Методическое пособие по теме "ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ"

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ

Учебно-методическое пособие для учащихся 10-11 классов, учителей и репетиторов по математике

2021

Рецензент

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики и информационных технологий ФГБОУ ВО «Тихоокеанский государственный университет» И. А. Ледовских

Тригонометрические уравнения и неравенства : учебно-методическое пособие для учащихся 10-11 классов, учителей и репетиторов по математике / Пустовалова А.С. - 137 с.

Учебно-методическое пособие разработано для факультативного курса «Решение тригонометрических уравнений и неравенств в ЕГЭ по математике профильного уровня». В пособии представлен необходимый теоретический материал, примеры с решениями и задачи для самостоятельной работы с ответами. В приложении разработанный тематический план факультативного курса.

……………………………………………………

Учебное издание

Пустовалова Анна Сергеевна

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ

© Пустовалова А.С., 2021

Содержание

Введение 5

ГЛАВА 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ 6

1.1 Преобразования числовых тригонометрических выражений 7

Задачи для самостоятельной работы 8

1.2 Преобразования буквенных тригонометрических выражений 9

Задачи для самостоятельной работы 11

1.3 Вычисление значений тригонометрических выражений 12

Задачи для самостоятельной работы 14

ГЛАВА 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 15

2.1 Простейшие тригонометрические уравнения 16

Задачи для самостоятельной работы 20

2.2 Сведение тригонометрического уравнения к квадратному 21

Задачи для самостоятельной работы 25

2.3 Разложение на множители 26

Задачи для самостоятельной работы 31

2.4 Понижение степени 32

Задачи для самостоятельной работы 35

2.5 Введение дополнительного угла 36

Задачи для самостоятельной работы 41

ГЛАВА 3. ОТБОР КОРНЕЙ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ 42

3.1 Отбор корней с помощью неравенства 42

Задачи для самостоятельной работы 49

3.2 Отбор корней с помощью единичной окружности 50

Задачи для самостоятельной работы 60

3.3 Отбор корней с помощью графиков функций 62

Задачи для самостоятельной работы 66

ГЛАВА 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА 67

4.1 Простейшие тригонометрические неравенства 67

Задачи для самостоятельной работы 72

4.2 Тригонометрические неравенства и методы их решения 73

Задачи для самостоятельной работы 93

4.3 Смешанные неравенства, содержащие тригонометрические функции 94

ГЛАВА 5. ТРИГОНОМЕТРИЯ В ЗАДАЧАХ С ПРИКЛАДНЫМ СОДЕРЖАНИЕМ 98

5.1 Тригонометрические уравнения в задачах с прикладным содержанием 98

5.2 Тригонометрические неравенства в задачах с прикладным содержанием 102

Задачи для самостоятельной работы 105

ГЛАВА 6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ИЗ ЕГЭ 107

6.1 Практикум по заданию 9 107

6.2 Практикум по заданию 13 108

6.3 Практикум по заданию 15 111

6.4 Практикум по заданию 10 112

Ответы к задачам для самостоятельной работы 114

Ответы к практикумам по заданиям из ЕГЭ 118

Приложение 1 121

Приложение 2 126

Приложение 3 128

Список литературы 129

Введение

В школьном курсе «Математики» выделена содержательно-методическая линия «Уравнения и неравенства», в ходе изучения которой учащиеся знакомятся с различными видами уравнений и неравенств, методами их решений. Тригонометрические уравнения и неравенства изучаются в 10 классе после изучения тригонометрических функций. Данный тип уравнений и неравенств внесен в единый государственный экзамен по математике.

Разработанный курс предназначен для учащихся 11 классов. Направлен на расширение знаний учащихся по теме «Тригонометрические уравнения и неравенства», повышение уровня математической подготовки через решение большого класса задач различными методами.

Материалом данного курса могут пользоваться учителя как на уроках математики в 11 классах в качестве дополнительного материала, так и на факультативных занятиях, так и ученики для подготовки к единому государственному экзамену по математике профильного уровня.

ГЛАВА 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

Цель данной главы — проработать выполнение заданий на тождественные преобразования тригонометрических выражений, поскольку они встречаются в ЕГЭ как в качестве отдельных заданий, так и используются для решения тригонометрический уравнений и неравенств, а так же комбинированных заданий. Для решения задач на упрощение тригонометрических выражений требуется достаточно хорошо знать правила преобразования алгебраических выражений и тригонометрические формулы (уметь применять их как по одной, так и в комплексе).

Тождественные преобразования тригонометрических выражений опираются на следующие основные формулы (приложение 1):

• основные тригонометрические тождества;

• формулы приведения;

• формулы суммы и разности аргументов;

• формулы двойного аргумента;

• формулы тройного аргумента;

• формулы половинного аргуме;нта

• формулы преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение;

• формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму (разность).

При использовании тригонометрических формул следует иметь в виду, что каждая из них представляет собой тождество, то есть равенство, выполняющееся при всех действительных значениях, входящих в него переменных. Однако, важно отметить, что речь идет только о тех значениях переменных, которые входят в область определения обеих частей неравенства.

Характерная особенность преобразования тригонометрических выражений состоит в том, что один и тот же результат можно получить разными способами.

1.1 Преобразования числовых тригонометрических выражений

Преобразование числовых тригонометрических выражений опирается на знание тригонометрических формул (приложение 1), умение правильно их использовать. Рассмотрим примеры задач.

Задача 1. Найдите значение выражения .

Решение. Используем формулу синуса двойного угла .

(разложим числитель так, чтобы применить формулу синуса двойного угла)

(выражение в скобках заменим на синус двойного угла)

(сократим дробь на и в ответе получим число 6.)

Ответ: 6.

Задача 2. Найдите значение выражения .

Решение. По таблице значений тригонометрических функций определим значения и .

Подставим в выражение и посчитаем.

Ответ: 36.

Задача 3. Найдите значение выражения .

Решение. Используем формулы приведения. Представим как . Так как угол лежит на горизонтальной оси тригонометрического круга, то функцию мы не меняем на кофункцию. Берем отрицательный знак.

(так как , то)

(сократим дробь на )

.

Ответ: -14.

Задачи для самостоятельной работы

Найдите значение выражения:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

1.2 Преобразования буквенных тригонометрических выражений

Преобразование буквенных выражений также опирается на знание тригонометрических формул и умение правильно их использовать (приложение 1). Рассмотрим примеры задач.

Задача 4. Найдите значение выражения

Решение. Будем использовать формулы приведения. В силу соотношений (в силу нечетности функции синус) (так как угол лежит на горизонтальной оси тригонометрического круга, то функцию мы не меняем на кофункцию);

(в силу нечетности функции синус) (так как угол лежит на горизонтальной оси тригонометрического круга, то функцию мы не меняем на кофункцию);

(в силу четности функции косинус) (так как угол лежит на вертикальной оси тригонометрического круга, то функцию мы меняем на кофункцию, знак положительный).

Имеем:

Ответ: 0,6.

Задача 5. Найдите значение выражения

Решение. В силу нечетности синуса

Далее, аналогично прошлому примеру будем использовать формулы приведения.

Имеем:

Ответ: 2.

Задача 6. Найдите значение выражения

Решение.

В силу периодичности косинуса .

В силу четности косинуса и нечетности синуса:

;

.

Далее используем формулы приведения, аналогично прошлому примеру:

Ответ: 1.

Задачи для самостоятельной работы

Найдите значение выражения:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

1.3 Вычисление значений тригонометрических выражений

Вычисление значений тригонометрических выражений также требует знаний тригонометрических формул и умения правильно их использовать (приложение 1). Рассмотрим примеры задач.

