Методические указания по выполнению контрольных работ по курсу "Математический анализ"

Якутская государственная сельскохозяйственная академия

Олекминский филиал

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ

КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ(ЗАДАНИЙ)

по математическому анализу

Олекминск

2013

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Якутская государственная сельскохозяйственная академия»

Олекминский филиал

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ (УКАЗАНИЯ) ПО ВЫПОЛНЕНИЮ

КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ(ЗАДАНИЙ)

по математическому анализу

Олекминск

2013

ББК 22.16.

Математический анализ: методические указания по выполнению контрольных работ по направлению 080100.62 «Экономика», Олекминск, 2013

Составитель: Тирский А.С., старший преподаватель кафедры естественных и

технических наук.

Утверждена на заседании кафедры естественных и технических наук

Протокол заседания кафедры № ___от «__»_________2013г.

Утверждена и рекомендована к изданию методическим советом Олекминского филиала ФГБОУ ВПО «Якутской ГСХА»

Протокол заседания МС №____от «___» ________2013г.

© Якутская ГСХА, 2013

© Олекминский филиал, 2013

Содержание:

Введение……………………………………………………………………………….4

Методические рекомендации по выполнению контрольных заданий …………....4

Описание контрольных заданий……………………………………………………..14

Приложения

Введение

Роли и значение выполнения контрольных заданий в профессиональной подготовке студентов:

Выполнение контрольных заданий является важной частью изучения дисциплины, т.к. при самостоятельном выполнении контрольных работ студенты перерабатывают информацию ,получаемую на занятиях и при самостоятельном изучении дисциплины по учебникам, проверяют и демонстрируют преподавателю свой уровень подготовки по данной дисциплине.

Взаимосвязь контрольных заданий с различными формами организации учебного процесса:

При выполнении контрольных заданий студентами происходит автоматическая подготовка к экзаменам. Развивается логическое мышление, что несомненно важно для будущего экономиста

Цели и задачи контрольных работ по «математике»:

Цель: Подготовка к экзамену

Задачи:

• Отработка практической составляющей программы

• Изучение теоретического материала, необходимого для решения задач

• Развитие логического и оптимального мышления у студентов.

Требования к знаниям студентов, необходимым при выполнении контрольных заданий:

При выполнении контрольных заданий студенты должны

знать:

• Основные формулы и понятия школьного курса математики\

• Теоретический материал дисциплины (определения, формулы, теоремы итд)

уметь:

• Решать основные виды задач школьного курса математики

• Применять теоретический материал курса для решения базовых задач

Методические рекомендации по выполнению контрольных заданий

К выполнению контрольной работы следует приступать только после изучения материала курса по учебнику и учебным пособиям. Далее следует внимательно разобрать все решенные задачи демонстрационного варианта. При выполнении работы следует руководствоваться следующими указаниями:

1. Контрольную работу следует выполнять в общей тетради, на внешней

обложке которой должны быть указаны фамилия и инициалы студентов,

полный шифр, номер варианта и дата ее отправки в академию. Решения

всех задач должны быть достаточно подробными. Все вычисления

необходимо делать полностью. Чертежи и графики должны быть

выполнены аккуратно, с указанием единиц масштаба, координатных осей

и других элементов чертежа. Для замечаний преподавателя необходимо

оставлять на каждой странице поля шириной 3-4 см и после каждой

задачи оставлять место 4-5 клеток.

2. Контрольная работа сдается как минимум за 10 дней до начала экзаменационной сессии на кафедру ( не преподавателю лично).

3) контрольная работа считается зачтенной,если в ней верно решено более 80% всех заданий

4. После получения незачтенной работы студент должен в короткий срок

исправить все ошибки в этой же тетради и сдать работу на проверку

повторно.

5. Контрольные работы должны выполняться самостоятельно. Не

самостоятельно выполненные работы автоматически считаются

незачтенными.

6. Студент выполняет тот вариант контрольной работы, который совпадает с

последней цифрой зачетной книжки (если шифр заканчивается цифрой 0,

то студент выполняет работу 10 варианта).

Вопросы, которые должны быть разобраны перед выполнением работы:

• Функциональная зависимость

• Элементарные функции и их графики

• Числовые последовательности и пределы

• Первый и второй замечательные пределы

• Предел функции

• Сравнение бесконечно малых функций

• Непрерывность функций

• Производная функции и ее геометрический и физический смыслы.

• Правила и формулы дифференцирования

• Вычисление производных

• Производные высших порядков

• Дифференциал функции

• Дифференциалы высших порядков

• Правило Лопиталя.

• Применение производной для исследования функций и построения графиков

(интервалы монотонности, экстремумы функций, выпуклость и вогнутость точка

перегиба, асимптоты графика функции)

• Общая схема исследования функции и построения графика.

• Определение первообразной и неопределенного интеграла

• Таблица интегралов

• Правила интегрирования

• Непосредственное интегрирование

• Интегрирование методом по частям

• Интегрирование методом замены переменной

• Интегрирование рациональных функций

• Метод рационализации

• Интегрирование иррациональностей методом рационализации

• Интегрирование некоторых тригонометрических функций

• Универсальная тригонометрическая подстановка.

