Методика обучения решению нестандартных задач по математике

Методика обучения решению нестандартных задач по математике в 9 классе

Алгебра

Классификация

I.Делимость многочленов

1.Нахождение целых и рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами.

2.Разложение многочленов на множители

II.Тождественные преобразования выражений

3.Вычисление значений выражений

4.Доказательство тождеств

5.Метод конечных разностей

III.Алгебраические уравнения

6.Решение уравнений разложением на множители

7.Решение уравнений методом замены переменной

IV.Системы алгебраических уравнений

8.Разложение какой-либо из частей (или обеих частей) уравнений системы на множители

9.Решение систем с помощью симметричных многочленов

Геометрия

Равенство треугольников

• Задача 1. В пятиугольной звезде, изображённой на рисунке, ∠ACE = ∠ADB и ∠DBE = ∠BEC. Известно также, что BD = CE. Докажите, что ∠ACD = ∠ADC.

• Задача 2. Выпуклый четырёхугольник ABCD таков, что ∠BAC = = ∠BDA и ∠BAD = ∠ADC = 60◦ . Найдите длину AD, если известно, что AB = 14, CD = 6.

• Задача 3. Точка O лежит на диагонали AC выпуклого четырехугольника ABCD. Известно, что OC = OD и что точка O одинаково удалена от прямых DA, AB и BC. Найти углы четырехугольника, если ∠AOB = 110◦ и ∠COD = 90◦.

Сумма углов треугольника

• Задача 1. На стандартном тетрадном листе в клетку нарисован угол (см. рисунок). Найдите его величину, не используя измерительные инструменты. Ответ обоснуйте.

• Задача 2 . ABCD — выпуклый четырёхугольник. Известно, что ∠CAD = ∠DBA = 40◦ , ∠CAB = = 60◦ , ∠CBD = 20◦ . Найдите угол CDB.

• Задача 3 . B равнобедренном треугольнике  ABС  на боковой стороне  BС  отмечена точка  M  так, что отрезок  MС  равен высоте треугольника, проведённой к стороне АВ, на боковой стороне  AB  отмечена точка  K  так, что угол  KMС  – прямой. Hайдите угол  ACK

Медианы, высоты, биссектрисы

• Задача 1. В прямоугольнике ABCD сторона AB равна 6, сторона BC равна 11. Из вершин B и C проведены биссектрисы углов, пересекающие сторону AD в точках X и Y соответственно. Найдите длину отрезка XY .

• Задача 2. В треугольнике  ABC  угол  C  – прямой. На катете  CB  как на диаметре во внешнюю сторону построена полуокружность, точка  N  – середина этой полуокружности. Докажите, что прямая  AN  делит пополам биссектрису угла  C

Параллелограмм

• Задача 1. Дан параллелограмм  ABCD . На стороне  AB  взята точка  M  так, что   AD = DM .  На стороне  AD  взята точка  N  так, что   AB = BN . Докажите, что   CM = CN .

• Задача 2. Окружность касается сторон  AB, BC, CD  параллелограмма  ABCD  в точках  K, L, M  соответственно. Докажите, что прямая  KL  делит пополам высоту параллелограмма, опущенную из вершины  C  на  AB .

b ).  Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции. " width="640"

Трапеция

• Задача1. Основания трапеции равны  a  и  b   ( a b ).  Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции.

• Задача 2. Перпендикуляр к боковой стороне  AB  трапеции  ABCD , проходящий через её середину  K , пересекает сторону  CD  в точке  L . Известно, что площадь четырёхугольника  AKLD  в пять раз больше площади четырёхугольника  BKLC ,  CL  = 3,  DL  = 15,  KC  = 4. Найдите длину отрезка  KD .

Конкуррентность

• Задача 1. Биссектриса угла B и биссектриса внешнего угла D прямоугольника ABCD пересекают сторону AD и прямую AB в точках M и K соответственно. Докажите, что отрезок MK равен и перпендикулярен диагонали прямоугольника.

Вписанные и описанные окружности

• Задача 1 . Равнобедренная трапеция описана около окружности. Докажите, что биссектриса тупого угла этой трапеции делит её площадь пополам.

• Задача 2. На наибольшей стороне AB треугольника ABC взяли такие точки P и Q, что AQ = AC, BP = BC. Докажите, что центр описанной окружности треугольника PQC совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.

Ортоцентр

• Задача 1. Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке

• Задача 2. Докажите, что расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот вдвое больше, чем расстояние от центра описанной окружности до противоположной стороны.

AB + BC " width="640"

Неравенство треугольников

• Задача 1 . На основании  AC  равнобедренного треугольника  ABC  выбрали точку  D , а на продолжении  AC  за вершину  C  – точку  E , причём   AD = CE . Докажите, что   BD + BE AB + BC

• Задача 2 . В треугольнике одна сторона в три раза меньше суммы двух других. Докажите, что против этой стороны лежит наименьший угол треугольника.

Решение: Пусть  3 a = b + c . 

Так как   c ,  то  3 a  + ( a + b ),  то есть   a . 

Аналогично доказывается, что   a . 

Таким образом,  a  – наименьшая сторона треугольника, и, значит, против неё лежит наименьший угол.

• Задача 3. Отрезки AB и CD длины 1 пересекаются в точке O , причем AOC=60o . Докажите, что AC+BD 1

Сложная арифметика

Десятичная запись и признак делимости

Делимость и остатки. Остатки квадратов и кубов

Периодические дроби

Алгоритм Евклида.

Вычисления НОД

Рекомендации к построению факультативов

• Максимальная самостоятельность
• Принцип активности знаний
• Принцип опережающего уровня сложности
• Анализ результатов прошедших олимпиад
• Индивидуальный подход
• Психологический принцип
• Напутственное слово педагога