Задача 7. Найдите , если и

Решение. Нам известен косинус угла, нужно найти тангенс этого же угла. Формула связывающая косинус и тангенс угла: . Так как угол лежит в 4 четверти, тангенс в этой четверти отрицателем. Выразим из формулы подставим известное значение косинуса и упростим выражение.

Ответ: -3.

Задача 8. Найдите , если и

Решение. Для решения используем основное тригонометрическое тождество .

Выразим из формулы , подставим известное значение синуса и упростим выражение. Поскольку угол лежит в четвертой четверти, его косинус положителен.

Ответ: 1.

Задача 9. Найдите , если и

Решение. Сначала выполним преобразование:

(в силу того, что угол лежит на горизонтальной оси, угол лежит на вертикальной оси).

Задача сводится к нахождению .

С помощью основного тригонометрического тождества найдем косинус угла, зная синус того же угла. Так как угол лежит в 3 четверти, то косинус в этой четверти отрицателен.

Ответ:

Задачи для самостоятельной работы

1. Найдите , если и

2. Найдите , если и

3. Найдите значение выражения , если

4. Найдите , если и .

5. Найдите , если .

ГЛАВА 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Определение. Уравнение называется тригонометрическим, если в нём содержится любая тригонометрическая функция.

Например, уравнения и тригонометрические, а – нет.

В силу того, что тригонометрическая функция периодична, тригонометрические уравнения имеют множество решений или не имеют их вообще.

Определение. Под решением тригонометрического уравнения понимается такой набор чисел x, который при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Существуют 2 основных способа решения тригонометрических уравнений:

• графический способ, который заключается в том, что строятся графики левой и правой части уравнения и ищутся точки их пересечения;

• аналитический способ, суть которого заключается в применении специальных формул.

Ограничения тригонометрических уравнений.

Очевидно, что тригонометрические функции и в силу неограниченности по области значений и монотонности всегда имеют одно решение для любого .

А для тригонометрических функций и справедливы следующие утверждения.

Утверждение 1. Если , то не существует решений тригонометрических уравнений или .

Действительно, так как область значения тригонометрических функций и является отрезком [−1;1], то любая прямая, лежащая выше прямой и ниже прямой , не будет пересекать график тригонометрических функций.

Утверждение 2. Если |a|=1, то тригонометрические уравнения или имеют ровно одно решение на полуинтервале [0;2π) (далее, периоде).

Действительно, прямая и прямая пересекают графики тригонометрических функций ровно в одной точке.

Утверждение 3. Если , то тригонометрические уравнения sin⁡ или имеют ровно два решения на периоде.

В данной главе будут рассмотрены все вышеперечисленные методы, их суть и примеры с решениями.

2.1 Простейшие тригонометрические уравнения

Определение. Под простейшими тригонометрическими уравнениями мы будем понимать тригонометрические уравнения, в левую часть которых входит только либо синус, либо косинус, а в правую – одно из чисел: −1; 0; 1.

Важнейший этап при решении любого уравнения – это сведение его к одному или нескольким простейшим уравнениям. Простейшие тригонометрические уравнения – это уравнения вида:

,

где – действительное число. Каждое из этих уравнений легко решается с помощью тригонометрической окружности, на которой изображаются соответствующие точки, после чего с учетом периодичности тригонометрических функций записывается ответ.

С определенной степенью условности любое тригонометрическое уравнение, не обязательно простое, можно отнести к одному из двух основных типов: уравнения, сводимые к простейшим с помощью тех или иных тригонометрических преобразований (понижение степени, преобразование суммы тригонометрических функций в произведение, введение вспомогательного угла и др.), и уравнение, которые вначале сводятся к алгебраических с помощью той или иной замены переменной, а затем с помощью обратной замены приводимые к одному или нескольким простейшим.

Для решения простейших тригонометрических уравнений необходимо знать тригонометрические формулы (приложение 1) и формулы корней простых тригонометрических уравнений (приложение 2).

Решение простейших тригонометрических уравнений

Задача 10. Найдите корни уравнения: . В ответ запишите наибольший отрицательный корень.

Решение.

Вспомнив формулу решения простейших тригонометрических уравнений

сначала решим уравнение, приняв за :

Далее выражаем домножив уравнение на 3, поделив на и перенеся 7 в правую часть уравнения:

Значениям соответствуют положительные корни.

Если , то и ,

Если , то и .

Значениям соответствуют меньшие значения корней.

Следовательно, наибольшим отрицательным корнем является число -4.

Ответ: -4.

Задача 11. Решите уравнение . В ответ запишите наибольший отрицательный корень.

Решение.

Вспомнив формулу решения простейших тригонометрических уравнений

сначала решим уравнение, приняв за :

,

Далее выражаем : .

Значению   соответствует  . 

Положительным значениям параметра соответствуют положительные значения корней, отрицательным значениям параметра соответствуют меньшие значения корней. Следовательно, наибольшим отрицательным корнем является число −1.

Ответ: -1.

Задача 12. Решите уравнение . В ответ запишите наименьший положительный корень.

Решение.

Вспомнив формулу решения простейших тригонометрических уравнений

сначала решим уравнение, приняв за :

Далее выражаем :

Значениям соответствуют отрицательные корни.

Если , то ,

Если , то .

Значениям соответствуют большие положительные корни.

Следовательно, наименьший положительный корень .

Ответ:

Задачи для самостоятельной работы

1. Найдите корень уравнения:  . В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

2. Решите уравнение  . В ответе напишите наименьший положительный корень.

3. Решите уравнение . В ответе напишите наибольший отрицательный корень.

4. Решите уравнение  . В ответе напишите наибольший отрицательный корень.

5. Найдите корень уравнения:  . В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

2.2 Сведение тригонометрического уравнения к квадратному

Уравнение вида , где – тригонометрическая функция, называют уравнением, сводящимся к квадратному ( и решают методом замены переменной.

Суть метода решения тригонометрических уравнений такого вида заключается в том, чтобы все тригонометрические функции, которые входят в уравнение, выразить через какую-нибудь одну тригонометрическую функцию, зависящую от одного и того же аргумента.

Выраженную функцию принимаем за новую неизвестную и получаем алгебраическое уравнение. Далее находим корни и возвращаемся к прежней неизвестной, с которой решаем простейшие тригонометрические уравнения.

Для решения уравнений такого типа нужно помнить тригонометрические формулы (приложение 1), формулы корней простых тригонометрических уравнений (приложение 2) и методы решения квадратных уравнений.

Решение уравнений, сводимых к квадратным

Задача 13. Решить уравнение .

Решение. Преобразуем данное уравнение следующим образом: в левой части используем формулу косинуса двойного угла

(свели уравнение к квадратному относительно синуса).

Перенесем все в одну сторону и вынесем за скобки :

или

; .

Ответ: .

Задача 14. Решить уравнение .

Решение. Преобразуем данное уравнение следующим образом:

Ответ: .

Задача 15. Решить уравнение

.

Решение. Преобразуем данное уравнение следующим образом, используя основное тригонометрическое тождество:

Так как те , при которых , не являются решениями уравнения, разделив обе части равенства на , получим квадратное уравнение относительно тангенса:

и

Ответ:

Задача 16. Решить уравнение

.

Решение. Пусть . Имеем:

и .

Так как , то

Так как , то

Возвращаемся к замене:

Ответ:

Задача 17. Решить уравнение

.

Решение. Преобразуем уравнение следующим образом:

Пусть (так как

Имеем: ,

Ответ:

Задачи для самостоятельной работы

Решить уравнение

1. .