• Определение определенного интеграла и его геометрический смысл

• Непосредственное вычисление определенного интеграла

• Методы подстановки и замены переменной под знаком определенного интеграла.

• Геометрические приложения определенного интеграла.

• Понятие числового ряда и его сходимости

• Признаки сходимости положительных рядов

• Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимости.

• Функциональные ряды. Степенные ряды. Нахождение области сходимости степенного ряда.

• Понятие функции двух переменных, ее предела и непрерывности

• Производные и дифференциалы функции нескольких переменных.

• Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

• Экстремум функции двух переменных.

Список рекомендуемой литературы

1. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: Учебное пособие для ВУЗов.- М. Высшая школа., 2001г.

2. Шипачев В.С. Основы высшей математики: Учебное пособие для ВУЗов – М: Высшая школа, 1998г

3. Данко П.Е.., Попов А.Г.., Кожевникова Т.Я., Высшая математика в упражнениях и задачах, в 2-х частях Ч-1.: Учебное пособие для ВУЗов - .М.: Высшая школа, 1999

4. Практикум по высшей математике для экономистов: Уч. пособие для ВУЗов – Кремер Н.М., Тришин И.М., Путько Б.А. М., 2004г

5. Высшая математика для экономистов: Учебное пособие для ВУЗов/Н.Ш. Кремер., Б.А. Путько, И.М. Тришин – М., 2003г.

Примеры выполнения контрольных заданий (образцы решения задач)

1. Вычислить пределы: а) б)

Решение:

а) Так как пределы числителя и знаменателя при равны 0, то мы имеем неопределенность вида . «Раскроем» ее домножением числителя и знаменателя на выражение сопряженное числителю (избавляемся от иррациональности в числителе)

=

б) В данном случае имеем неопределенность . Для раскрытия ее воспользуемся вторым замечательным пределом: .

Разделим числитель и знаменатель на х, получим:

1.

2.

2.Вычислить предел по правилу Лопиталя.

Решение:

Однократное применение правила Лопиталя не приводит к раскрытию неопределенности

( по прежнему получаем ), поэтому применим его еще раз:

Таким образом, в результате двукратного применения правила Лопиталя, находим, что искомый предел равен 1.

3. Провести полное исследование и построить график функции .

Решение:

Чтобы полностью исследовать функцию необходимо:

1. Найти область определения.

2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

3. Исследовать на четность

4. Исследовать на периодичность.

5. Найти промежутки знакопостоянства.

6. Исследовать на монотонность.

7. Найти экстремумы функции (если существуют).

8. Исследовать на выпуклость, найти точки перегиба (если существуют).

9. Исследовать на наличие асимптот.

10. Построить график, пользуясь полученными сведениями из пунктов 1-9.

1. , так как как знаменатель дроби.

2. Найдем точки пересечения с осями

с Ох: у = 0 или Решая уравнение, получаем х = -1. Значит

график функции пересекает ось Ох в точке А(-1; 0).

Ось Оу график не пересекает так как .

3. Область определения симметрична относительно нуля и

Следовательно данная функция является

функцией общего вида, и симметрия ни относительно начала координат, ни

относительно оси Оу не прослеживается.

4. Функция не является периодической.

5. Найдем промежутки знакоположительности и знакоотрицательности функции, для

этого решим два неравенства:

и .

Решением первого является объединение промежутков .

Решением второго является промежуток . Значит функция знакоположительна на

и знакоотрицательна на .

6,7. Исследуем функцию на монотонность с помощью производной:

Найдем производную

. Найдем критические точки (это точки в которых производная равна нулю или не существует) решением получившегося уравнения является . Производная не существует при х=0, но так как при х = 0 функция не определена, то эту точку не исключаем из рассмотрения. Таким образом имеется единственная критическая точка .

Разобьем область определения этой критической точкой, определим знаки левее и правее от нее и воспользовавшись признаками монотонности и достаточным условием экстремума сделаем соответствующие выводы.

x		0
	-	не сущ	-	0	+
		не сущ.		min

- минимум функции. Точка В( - точка минимума графика функции.

8. Исследуем функцию на выпуклость с помощью второй производной:

. Найдем критические точки второго рода (это точки, в

которых вторая производная либо равна нулю, либо не существует).

при х =-1, не существует при х = 0. х = 0 исключаем из рассмотрения так как в ней функция не определена. Получаем единственную критическую точку второго рода х = -1. Разобьем область определения этой критической точкой, определим знаки левее и правее от нее и воспользовавшись признаками выпуклости и достаточным условием точки перегиба сделаем соответствующие выводы

x		-1		0
	+	0	-	не сущ	+
	вып. вниз	перегиб	вып. вверх	не сущ	Вып. вниз

Х= -1 – точка перегиба функции. . Точка С(-1; 0) – точка перегтба графика функции.

9. Исследуем на асимптоты.

Точка х = 0 – точка разрыва функции.

Имеем: , значит х = 0 – вертикальная асимптота.

