Не пропустите майские цены на инструменты учителя! Скидки до 50% на все комплекты видеоуроков и электронных тетрадей.

СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Выбрать материалы

Скидки до 50 % на комплекты
только до

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Была в сети 18.12.2023 17:57

Тадевосян Полина Сергеевна

учитель математики

26 лет

335

109 949

Подписчики

Подписки

Местоположение

Россия, Данилов

Обо мне Блог Файлы Тесты Галерея Активность Награды

Методика решения задачи по геометрии по теме: "Метод площадей. Окружность."

Категория: Геометрия

08.11.2021 21:23

Учебник: Геометрия. 7-9 классы. Учебник. Атанасян Л.С. и др. (2014, 384с.)

Просмотр содержимого документа
«Методика решения задачи по геометрии по теме: "Метод площадей. Окружность."»

Задача. В четырехугольнике ABCD , вписанном в окружность, биссектрисы углов A и B пересекаются в точке E , лежащей на стороне CD . Известно, что CD : BC = 3 : 2. A. Доказать, что расстояния от точки E до прямых AD и BC равны.

B. Найти отношение площадей треугольников ADE и BCE .

I этап. Анализ условия задачи и построение чертежа.

Деятельность учителя	Деятельность ученика
1. Какая геометрическая фигура рассматривается в задаче?	1. Четырехугольник, вписанный в окружность
2. Что еще дано в условии задачи?	2. Биссектрисы углов A и B пересекаются в точке E , лежащей на стороне CD .
3. Выполним чертеж	3.
4. Что еще известно из условия задачи?	4. CD : BC = 3 : 2
5. Что требуется найти в задаче?	5. Доказать, что расстояния от точки E до прямых AD и BC равны. Найти отношение площадей треугольников ADE и BCE .

Схематическая запись условия задачи

Дано:

четырехугольник ABCD , вписанный в окружность, AE − биссектриса ∠DAB , BE −биссектриса ∠CBA, E ∈ DC , CD : BC = 3 : 2.

Найти:

доказать, что ρ (E, AD) = ρ (E, BC)
SSBADCEE

II этап. Поиск способа решения задачи

Деятельность учителя	Деятельность ученика
1. Что требуется найти в задаче?	1. Доказать, что расстояния от точки E до прямых AD и BC равны. Найти отношение площадей треугольников ADE и BCE .
2. Докажем сначала, что расстояния от точки E до прямых AD и BC равны.	2.
Как найти расстояние от точки до прямой?	Расстояние от точки до прямой есть перпендикуляр, опущенный из данной точки на прямую.
3. Что мы знаем про точку E ?	3. Точка E является точкой пересечения биссектрис AE и BE
4. Что можно сказать про точки, лежащие на биссектрисе?	4. Точки, лежащие на биссектрисе, равноудалены от сторон угла.
5. Применим данное свойство к нашей задаче. Что получим?	5. ρ (E, AD) = ρ (E, AB) ρ (E, BC) = ρ (E, AB)
6. Что замечаем в этих равенствах? И какой вывод можем сделать?	6. ρ (E, AD) = ρ (E, AB) = ρ (E, BC) ⇒ ρ (E, AD) = ρ (E, BC)
7. Во втором пункте нам необходимо найти отношение площадей треугольников ADE и BCE .	7.
Что мы знаем про эти треугольники?	В этих треугольниках есть равные высоты (из пункта 1)
8. Тогда что мы можем сказать об отношении площадей площадей этих треугольников?	8. Отношение площадей этих треугольников будет равно отношению сторон, на которые опущены равные высоты, то есть отношению сторон AD и BC
9. Как мы можем найти эти стороны?	9. AD мы можем найти как сумму AM и MD . BC − сумма BK и KC .
10. Как мы можем найти эти стороны?	10. Из прямоугольных треугольников, применив определение синуса, косинуса, тангенса или котангенса угла.
11. По условию задачи также известно, что CD : BC = 3 : 2. Как мы можем это применить?	11. Выразим CD из прямоугольных треугольников, применив определение синуса, косинуса, тангенса или котангенса угла и подставим CD в искомое отношение.
12. Наметим план решения	12. Докажем, что расстояния от точки E до прямых AD и BC равны. Вычислим AD Вычислим AM Вычислим DM Вычислим BC Вычислим BK Вычислим KC Вычислим CD Вычислим DE Вычислим EC Выразим отношение AD и BC Выразим отношение CD и BC и подставим его в отношение AD и BC .

III этап. Оформление решения задачи

А)

Д оп. построение: EM⊥AD, EK⊥BC
ρ (E, AD) = EM ρ (E, BC) = EK
Доп. построение: EN⊥AB
ρ (E, AD) = ρ (E, AB) (по свойству биссектрисы) ρ (E, BC) = ρ (E, AB) (по свойству биссектрисы)
Из п.4 ⇒ ρ (E, AD) = ρ (E, BC)

Б)

1) Из п.А ⇒ ρ (E, AD) = ρ (E, BC) ⇒ EM = EK

2) SSBADCEE =

1212MEKE··BACD = BADC (EM = EK )

Пусть EM = EK = x, ∠DAE = α, ∠CBE = β
∠DAB = 2α, так как AE − биссектриса ∠DAB

∠CBA = 2β, так как BE −биссектриса ∠CBA

Так как ABCD вписан в окружность, ∠DAB + ∠BCD = 180^o и

∠ABC + ∠CDA = 180^o

⇒ ∠BCD = 180^o− ∠DAB = 180^o− 2α и

∠CDA = 180^o− ∠ABC = 180^o− 2β

треугольник AME : EM⊥AD ⇒ ctgα = _M^AM_E⇒ AM = x · ctgα 7) треугольник BEK : EK⊥BC ⇒ ctgβ = _E^B_K^K⇒ BK = x · ctgβ 8) треугольник DME :

EM⊥AD ;

∠MED = 180^o− ∠EMD − ∠MDE = 180^o− 90^o− 2β = 90^o− 2β

(по теореме о сумме углов в треугольнике);

tg ∠MED = ^M_DE^D, tg (90^o− 2β) = ^M_DE^D⇒ − ctg 2β = ^M_DE^D⇒ MD =− x · ctg 2β ; cos ∠MED = MDEE , cos (90o − 2β) = MDEE ⇒ sin 2β = MDEE ⇒ DE = sinx 2β 9) треугольник CKE :

EK⊥BC ;

∠CEK = 180^o− ∠EKC − ∠KCE = 180^o− 90^o− 2α = 90^o− 2α (по теореме о сумме углов в треугольнике); tg ∠CEK = ^K_K^C_E, tg (90^o− 2α) = ^K_K^C_E⇒ − ctg 2α = ^K_K^C_E⇒ KC =− x · ctg 2α; cos ∠CEK = MCEE , cos (90o − 2α) = MCEE ⇒ sin 2α = MCEE ⇒ CE = sinx 2α .

из пунктов 6) - 9)⇒

AD = AM + MD

;

BC = BK + KC

;

DC = DE + EC

из пунктов 2), 10)⇒

(по условию задачи)

Пусть sin2α = t, sin2β = y, sin(2α − 2β) = z
из пунктов 12), 13)⇒ ^D_BC^C= ^t_t⁺₊^y_z= ³₂⇒ z = ¹₃(2y − t)
из пунктов 11), 13), 14)⇒ BADC = yt+−zz = yt+3(2y−t) = 33yt+−22yy−+tt = 2tt++y2y = 12
из пунктов 2), 15)⇒ _SS_BAD_CE_E= _BAD_C= 1₂