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

2.3 Разложение на множители

Тригонометрические уравнения вида:

,

где

решаются методом группировки и разложения на множители.

Суть этого метода заключается в том, чтобы путем группировки слагаемых уравнение привести к виду, когда левая часть разложена на множители, а правая часть равна нулю. Так уравнение распадается на несколько более простые уравнения.

Наиболее распространенная ошибка при решении уравнений данного типа – деление обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестную (правильное действие- перенос всех членов в одну сторону и вынесение общего множителя за скобки). В результате такой ошибки теряются корни – те значения переменной, при которых указанное выражение обращается в нуль.

Для решения тригонометрических уравнений данным методом нужно знать тригонометрические формулы (приложение 1), формулы корней простых тригонометрических уравнений (приложение 2) и помнить, как группируются слагаемые и раскладываются на множители.

Решение уравнений, методом разложения на множители

Задача 18. Решить уравнение .

Решение. Преобразуем данное уравнение, используя формулы приведения, следующим образом:

Осталось решить два простейших тригонометрических уравнения.

Ответ:

Задача 19. Решить уравнение

Решение. Преобразуем данное уравнение, используя формулы приведения, следующим образом:

Ответ:

Задача 20. Решить уравнение

Решение. Преобразуем данное уравнение, используя формулу суммы и разности косинусов, следующим образом:

Ответ:

Задача 21. Решить уравнение

Решение. Преобразуем данное уравнение следующим образом:

так как первая серия решений предпоследней совокупности целиком содержит вторую.

Ответ:

Задача 22. Решить уравнение

Решение. Преобразуем данное уравнение следующим образом:

Ответ:

Задача 23. Решить уравнение

Решение. Преобразуем данное уравнение следующим образом:

, поскольку уравнение решений не имеет в силу ограниченности функций

Ответ:

Задачи для самостоятельной работы

Решить уравнение:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

2.4 Понижение степени

При решении задач данного типа применяются формулы понижения степени , после чего уравнение, как правило, удается свести к одному из рассмотренных ранее типов.

Так же для решения тригонометрических уравнений, где используют метод понижения степени, могут понадобиться и другие тригонометрические формулы (приложение 1).

Решение уравнений, методом понижения степени

Задача 24. Решить уравнение

Решение.

Преобразуем данное уравнение следующим образом, используя формулы понижения степени:

Ответ:

Задача 25. Решить уравнение

Решение.

Преобразуем данное уравнение следующим образом:

Ответ:

Задача 26. Решить уравнение

Решение. Преобразуем данное уравнение следующим образом:

, так как первая серия решений предпоследней совокупности целиком содержит третью.

Ответ:

Задача 27. Решить уравнение

Решение. Преобразуем данное уравнение следующим образом:

Ответ:

Задачи для самостоятельной работы

Решить уравнение:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

2.5 Введение дополнительного угла

Уравнение вида:

можно решить методом введения вспомогательного угла.

Суть этого метода в том, чтобы некоторую величину представить, как тригонометрическую функцию соответствующего аргумента , после чего произвести тригонометрические преобразования. Итак, в исходном выражении вынесем за скобки . Тогда выражение примет вид:

После такого преобразования коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль каждого из них не больше единицы и сумма их квадратов равна единице. Отсюда следует, что точка с координатами ( принадлежит единичной окружности. А это означает, что существует угол такой, что

Теперь наше уравнение примет вид:

Выражение в скобках есть синус суммы, а именно

Таким образом, в зависимости от значений нам могут понадобиться формулы синуса и косинуса суммы и разности аргументов (приложение 1).

После всех преобразований запишем решение уравнения.

Заметим что введенные взаимозаменяемы.

Решение уравнений, методом введения дополнительного угла

Задача 28. Решить уравнение

Решение. Преобразуем данное уравнение следующим образом, умножив обе части уравнения на :

Ответ:

Задача 29. Решить уравнение

Решение. Преобразуем данное уравнение следующим образом:

Решением уравнения являются .

Решим теперь уравнение .

Имеем:

Ответ:

Задача 30. Решить уравнение

Решение. Преобразуем данное уравнение следующим образом:

Ответ: .

Задача 31. Имеет ли уравнение

хотя бы одну пару корней, расстояние между которыми не превосходит ?

Решение. Преобразуем данное уравнение следующим образом:

Рассмотрим отдельно каждое уравнение. Имеем:

Условию удовлетворяет

.

Имеем далее:

Условию удовлетворяет

.

Наименьшее расстояние между корнями есть

.

Ответ: не имеет.

Задачи для самостоятельной работы

1. Решить уравнение

2. Решить уравнение

3. Решить уравнение

4. Решить уравнение

5. Решить уравнение

6. Решить уравнение

7. Найдите все А, при которых уравнение имеет решение.

ГЛАВА 3. ОТБОР КОРНЕЙ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ

Иногда, при решении тригонометрических уравнений необходимо отобрать корни, принадлежащие данному промежутку или интервалу.

Существует три основных способа отбора корней в тригонометрических уравнениях:

• отбор корней с помощью неравенства;

• отбор корней с помощью единичной окружности;

• отбор корней с помощью графиков функций.

Разберем данные методы подробнее.

3.1 Отбор корней с помощью неравенства

Отбор корней с помощью неравенства наиболее удобен в тех случаях, когда последовательный перебор значений параметров приводит к вычислительным трудностям, промежуток для отбора корней большой, значения обратных тригонометрических функций, входящих в серии решений, не являются табличными, и при решении задач с дополнительными условиями.

Чтобы правильно отбирать корни тригонометрического уравнения с помощью неравенства, нужно уметь составлять и решать двойные неравенства.

Рассмотрим на примерах.

Отбор корней тригонометрических уравнений с помощью неравенства

Задача 32. При решении тригонометрического уравнения были получены корни: Найдите среди них корни, принадлежащие промежутку .

Решение. Берем первую серию корней , составляем двойное неравенство , далее решаем его относительно k.

Выбираем целые числа, входящие в полученный промежуток и подставляем их в рассматриваемую серию корней:

Если , то .

Берем вторую серию корней , составляем двойное неравенство

, далее решаем его относительно k.

Выбираем целые числа, входящие в полученный промежуток и подставляем их в рассматриваемую серию корней:

Если , то .

Так получим корни, принадлежащие данному промежутку.

Ответ: .

Задача 33. При решении тригонометрического уравнения были получены корни: . Найдите среди них корни, принадлежащие промежутку .

Решение. Берем серию корней , составляем двойное неравенство:

, далее решаем его относительно k.

Выбираем целые числа, входящие в полученный промежуток и подставляем их в рассматриваемую серию корней:

Если , то

Если , то

Если , то

Так получим корни, принадлежащие данному промежутку.

Ответ:

Задача 34. При решении тригонометрического уравнения были получены корни: , . Найдите среди них корни, принадлежащие промежутку

Решение. Берем первую серию корней , составляем двойное неравенство:

, далее решаем его относительно k.

Берем вторую серию корней , составляем двойное неравенство:

, далее решаем его относительно k.

Выбираем целые числа, входящие в полученный промежуток и подставляем их в рассматриваемую серию корней:

Если , то ,

Если , то

Если , то

Так получим корни, принадлежащие данному промежутку.

Ответ:

Задача 35. При решении тригонометрического уравнения были получены корни: . Найдите среди них корни, принадлежащие промежутку

Решение. Берем первую серию корней , составляем двойное неравенство:

, далее решаем его относительно k.