Так как , то наклонных и горизонтальных асимптот нет.

10. Чертим график исследуемой функции

4 Вычислить неопределенные интегралы:

а) б) в)

г) д)

Решение:

а) Под знаком интеграла содержится функция от дробных степеней х. Общее наименьшее кратное знаменателей 2 и 4 равно 4, поэтому полагаем и получаем:

В результате замены переменной подынтегральная функция преобразовалась в неправильную рациональную дробь, для интегрирования которой необходимо выделить целую часть, и тогда

Б) Сделаем замену переменной . Получим,

В) Сделаем замену переменной

Разобьем подынтегральную функцию на простейшие дроби:

,

Получаем систему: А+В=0 А=-1

-А=1 В=1

Г) Подынтегральная функция не изменится, если в ней и заменить на - и - соответственно, поэтому полагаем, что

Тогда,

Д) Выделим в знаменателе полный квадрат:

Сделаем замену переменной

5. Вычислить определенный интеграл:

Решение: Сделаем замену и пересчитаем пределы интегрирования

Х	0	4
t	0	2

Получаем;

.

8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: , при

Решение:

Фигура имеет вид изображенный на чертеже. Находим ее площадь:

6 Исследовать на сходимость ряд а) Б) В)

Решение:

а) По признаку Даламбера

. Следовательно ряд сходится.

Б) Так как , то применим радикальный признак Коши к ряду

. Ряд сходится, а значит сходится и ряд , согласно свойствам числовых рядов.

В) Воспользуемся интегральным признаком Коши. Функция удовлетворяет условиям теоремы 2.5. Находим:

, значит ряд расходится.

7 Найти область сходимости степенного ряда

Решение:

Для нахождения интервала и радиуса сходимости степенного ряда модно воспользоваться одним из следующих способов:

1. если среди коэффициентов ряда нет равных нулю, т.е. ряд содержит все

положительные степени разности (х-а), то где ;

2. Если среди коэффициентов ряда есть равные нулю, т.е. ряд содержит не все целые положительные степени разности (х-а), то в этом случае интервал сходимости можно находить применяя признаки Даламбера, Коши или сравнения к ряду, составленному из абсолютных величин членов исходного ряда.

В данном случае ряд содержит все положительные степени разности(х-(-2))=(х+2), поэтому воспользуемся первым способом.

. Следовательно, . Значит ряд сходится при , т.е. при .

При х= -4 имеем ряд , который сходится условно.

При х=0 имеем расходящийся ряд .

Следовательно, областью сходимости исходного ряда является полуотрезок

8 Найти полный дифференциал функции

Решение:

Полный дифференциал функции трех переменных имеет вид:

Найдем:

Окончательно получим:

9 Найти экстремум функции нескольких переменных:

Решение:

а) Находим частные производные первого порядка

Находим стационарные точки: 3х + 2у – 5 = 0

2х – у – 1 = 0

Решая систему получаем х=1, у=1, следовательно М(1;1) есть стационарная точка.

Находим значения вторых частных производных:

. Значения производных не зависят от х и у, поэтому вычислять их величину в стационарной точке нет необходимости. Вычисляем дискриминант , следовательно, в точке М(1;1) функция не имеет экстремума.

б) Находим частные производные второго порядка

Р ешая систему:

или

находим стационарные ( критические) точки:

Находим вторые частные производные:

Для каждой стационарной точки вычисляем соответствующее значение дискриминанта:

1) - в точке функция

имеет минимум

2) - экстремума нет.

3) - экстремума нет

4) - экстремум есть, , в точке

функция имеет максимум

5) - экстремум есть, в точке

функция имеет максимум .

Описания контрольных заданий

1. Вычислить пределы ( таблица 1)

2. Исследовать функцию и построить ее график ( таблица 2)

3. Найти неопределенные интегралы ( ТАБЛИЦА 3)

4. Вычислить определенный интеграл ( таблица 4)

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ( таблица 5)

6. Исследовать на сходимость ряд (таблица 6)

7. Найти область сходимости степенного ряда ( таблица 72)

8. Найти полный дифференциал функции (таблица 8)

9. Найти экстремумы функций нескольких переменных(таблица 9)

Таблица 1

вариант	предел	вариант	предел
1		4
2		5
3		6
7		9
8		10

Таблица 7

вариант	функция	вариант	функция
1		6
2		7
3		8
4		9
5		10

Таблица 8
1		4
2		5
3		6
7		9
8		10

Таблица 9

Вариант	интеграл	вариант	интеграл
1		6
2		7
3		8
4		9
5		10

Таблица 10

вариант	Уравнения линий	вариант	Уравнения линий
1		6
2		7
3		8
4		9
5		10

Таблица 11

вариант	ряд	вариант	ряд
1		6
2		7
3		8
4		9
5		10

Таблица 12

Вариант	ряд	вариант	ряд
1		6
2		7
3		8
4		9
5		10

Таблица 13

Вариант	функция	вариант	функция
1		6
2		7
3		8
4		9
5		10

Таблица 14

вариант	функция	вариант	функция
1		6
2		7
3		8
4		9
5		10

27