугольник: а, в – стороны; d – диагональ; β – угол между диагоналями

S = a· в

S =1 / 2·d² · Sin β

а

d

а

β

d

в

Формулы площадей четырёхугольников

Параллелограмм: а, в – стороны;

α – угол между сторонами; d1 и d2 – диагонали ; β – угол между диагоналями ; h a и h в - высоты, проведенные к сторонам а и в соответственно

S = a · h a = в · h в

S = a· в ·Sin α

S =1 / 2·d 1 d 2 · Sin β

в

а

h a

h в

α

Формулы площадей четырёхугольников

Ромб: а – сторона; α – угол между сторонами; d1 и d2 – диагонали; h – высота

S = a· h

S = a²·Sin α

S =1 / 2·d 1 d 2

d 1

а

h

d 2

Формулы площадей четырёхугольников

Трапеция: а, в – основания;

α – угол между сторонами; d 1 и d 2 – диагонали ; β – угол между диагоналями ; h – высота; m – средняя линия

S = m · h

S =1 / 2 ·d 1 d 2 · Sin β

S =1 / 2· (а+в) · h

а

d1

m

β

h

d2

в

Запомним

h

h

h

h

a

a

a

a

S = a x h

b

S =

a + b

x h

h

2

a

Формулы площадей четырёхугольников

Произвольный четырёхугольник: d 1 и d 2 – диагонали ; β – угол между диагоналями

S =1 / 2 ·d 1 d 2 · Sin β

β

d 2

d 1

Используемые ресурсы

• Л.С. Атанасян. Учебник геометрии 7-9.М.: «Просвещение», 2009 г.
• Т.С. Степанова. Математика. Весь школьный курс в таблицах., Минск, «Букмастер»,2012

https://www.google.com/search?hl=ru&site=imghp&tbm=isch&source=hp&biw=1382&bih=732&q=%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0&oq=%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0&gs_l=img.1.0.0l10.11499.13684.0.20805.10.7.0.3.3.0.113.481.6j1.7.0...0.0...1ac.1.7.img.ZRxa7gaF-MI#imgrc=hBP2SMLPpmMX9M%3A%3BLrDnnfsdseyC3M%3Bhttp%253A%252F%252Fimg16.slando.ua%252Fimages_slandocomua%252F74852745_1_644x461_podgotovka-k-zno-matematika-harkov.jpg%3Bhttp%253A%252F%252Fkharkov.kha.slando.ua%252Fobyavlenie%252Fpodgotovka-k-zno-matematika-ID5e1v1.html%3B527%3B461