Берем вторую серию корней , составляем двойное неравенство:

, далее решаем его относительно k:

Выбираем целые числа, входящие в полученный промежуток и подставляем их в рассматриваемую серию корней:

Если , то .

Так получим корень, принадлежащий данному промежутку.

Ответ: .

Задача 36. При решении тригонометрического уравнения были получены корни: . Найдите среди них корни, принадлежащие промежутку .

Решение. Берем первую серию корней , составляем двойное неравенство

, далее решаем его относительно k:

Берем вторую серию корней , составляем двойное неравенство:

, далее решаем его относительно k:

Выбираем целые числа, входящие в полученный промежуток и подставляем их в рассматриваемую серию корней:

Если , то .

Так получим корень, принадлежащий данному промежутку.

Ответ: .

Задачи для самостоятельной работы

1. При решении тригонометрического уравнения были получены корни: Найдите среди них корни, принадлежащие промежутку .

2. При решении тригонометрического уравнения были получены корни: Найдите среди них корни, принадлежащие промежутку .

3. При решении тригонометрического уравнения были получены корни: . Найдите среди них корни, принадлежащие промежутку .

4. При решении тригонометрического уравнения были получены корни: . Найдите среди них корни, принадлежащие промежутку .

5. При решении тригонометрического уравнения были получены корни: . Найдите среди них корни, принадлежащие промежутку .

3.2 Отбор корней с помощью единичной окружности

Чтобы пользоваться этим способом, надо знать, что такое тригонометрическая окружность и уметь с ней работать.

Единичная окружность – это окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат с осями .

Углы отсчитываем от положительного направления оси против часовой стрелки. Полный круг .

Точка с координатами   соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами   отвечает углу в  , точка с координатами   — углу в  . Каждому углу от нуля до    соответствует точка на единичной окружности.

Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси  ) точки на единичной окружности, соответствующей данному углу  .

Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси  ) точки на единичной окружности, соответствующей данному углу  .

Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса  , синус — ордината  . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от   до  :

Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Находим на единичной окружности точку, соответствующую данному углу  , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по   (это косинус угла  ) и по   (это синус угла  ).

Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: 360 градусов, то есть полный круг, соответствует   радиан. Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным.

Также, для отбора корней тригонометрического уравнения могут понадобиться формулы и правила тригонометрии (приложение 1).

Итак, все необходимые правила можно наблюдать на рисунке 1:

1. 1. Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит   градусов, или   радиан.

2. Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси  , а значение синуса — на оси  .

3. И синус, и косинус принимают значения от   до  .

4. Значение тангенса угла   тоже легко найти — поделив   на  . А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.

5. Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

6. Синус — функция нечётная, косинус — чётная.

7. Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен  .

рис. 1 Тригонометрическая окружность

Отбор корней тригонометрических уравнений с помощью единичной окружности

Задача 37. При решении тригонометрического уравнения были получены корни: . Найдите среди них корни, принадлежащие промежутку с помощью единичной окружности.

Решение. Отметим на числовой окружности корни уравнения, применив соответствующие правила:

рис 2. Корни уравнения на единичной окружности

Далее найдём корни из отрезка .

Отметим на окружности отрезок и найдем корни:

рис 3. Корни уравнения, принадлежащие промежутку

Получим числа: 

Ответ:

Задача 38. При решении тригонометрического уравнения были получены корни: . Найдите среди них корни, принадлежащие промежутку с помощью единичной окружности.

Решение. Отметим на числовой окружности корни уравнения:

рис 4. Корни уравнения на единичной окружности

Далее найдём корни из отрезка .

Отметим на окружности отрезок и найдем корни:

рис 5. Корни уравнения, принадлежащие промежутку

Ответ: .

Задача 39. При решении тригонометрического уравнения были получены корни: . Найдите среди них корни, принадлежащие промежутку с помощью единичной окружности.

Решение. Отметим на числовой окружности корни уравнения:

рис 6. Корни уравнения на единичной окружности

Далее найдём корни из отрезка .

Отметим на окружности отрезок и найдем корни:

.

рис 7. Корни уравнения, принадлежащие промежутку

Ответ: .

Задача 40. При решении тригонометрического уравнения были получены корни: . Найдите среди них корни, принадлежащие промежутку с помощью единичной окружности.

Решение. Отметим на числовой окружности корни уравнения:

рис 8. Корни уравнения на единичной окружности

Далее найдём корни из отрезка .

Отметим на окружности отрезок и найдем корни:

.

рис 9. Корни уравнения, принадлежащие промежутку

Ответ: .

Задача 41. При решении тригонометрического уравнения были получены корни: . Найдите среди них корни, принадлежащие промежутку с помощью единичной окружности.

Решение. Отметим на числовой окружности корни уравнения:

рис 10. Корни уравнения на единичной окружности

Далее найдём корни из отрезка .

Отметим на окружности отрезок и найдем корни:

рис 11. Корни уравнения, принадлежащие промежутку

Ответ: , , , .

Задачи для самостоятельной работы

1. При решении тригонометрического уравнения были получены корни: . Найдите среди них корни, принадлежащие промежутку с помощью единичной окружности.

2. При решении тригонометрического уравнения были получены корни: . Найдите среди них корни, принадлежащие промежутку с помощью единичной окружности.

3. При решении тригонометрического уравнения были получены корни: . Найдите среди них корни, принадлежащие промежутку с помощью единичной окружности.

4. При решении тригонометрического уравнения были получены корни: . Найдите среди них корни, принадлежащие промежутку с помощью единичной окружности.

5. При решении тригонометрического уравнения были получены корни: . Найдите среди них корни, принадлежащие промежутку с помощью единичной окружности.

3.3 Отбор корней с помощью графиков функций

Чтобы отбирать корни тригонометрического уравнения с помощью графиков, нужно помнить способы построения различных графиков тригонометрических функций, уметь схематично их строить и знать свойства тригонометрических функций. Алгоритм отбора корней рассмотрим на примерах.

Отбор корней тригонометрических уравнений с помощью графиков функций

Задача 42. В результате упрощения тригонометрического уравнения получили: . Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку функционально-графическим методом.

Решение. Построим график функции . Отметим промежуток, на котором нам необходимо отобрать корни, и найдем корни уравнения , принадлежащие промежутку.

рис 12. Корни уравнения на графике

По графику видно, что промежутку принадлежат корни: .

Ответ: .

Задача 43. В результате упрощения тригонометрического уравнения получили: . Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку функционально-графическим методом.

Решение. Построим график функции . Отметим данный промежуток и найдем корни уравнения , принадлежащие промежутку.

рис 13. Корни уравнения на графике

По графику видно, что промежутку принадлежат корни: .

Ответ: .

Задача 44. В результате упрощения тригонометрического уравнения получили: . Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку функционально-графическим методом.

Решение. Построим графики функции . Отметим промежуток и найдем корни уравнений , принадлежащие промежутку.

рис 14. Корни уравнения на графике

По графику видно, что промежутку принадлежат корни: .

Ответ:

Задача 45. В результате упрощения тригонометрического уравнения получили: . Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку функционально-графическим методом.

Решение. Построим график функции . Отметим промежуток и найдем корни уравнения , принадлежащие промежутку.

рис 15. Корни уравнения на графике

По графику видно, что промежутку принадлежат корни: .

Ответ: .

Задача 46. В результате упрощения тригонометрического уравнения получили: . Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку функционально-графическим методом.

Решение. Построим график функции . Отметим промежуток и найдем корни уравнения , принадлежащие промежутку.

