Урок одной задачи.
Методы
решения квадратного
уравнения.
Цель урока:
- Обобщить и систематизировать изученный материал по теме: «Квадратные уравнения».
- Рассмотреть несколько способов решения одной задачи и научиться выбирать из них наиболее оригинальный , оптимальный.
- Познакомиться с новыми приёмам устного решения квадратных уравнений.
Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну задачу тремя различными способами, чем решать три-четыре различные задачи.
Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт.
У.У. Сойер
Квадратным уравнением называется уравнение вида
ax 2 + bx + c = 0, а ≠ 0
где х ─неизвестное, a,b,c ─заданные числа, а называют старшим коэффициентом, b─вторым коэффициентом, c ─ свободным членом.
Полные квадратные уравнения
Неполные квадратные уравнения
(если хотя бы один из коэффициентов
b = 0 или c = 0)
ax 2 =0,a ≠0,
b=0,c=0.
ax 2 + bx + c = 0
ax 2 +bx=0,
приведенные
(если а = 1 )
а ≠ 0
a ≠0,c=0.
х 2 + px +q = 0
неприведенные
ax 2 + c = 0,
a ≠0, b=0.
1) 2х² – х + 3 = 0 2) х² - 9х = 0
3) 4х + х² - 1 = 0 4) 2х – 5 = 0
5) 0,3 - 0,2х - х² = 0 6) 5х² = 0
7) -7х + х - 0,5 = 0 8) 49х² = 0
- Какое из этих уравнений не является квадратным?
- Назовите неполные квадратные уравнения.
- Назовите приведенные квадратные уравнения.
- Какие уравнения можно решить по формуле корней квадратного уравнения?
- Какие уравнения можно решить разложением на множители, выделением квадрата двучлена, извлечением квадратного корня?
Найдите в каждой группе уравнений «лишнее»:
А: 1. 3х 2 −х = 0, Б: 1. х 2 −7х +1=0,
2. х 2 −25 = 0, 2. 7х 2 − 4х +8 = 0,
3. 4х 2 + х −3 = 0, 3. х 2 + 4х −4 = 0,
4. 4х 2 = 0. 4. х 2 −5х −3 = 0.
Не решая уравнение
х 2 −8х + 7 = 0.
Найдите:
а) сумму корней:
б) произведение корней:
в) корни данного уравнения:
0 , то х 1 = х 2 = D , то квадратное уравнение решений не имеет D=0 , то х 1,2 = - С 1591 г. мы пользуемся формулами при решении квадратных уравнений " width="640"
ах 2 +вх+с=0, а ≠0.
Первый
D=в 2 -4ас
способ( по общей формуле):
D0 ,
то х 1 =
х 2 =
D ,
то квадратное уравнение решений не имеет
D=0 , то
х 1,2 = -
С 1591 г. мы пользуемся формулами при решении квадратных уравнений
Задание 1: Решите квадратные уравнения :
х 1 = ½, х 2 =2.
решений нет.
х 1 =1,5, х 2 =1,5.
1. 2х 2 -5х+2=0,
3. 2х 2 -3х+2=0,
4. 4х 2 -12х+9=0 .
Второй способ( по т., обратной теореме Виета):
Уравнение, вида х 2 +pх+q=0 , называется приведённым. Его корни можно найти по теореме, обратной теореме Виета:
х 1 +х 2 =-p,
х 1 ∙х 2 =q.
Например,
уравнение х 2 -3х+2=0
имеет корни х 1 =2, х 2 =1
так как х 1 +х 2 =3, х 1 ∙х 2 =2.
Задание 2. Решите приведённые квадратные уравнения по теореме, обратной теореме Виета.
х 1 =-9,х 2 =-1.
х 1 =-4,х 2 =-3.
х 1 =12,х 2 =-2.
- х 2 +7х+12=0,
- х 2 -10х-24=0.
Третий способ( формула корней приведенного квадратного уравнения):
Корни уравнения вида х 2 +pх+q=0 можно найти по формуле:
Задание 3: Решите квадратные уравнения по данной формуле:
- х 2 -10х-24=0,
- х 2 -16х+60=0
Четвёртый способ( способ « переброски»):
Решить квадратное уравнение можно способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант - точный квадрат.
Например: Решим уравнение 2х 2 -11х+15=0.
«Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение: у 2 -11у+30=0.
По теореме, обратной теореме Виета у 1 = 5,у 2 = 6. тогда х 1 =у 1 /2, х 2 =у 2 /2; т.е. х 1 =2,5 , х 2 =3.
Решаем, используя метод «переброски»
Получим уравнение
Корни 9 и (-2) .
Делим числа 9 и ( -2) на 6:
Ответ :
Задание 3: Решите уравнения, используя метод «переброски»:
1. 2х 2 -9х+9=0,
2. 10х 2 -11х+3=0,
3. 3х 2 +11х+6=0
х 1 =1,5 , х 2 =3.
х 1 =0,5 ,х 2 =0,6.
х 1 =-3,х 2 =- .
Пятый способ: « Способ коэффициентов»
Пусть дано квадратное уравнение ах 2 +вх+с=0, где а≠0.
1.Если а+в+с=0(т.е.сумма коэффициентов
уравнения равна нулю), то х 1 =1,х 2 =с/а.
Например: 345х 2 -137х-208=0 (345-137-208=0), значит,
х 1 = 1,х 2 = - 208/345.
2.Если а-в+с=0 (или в=а+с), то х 1 =-1,х 2 = - с/а.
Например, 313х 2 +326х+13=0 (326=313+13), значит
х 1 =-1,х 2 =-13/313.
Задание 4: Решите квадратные уравнения методом «коэффициентов»:
х 1 =1,х 2 = .
х 1 =1,х 2 =- .
х 1 =1,х 2 =- .
х 1 =-1,х 2 =- .
х 1 =-1,х 2 =- .
1. 5х 2 -7х+2=0;
2. 3х 2 +5х-8=0;
3. 11х 2 +25х-36=0;
4. 11х 2 +27х+16=0;
5. 939х 2 +978х+39=0 .
Урок одной задачи.
4х 2 -12х+8=0
Решить данное уравнение:
- По общей формуле;
- По теореме, обратной теореме Виета;
- По формуле для нахождения корней приведенного квадратного уравнения;
- Способом « переброса»;
- Способом коэффициентов.
Выводы:
- данные приёмы решения заслуживают внимания, поскольку они не отражены в школьных учебниках
математики;
- овладение данными приёмами поможет вам экономить время и эффективно решать уравнения;
- потребность в быстром решении обусловлена применением тестовой системы выпускных экзаменов.