рис 16. Корни уравнения на графике

По графику видно, что промежутку принадлежат корни: .

Ответ:

Задачи для самостоятельной работы

1. В результате упрощения тригонометрического уравнения получили: . Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку функционально-графическим методом.

2. В результате упрощения тригонометрического уравнения получили: . Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку функционально-графическим методом.

3. В результате упрощения тригонометрического уравнения получили: . Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку функционально-графическим методом.

4. В результате упрощения тригонометрического уравнения получили: . Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку функционально-графическим методом.

ГЛАВА 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА

Определение. Неравенства, которые содержат переменную под знаком тригонометрической функции, называют тригонометрическими неравенствами.

Например, неравенства тригонометрические, а – нет.

Решение тригонометрических неравенств зачастую сводится к решению простейших тригонометрических неравенств.

4.1 Простейшие тригонометрические неравенства

Простейшими тригонометрическими неравенствами называют неравенства вида:

Существует два метода решений простейших тригонометрических неравенств: графическое решение и с помощью единичной окружности. Рассмотрим примеры.

Решения простейших тригонометрических неравенств

Задача 47. Решите неравенство .

Решение. Сначала найдем значения , удовлетворяющие неравенству на оси синусов.

Затем отметим те точки числовой окружности, которым соответствуют найденные значения синуса.

Получим дугу, начало которой находится в точке , конец – в точке . Для записи ответа передвинемся по окружности от меньшего числа к большему против часовой стрелки, то есть искомые значения удовлетворяют неравенству .

рис 17. Корни неравенства на единичной окружности

В результате получим интервал . Для получения всех значений переменной, удовлетворяющих неравенству , заметим, что, сдвигая найденный интервал на число, кратное , получим другие интервалы, на каждом из которых неравенство справедливо. Множество всех таких интервалов принято записывать в виде , где – произвольное целое число.

Ответ: ,

Задача 48. Решите неравенство .

Решение. Сначала найдем значения , удовлетворяющие неравенству на оси косинусов. Отметим те точки числовой окружности, которые соответствуют найденным значениям косинуса. Получим дугу, начало которой находится в точке , конец – в точке .

рис 18. Корни неравенства на единичной окружности

Для записи ответа передвинемся по окружности от к против часовой стрелки, то есть искомые значения удовлетворяют неравенству . В результате получим интервал . Для получения всех значений переменной, удовлетворяющих неравенству , заметим, что, сдвигая найденный интервал на число, кратное , получим другие интервалы, на каждом из которых неравенство справедливо. Множество всех таких интервалов принято записывать в виде , где – произвольное целое число.

Ответ: ,

Задача 49. Решите неравенство .

Решение. Сначала найдем значения , удовлетворяющие неравенству на оси тангенсов. Отметим те точки числовой окружности, которые соответствуют найденным значениям тангенса. Получим две центрально симметричные дуги, выделенные жирным на рисунке. Им соответствуют следующие значения x: и .

рис 19. Корни неравенства на единичной окружности

Обратим внимание на то, что в точках и значение тангенса не определено, и поэтому эти точки не являются решениями неравенства . Заметим также, что достаточно рассмотреть только одно из неравенств: или , так как период равен . Возьмем . В результате получим промежуток .

Для получения всех значений переменной x, удовлетворяющих неравенству , сдвинем найденный интервал на число, кратное , получим все интервалы, на каждом из которых неравенство справедливо. Множество всех таких интервалов имеет вид: , где – произвольное целое число.

Ответ: ,

Задача 50. Решите неравенство .

Решение. Сначала найдем значения , удовлетворяющие неравенству на оси котангенсов. Отметим те точки числовой окружности, которым соответствуют найденным значениям котангенса. Получим две центрально симметричные дуги, выделенные жирным на рисунке. Им соответствуют следующие значения x: и .

рис 20. Корни неравенства на единичной окружности

Обратим внимание на то, что числам и соответствует одна и та же точка на числовой окружности. Дуги выписывают от меньшего числа к большему, поэтому возьмем число поскольку . Кроме этого значение котангенса не определено в точках и , поэтому эти точки не являются решениями неравенства . Заметим также, что достаточно рассмотреть только одно из неравенств: или , так как период равен . Возьмем . В результате получим интервал .

Для получения всех значений переменной x, удовлетворяющих неравенству , сдвинем найденный интервал на число, кратное , получим все интервалы, на каждом из которых неравенство справедливо. Множество всех таких интервалов имеет вид: , где – произвольное целое число.

Ответ: ,

Задачи для самостоятельной работы

1. Решите неравенство .

2. Решите неравенство .

3. Решите неравенство .

4. Решите неравенство .

5. Решите неравенство

4.2 Тригонометрические неравенства и методы их решения

Более сложные тригонометрические неравенства приводят к простейшим путем равносильных преобразований. При выполнении преобразований используют те же приемы, что и для решения тригонометрических уравнений. А также некоторые сложные неравенства можно решить методом интервалов. Подробно все эти приемы рассмотрим на примерах

Решение более сложных тригонометрических неравенств

Задача 51. Решите неравенство

.

Решение. По формуле синуса двойного угла получим:

, так как множитель , поскольку .

Далее по числовой окружности или по графику тригонометрической функции находим корни, удовлетворяющие неравенству :

Ответ:

Задача 52. Решите неравенство

.

Решение. Произведем несложные преобразования:

Получили простейшее тригонометрическое неравенство.

Далее по числовой окружности или по графику тригонометрической функции находим:

Ответ: .

Задача 53. Решите неравенство

.

Решение. Решения неравенства должны удовлетворять условию . При этом условии . Следовательно,

Далее

При условии множитель , поэтому, разделив на него, сохраним знак неравенства:

рис 21. Корни системы неравенств на единичной окружности

Теперь на числовой окружности изобразим все условия для нахождения решений системы неравенств.

Заметим, что ответ выписывается по направлению против часовой стрелки.

Ответ: .

Задача 54. Решите неравенство

.

Решение. Воспользуемся формулами сложения:

Далее по формуле двойного угла:

.

Решения находим по числовой окружности методом интервалов:

рис 22. Корни неравенства на единичной окружности

Ответ:

.

Задача 55. Найдите все решения неравенства на .

Решение. Воспользуемся формулами приведения и формулами для суммы косинусов:

В левой и правой частях неравенства есть общий множитель . Чтобы не допустить ошибки, вынесем за скобки:

.

Решим неравенство методом интервалов на дуге числовой окружности:

Развернем дугу числовой окружности и найдем знаки левой части неравенства , выбирая точки в каждом интервале и подставляя их в левую часть неравенства .

рис 23. Знаки левой части неравенства на числовой прямой

Ответ:

Задача 56. Решите неравенство

.

Решение. Введем обозначения

, тогда неравенство можно представить в виде системы с двумя переменными: которую решим графически.

рис 24. Корни неравенства на единичной окружности

Ответ:

Задача 57. Решите неравенство

.

Решение. Используя формулы двойных углов и основное тригонометрическое тождество, представим неравенство в виде многочлена:

.

Получено три слагаемых, поэтому разложим левую часть на множители:

Далее произведем замену , тогда неравенство можно представить в виде системы с двумя переменными:

которую решим графически.

рис 25. Корни неравенства на единичной окружности

Ответ: .

Задача 58. Решите неравенство

.

Решение. Разделим обе части неравенства на :

Выберем число α так, чтобы ; . Этот угол – угол прямоугольного треугольника с катетами 1 и 2.

рис 26. Прямоугольный треугольник со сторонами 1, 2,

По формуле сложения получим:

Теперь по числовой окружности находим:

,

где .

Ответ:

.

Задача 59. Решите неравенство

.

Решение. 1 способ. Приведем к однородному неравенству:

После приведения подобных членов, получим:

Теперь после замены получим неравенство , которое решим на числовой окружности .

рис 27. Корни неравенства на единичной окружности

Получим:

.

2 способ. Применим формулу вспомогательного угла:

Далее находим на числовой окружности.

рис 28. Корни неравенства на единичной окружности

Получим:

.

Получили тот же самый результат.

Ответ: .

Задача 60. Решить неравенство

.

Решение. Введем новую переменную , тогда неравенство примет вид:

рис 29. Решение неравенства на координатной прямой

Получаем, что .

Возвращаемся к исходной переменной:

Решая простейшие неравенства, получаем, что

Ответ: .

Задача 61. Решить неравенство .

Решение. Пусть , тогда решим неравенство , используя тригонометрическую окружность.

рис 30. Корни неравенства на единичной окружности

Получили двойное неравенство:

Возвращаемся к замене и решаем двойное неравенство:

Получили интервал

.

Ответ: .

Задача 62. Решить неравенство

.

Решение. Выполним замену , тогда получим неравенство: .

Запишем разложение на множители:

Нанесем нули множителей на числовую ось и решим неравенство методом интервалов.

рис 31. Решение неравенства на координатной прямой

Получили: . Выполним обратную подстановку и получим двойное неравенство:

Правое неравенство решать не нужно, т.к. синус исходя из своей области значений и так всегда меньше единицы, а значит и двойки. Остается одно простейшее неравенство .

Ответ: .

Задача 63. Решить неравенство

.

Решение. Выполним замену , тогда получим неравенство: .

Запишем разложение на множители:

.

Нанесем нули множителей на числовую ось и решим неравенство «методом интервалов».

рис 32. Решение неравенства на координатной прямой

Получили: . Выполним обратную подстановку, имеем:

Решим отдельно каждое простейшее неравенство, используя единичную окружность.

1. 

рис 33. Корни неравенства на единичной окружности

Для получения всех решений неравенства к полученному промежутку добавим

,

1. 

рис 34. Корни неравенства на единичной окружности

Таким образом:

Ответ:

.

Задача 64. Решить неравенство

.

Решение. Введем новую переменную:

.

Неравенство примет вид: .

Преобразуем его:

далее используем метод интервалов.

рис 35. Решение неравенства на числовой прямой

Получаем следующие решения неравенства:

Возвращаемся к замене:

Неравенство решений не имеет.

Так как , то неравенство надо заменить другим неравенством: . Его решением будет:

Ответ: .

Задача 65. Решить неравенство

.

Решение. Преобразуем:

Неравенство примет вид:

Так как , то имеем решения неравенства:

Ответ:

.

Задача 66. Решить неравенство .

Решение. Используем метод вспомогательного угла:

Ответ:

Задача 67. Решить неравенство .

Решение. Сделаем подстановку , получим неравенство:

Решим методом интервалов.

рис 36. Решение неравенства на числовой прямой

.

Возвращаемся к замене:

Решаем простейшие тригонометрические неравенства:

Ответ:

.

Задача 68. Решить неравенство

.

Решение. Используя формулы синуса и косинуса двойного аргумента получим:

Учитывая что  есть один из периодов функции   и используя обобщенный метод интервалов для интервала длины , получим

рис 37. Решение неравенства на числовой прямой

рис 38. Решение неравенства на числовой прямой

рис 39. Решение неравенства на числовой прямой

Таким образом, множество решений данного неравенства есть объединение множеств:

Ответ:

Задача 69. Решить неравенство

.

Решение. Преобразуем неравенство:

Из донного неравенства получаем совокупность из двух систем:

Решим системы по отдельности и объединим решения.

Объединим решения:

Ответ:

Задачи для самостоятельной работы

1. Решить неравенство .

2. Решить неравенство .

3. Решить неравенство .

4. Решить неравенство .

5. Решить неравенство .

4.3 Смешанные неравенства, содержащие тригонометрические функции

Неравенства, в которых наряду с тригонометрическими функциями, содержатся радикалы, логарифмы, модули и другие функции от неизвестного называются смешанными.

Для решения таких задач необходимо знать не только свойства тригонометрических функций, формулы тригонометрии, но и определения, свойства, формулы логарифмов, арифметического квадратного корня, модуля, степени и т.д.

Рассмотрим примеры.

Решения смешанных неравенств, содержащих тригонометрические функции

Задача 70. Решить неравенство .

Решение. Данное неравенство эквивалентно двойному неравенству:

Решим отдельно каждое простейшее неравенство.

Получили интервал:

Ответ: .

Задача 71. Решить неравенство .

Решение. Заметим, что

, а потому при условии неравенство можно записать в виде:

Пусть , тогда .

Возвращаясь к исходной переменной, получаем:

Так как , то

рис 40. Корни неравенства на единичной окружности

Ответ: .

Задача 72. Решить неравенство

Решение. Найдем область определения неравенства:

На найденной области определения , умножив обе части неравенства на это положительное выражение, имеем:

Учитывая, что , и, что , получаем, что .

Ответ: .

Задача 73. Решить неравенство

Решение. Заметим, что , откуда находим, что знаменатель дроби, стоящей в левой части неравенства, равен 2021. Далее получаем:

Ответ: .

Задача 74. Решить неравенство

.

Решение. Упростим неравенство:

.

Ответ: .

ГЛАВА 5. ТРИГОНОМЕТРИЯ В ЗАДАЧАХ С ПРИКЛАДНЫМ СОДЕРЖАНИЕМ

Любая из задач указанного типа может быть сведена либо к уравнению, либо к неравенству. Выбор того или иного пути решения чаще всего будет обусловлен личными предпочтениями решающего. Из общих соображений можно сказать, что решать уравнение, как правило, проще, чем неравенство, но интерпретация полученного решения иногда может быть затруднительна.

Задания с прикладным содержанием, содержащие тригонометрические функции, представляют собой задачи на анализ явления, описываемого формулой функциональной зависимости. Каждая из задач представляет собой описание того или иного явления с указанием формулы, которой оно описывается, параметров и констант в этой формуле и необходимых единиц измерения. В задачах с физическим содержанием все единицы измерения приведены в единой используемой в задаче системе единиц.

5.1 Тригонометрические уравнения в задачах с прикладным содержанием

Решение предложенных задач условно можно разделить на несколько шагов: а) анализ условия и вычленение формулы, описывающей заданную ситуацию, а также значений параметров, констант или начальных условий, которые необходимо подставить в эту формулу; б) математическая интерпретация вопроса задачи — сведение ее к уравнению и его решение; в) анализ полученного решения. Следует обратить особое внимание на интерпретацию результатов вычислений. Приведём примеры.

Решение тригонометрических уравнений в задачах с прикладным содержанием

Задача 75. Мяч бросили под углом   к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полeта мяча (в секундах) определяется по формуле  . При каком значении угла   (в градусах) время полeта составит 3 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью   м/с? Считайте, что ускорение свободного падения .

Решение. Задача сводится к решению уравнения   на интервале   при заданных значениях начальной скорости и ускорения свободного падения:

на интервале .

Ответ: 30.

Задача 76. Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине. Его скорость v меняется по закону  , где t — время с момента начала колебаний, T = 12 с — период колебаний,   м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле  , где m — масса груза в килограммах, v — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 1 секунду после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Решение. Сначала найдем скорость груза через 1 секунду после начала колебаний, подставим известные значения в первую формулу:

Далее найдем кинетическую энергию груза через 1 секунду после начала колебаний подставим известные и найденные значения во вторую формулу:

Ответ: 0,0025.

Задача 77. Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине. Его скорость v меняется по закону  , где   — время с момента начала колебаний, T = 2 с — период колебаний,    м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле   где m — масса груза в килограммах, v — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 1 секунду после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Решение. Сначала найдем скорость груза через 1 секунду после начала колебаний, подставим известные значения в первую формулу:

Далее найдем кинетическую энергию груза через 1 секунду после начала колебаний подставим известные и найденные значения во вторую формулу:

Ответ: 0,01.

5.2 Тригонометрические неравенства в задачах с прикладным содержанием

Решение предложенных задач условно можно разделить на несколько шагов: а) анализ условия и вычленение формулы, описывающей заданную ситуацию, а также значений параметров, констант или начальных условий, которые необходимо подставить в эту формулу; б) математическая интерпретация вопроса задачи — сведение ее к неравенству и его решение; в) анализ полученного решения. Следует обратить особое внимание на интерпретацию результатов вычислений. Приведём примеры.

Решение тригонометрических неравенств в задачах с прикладным содержанием

Задача 78. Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону   (см/с), где   – время в секундах. Какую долю времени из первой секунды скорость движения была не менее 2,5 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

Решение. Задача сводится к решению неравенства   cм/с при заданном законе изменения скорости  :

Осталось решить простейшее неравенство:

Так как , то

Таким образом,   первой секунды после начала движения скорость груза была не менее 2,5 см/с. Округляя, получаем 0,67.

Ответ: 0,67.

Задача 79. Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью   м/с под острым углом   к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью   (м/с), где   кг – масса скейтбордиста со скейтом, а   кг – масса платформы. Под каким максимальным углом   (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,25 м/с?

Решение. Задача сводится к решению неравенства   на интервале   при заданных значениях массы скейтбордиста   кг и массы платформы    кг:

Осталось решить простейшее неравенство:

Так как , то ,

Ответ: 60.

Задача 80. Катер должен пересечь реку шириной   м и со скоростью течения   м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением   где   – острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом   (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 200 с?

Решение. Задача сводится к решению неравенства   на интервале  ,  при заданных значениях длины реки    м и скорости течения   м/с:

Осталось решить простейшее неравенство:

Так как , то , 

Ответ: 45.

Задачи для самостоятельной работы

1. Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на неe проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера, стремящейся повернуть рамку, (в Н м) определяется формулой  , где A  – сила тока в рамке,   Тл – значение индукции магнитного поля,   м – размер рамки,   – число витков провода в рамке,   – острый угол между перпендикуляром к рамке и вектором индукции. При каком наименьшем значении угла      (в градусах) рамка может начать вращаться, если для этого нужно, чтобы раскручивающий момент M был не меньше 0,75 Н м?

2. Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону , где   – время в секундах, амплитуда . В, частота  /с, фаза  .  Датчик настроен так, что если напряжение в нeм не ниже чем 1 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

3. Очень лeгкий заряженный металлический шарик зарядом   Кл скатывается по гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляет  м/с, на него начинает действовать постоянное магнитное поле, вектор индукции B которого лежит в той же плоскости и составляет угол   с направлением движения шарика. Значение индукции поля   Тл. При этом на шарик действует сила Лоренца, равная   (Н) и направленная вверх перпендикулярно плоскости. При каком наименьшем значении угла   шарик оторвeтся от поверхности, если для этого нужно, чтобы сила   была не менее чем   Н? Ответ дайте в градусах.

4. Небольшой мячик бросают под острым углом   к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полeта мячика, выраженная в метрах, определяется формулой  , где   м/с – начальная скорость мячика, а g  – ускорение свободного падения (считайте ). При каком наименьшем значении угла   (в градусах) мячик пролетит над стеной высотой 4 м на расстоянии 1 м?

5. Двигаясь со скоростью  м/с, трактор тащит сани с силой  кН, направленной под острым углом   к горизонту. Мощность, развиваемая трактором, вычисляется по формуле . Найдите, при каком угле  (в градусах) эта мощность будет равна 75 кВт (кВт — это  ).

ГЛАВА 6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ИЗ ЕГЭ

6.1 Практикум по заданию 9

Преобразование тригонометрических выражений

1. Найдите , если

2. Найдите , если .

3. Найдите tg(α+5π/2), если tgα=0,4.

4. Найдите , если .

5. Найдите , если tgα=-2,5.

6. Найдите значение выражения

7. Найдите значение выражения .

8. Найдите значение выражения

9. Найдите значение выражения  .

10. Найдите значение выражения  .

6.2 Практикум по заданию 13

Тригонометрические уравнения

1. Решите уравнение . В ответе напишите наибольший отрицательный корень.

2. Решите уравнение   В ответе напишите наибольший отрицательный корень.

3. Решить уравнение

4. Решить уравнение

5. Решить уравнение:

6. Решить уравнение:

7. Решить уравнение

8. Решить уравнение

9. Решить уравнение

10. Решить уравнение

Отбор корней тригонометрических уравнений

1. При решении тригонометрического уравнения были получены корни: . Найдите среди них корни, принадлежащие промежутку , с помощью двойного неравенства.

2. При решении тригонометрического уравнения были получены корни: . Найдите среди них корни, принадлежащие промежутку , с помощью двойного неравенства.

3. При решении тригонометрического уравнения были получены корни: . Найдите среди них корни, принадлежащие промежутку , с помощью двойного неравенства.

4. При решении тригонометрического уравнения были получены корни: . Найдите среди них корни, принадлежащие промежутку с помощью единичной окружности.

5. При решении тригонометрического уравнения были получены корни: . Найдите среди них корни, принадлежащие промежутку с помощью единичной окружности.

6. При решении тригонометрического уравнения были получены корни: . Найдите среди них корни, принадлежащие промежутку с помощью единичной окружности.

7. В результате упрощения тригонометрического уравнения получили: . Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку функционально-графическим методом.

8. В результате упрощения тригонометрического уравнения получили: . Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку функционально-графическим методом.

9. В результате упрощения тригонометрического уравнения получили: . Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку функционально-графическим методом.

6.3 Практикум по заданию 15

Тригонометрические неравенства

1. Решите неравенство

2. Решить неравенство

3. Решить неравенство

4. Решить неравенство

5. Решить неравенство

6. Решить неравенство

7. Решить неравенство .

8. Решить неравенство

6.4 Практикум по заданию 10

Тригонометрические уравнения и неравенства в задачах с прикладным содержанием

1. Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону   (см/с), где t – время в секундах. Какую долю времени из первой секунды скорость движения была не менее 2,5 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

2. Небольшой мячик бросают под острым углом   к плоской горизонтальной поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик, вычисляется по формуле   (м), где  м/с – начальная скорость мячика, а g  – ускорение свободного падения (считайте ). При каком наименьшем значении угла (в градусах) мячик перелетит реку шириной 20 м?

3. Плоский замкнутый контур площадью   находится в магнитном поле, индукция которого равномерно возрастает. При этом согласно закону электромагнитной индукции Фарадея в контуре появляется ЭДС индукции, значение которой, выраженное в вольтах, определяется формулой , где   – острый угол между направлением магнитного поля и перпендикуляром к контуру,   Тл/с – постоянная, S – площадь замкнутого контура, находящегося в магнитном поле (в ). При каком минимальном угле   (в градусах) ЭДС индукции не будет превышать   В?

4. Трактор тащит сани с силой  кН, направленной под острым углом   к горизонту. Работа трактора (в килоджоулях) на участке длиной  м вычисляется по формуле   При каком максимальном угле   (в градусах) совершeнная работа будет не менее 2000 кДж?

5. При нормальном падении света с длиной волны   нм на дифракционную решeтку с периодом d нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол   (отсчитываемый от перпендикуляра к решeтке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума k связаны соотношением . Под каким минимальным углом   (в градусах) можно наблюдать второй максимум на решeтке с периодом, не превосходящим 1600 нм?

Ответы к задачам для самостоятельной работы

Преобразования числовых тригонометрических выражений

1	2	3	4	5
-24	2	-16	-6	-1,5

Преобразования буквенных тригонометрических выражений

1	2	3	4	5
2	-4	1	-2,5	3

Вычисление значений тригонометрических выражений

1	2	3	4	5
5	-1	-28	-10	-9

Простейшие тригонометрические уравнения

1	2	3	4	5
-0,5	2,5	-0,25	-0,625	-1

Сведение тригонометрического уравнения к квадратному

1
2
3
4
5
6
7
8

Разложение на множители

1
2
3
4
5
6
7
8

Понижение степени

1
2
3
4
5
6

Введение дополнительного угла

1
2
3
4
5
6
7

Отбор корней с помощью неравенства

1
2
3
4
5

Отбор корней с помощью единичной окружности

1
2
3
4
5

Отбор корней с помощью графиков функций

1
2
3
4

Простейшие тригонометрические неравенства

1
2
3
4
5

Тригонометрические неравенства и методы их решения

1
2
3
4
5

Тригонометрические уравнения и неравенства в задачах с прикладным содержанием

1	2	3	4	5
30	50	30	30	60

Ответы к практикумам по заданиям из ЕГЭ

Преобразование тригонометрических выражений

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
22,08	4	-2,5	7	5	0,4	1	34	-6	-1,25

Тригонометрические уравнения

1	-1
2	-0,25
3
4
5
6
7
8
9
10

Отбор корней тригонометрических уравнений

1
2
3
4
5
6
7
8
9

Тригонометрические неравенства

1
2
3
4
5
6
7
8

Тригонометрические уравнения и неравенства в задачах с прикладным содержанием

1	2	3	4	5
0,67	15	60	60	30

Приложение 1

1. Основные тригонометрические тождества.

Основные тригонометрические тождества представляют собой равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла и позволяют находить любую из этих тригонометрических функций через известную другую.

1) α+ α=1

2) .

3)

4)

5) Свойства противоположных углов.

2. Формулы «приведения».

Таблица 1. Формулы «приведения»

Мнемоническое правило.

Формулы приведения заучивать необязательно. Если внимательно на них посмотреть, то можно выявить закономерности, из которых можно получить правило, позволяющее получить любую из приведенных формул. Его называют мнемоническим правилом (с древнегреческого «искусство запоминания»).

Во-первых, если угол можно представить как или , то название функции меняем: sin на cos, cos на sin, tg на ctg, ctg на tg. Если же угол можно представить как или 2π , то название функции оставляем без изменений.

Во-вторых, знак приведенной функции остается прежним. Если исходная функция имела знак «плюс», то и приведенная функция будет иметь знак «плюс». Если исходная функция имела знак «минус», то и приведенная функция будет со знаком «минус».

По рисунку знаков тригонометрических функций в зависимости от четверти, легко определять знаки приведенных функций. (рис.41)

рис 41. Знаки тригонометрических функций

3. Формулы «сложения».

Формулы сложения для синуса и косинуса справедливы для любых углов  α и β . А формулы сложения для тангенса и котангенса справедливы для всех  α и β, для которых определены входящие в них тангенсы и котангенсы.

2)

3)

4)

5) tg

6) tg

7) ctg

8) ctg .

4. Формулы двойного и тройного угла.

1)

2)

3)

4)

5)

6) .

5. Формулы «преобразования суммы в произведение»

1)

2)

3)

4)

5)

.

6. Формулы «преобразования произведения в сумму».

1)

2)

3) .

Таблица 2.Значения тригонометрических функций для некоторых углов

х, градусы	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°
х, радианы
				0				-1
				1				0
		1		-		-1		0
		1		0		-1		-

Знаки тригонометрических функций

Используя тригонометрическую окружность, несложно также определить знаки тригонометрических функций в зависимости от той четверти плоскости, в которой лежит точка

Таблица 3. Знаки тригонометрических функций

	Первая четверть	Вторая четверть	Третья четверть	Четвертая четверть
х, радианы
	+	-	-	+
	+	+	-	-
	+	-	+	-
	+	-	+	-

Приложение 2

Формулы корней простых тригонометрических уравнений

1. Уравнение  .

При  не имеет решений.

При  имеет бесконечное число решений.

Формула корней: 

или .

Частные случаи:

Уравнение 

При  — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.

При  имеет бесконечное множество решений.

Формула корней:

или

Частные случаи:

3. Уравнение 

Имеет бесконечное множество решений при любых значениях  .

Формула корней: 

4. Уравнение 

Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях  .

Формула корней:

Приложение 3

Таблица 4 «Тематическое планирование курса по теме “Решение тригонометрических уравнений и неравенств”»

№ урока	Тема занятия	Кол-во часов
1	Преобразования числовых тригонометрических выражений	1
2	Преобразования буквенных тригонометрических выражений	1
3	Вычисление значений тригонометрических выражений	1
4-5	Обобщающее занятие-практикум	2
6	Простейшие тригонометрические уравнения	1
7	Сведение тригонометрического уравнения к квадратному	1
8	Разложение на множители	1
9-10	Понижение степени	2
11-12	Введение дополнительного угла	2
13-14	Обобщающее занятие-практикум	2
15	Отбор корней с помощью неравенства	1
16	Отбор корней с помощью единичной окружности	1
17	Отбор корней с помощью графиков функций	1
18-19	Обобщающее занятие-практикум	2
20	Простейшие тригонометрические неравенства	1
21-25	Тригонометрические неравенства и методы их решения	5
26-27	Смешанные неравенства, содержащие тригонометрические функции	2
28-29	Обобщающее занятие-практикум	2
30	Тригонометрические уравнения в задачах с прикладным содержанием	1
31	Тригонометрические неравенства в задачах с прикладным содержанием	1
32	Обобщающее занятие-практикум	1
33-34	Итоговая контрольная работа	2

Список литературы

1. Александрова О. В. Сагомонян Е. А. Семенов Ю. С. Математика. Тригонометрия: Учеб. Пособие для подготовительных отделений и курсов высших учебных заведений. – М.: ИЛЕКСА, 2016. – 160 с.: ил. (Серия: «Поступаем в высшую школу».) – ISBN 978-5-89237-413-2.

2. Бермант А.Ф., Люстерник Л.А. Тригонометрия Изд. 3-е, стер. — М.: Физматгиз, 1960. — 177 с.

3. Колягин Ю. М. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. – 4-е изд. – М. : Просвещение, 2011. – 368 с. : ил. – ISBN 978-5-09-025401-4.

4. Лурье М.В. Тригонометрия. Техника решения задач: Учеб. Пособие – М..: Идательство УНЦ ДО, 2004 – 106 с. ISBN 5-88800-210-0

5. ФГБНУ «ФИПИ». – Москва. – URL: https://fipi.ru/ (дата обращения: 05.09.2020). – Текст: электронный.

6. Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования, утвержден приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 17 мая 2012 г. №413. [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://fgos.ru/ (дата обращения 05.09.2020).