Методические указания по выполнению контрольных работ по курсу "Линейная алгебра"

Якутская государственная сельскохозяйственная академия

Олекминский филиал

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ

КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

по линейной алгебре

Олекминск

2013

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Якутская государственная сельскохозяйственная академия»

Олекминский филиал

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ (УКАЗАНИЯ) ПО ВЫПОЛНЕНИЮ

КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

по линейной алгебре

Олекминск

2013

ББК 22.143

Линейная алгебра: методические указания по выполнению контрольных работ

по направлению 080100.62 «экономика», Олекминск, 2013

Составитель: Тирский А.С., старший преподаватель кафедры естественных и

технических наук.

Утверждена на заседании кафедры естественных и технических наук

Протокол заседания кафедры № ___от «__»_________2013г.

Утверждена и рекомендована к изданию методическим советом Олекминского филиала ФГБОУ ВПО «Якутской ГСХА»

Протокол заседания МС №____от «___» ________2013г.

© Якутская ГСХА, 2013

© Олекминский филиал, 2013

Содержание:

Введение………………………………………………………………….4

Методические рекомендации по выполнению

контрольных заданий …………………………………………………...4

Описание контрольных заданий………………………………………..9

Введение

Роли и значение выполнения контрольных заданий в профессиональной подготовке студентов:

Выполнение контрольных заданий является важной частью изучения дисциплины, т.к. при самостоятельном выполнении контрольных работ студенты перерабатывают информацию ,получаемую на занятиях и при самостоятельном изучении дисциплины по учебникам, проверяют и демонстрируют преподавателю свой уровень подготовки по данной дисциплине.

Взаимосвязь контрольных заданий с различными формами организации учебного процесса:

При выполнении контрольных заданий студентами происходит автоматическая подготовка к экзаменам. Развивается логическое мышление, что несомненно важно для будущего менеджера.

Цели и задачи контрольных работ по «математике»:

Цель: Подготовка к экзамену

Задачи:

• Отработка практической составляющей программы

• Изучение теоретического материала, необходимого для решения задач

• Развитие логического и оптимального мышления у студентов.

Требования к знаниям студентов, необходимым при выполнении контрольных заданий:

При выполнении контрольных заданий студенты должны

знать:

• Основные формулы и понятия школьного курса математики\

• Теоретический материал дисциплины (определения, формулы, теоремы итд)

Уметь:

• Решать основные виды задач школьного курса математики

• Применять теоретический материал курса для решения базовых задач

Методические рекомендации по выполнению контрольных заданий

К выполнению контрольной работы следует приступать только после изучения материала курса по учебнику и учебным пособиям. Далее следует внимательно разобрать все решенные задачи демонстрационного варианта. При выполнении работы следует руководствоваться следующими указаниями:

1. Контрольную работу следует выполнять в общей тетради, на внешней

обложке которой должны быть указаны фамилия и инициалы студентов,

полный шифр, номер варианта и дата ее отправки в академию. Решения

всех задач должны быть достаточно подробными. Все вычисления

необходимо делать полностью. Чертежи и графики должны быть

выполнены аккуратно, с указанием единиц масштаба, координатных осей

и других элементов чертежа. Для замечаний преподавателя необходимо

оставлять на каждой странице поля шириной 3-4 см и после каждой

задачи оставлять место 4-5 клеток.

2. Контрольная работа сдается как минимум за 10 дней до начала

экзаменационной сессии на кафедру ( не преподавателю лично).

3. контрольная работа считается зачтенной,если в ней верно решено более

80% всех заданий

4. После получения незачтенной работы студент должен в короткий срок

исправить все ошибки в этой же тетради и сдать работу на проверку

повторно.

5. Контрольные работы должны выполняться самостоятельно. Не

самостоятельно выполненные работы автоматически считаются

незачтенными.

6. Студент выполняет тот вариант контрольной работы, который совпадает с

последней цифрой зачетной книжки (если шифр заканчивается цифрой 0,

то студент выполняет работу 10 варианта).

Вопросы, которые должны быть разобраны перед выполнением работы:

• Матрицы и действия с ними

• Определители и их вычисление

• Обратная матрица

• Ранг матрицы

• Решение системы линейных уравнений (метод Гаусса, метод Крамера, метод обратной матрицы)

• Понятие вектора, векторного пространства.

• Линейная зависимость системы векторов.

• Ранг и базис системы векторов

Список рекомендуемой литературы

1. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: Учебное пособие для ВУЗов.- М. Высшая школа., 2001г.

2. Шипачев В.С. Основы высшей математики: Учебное пособие для ВУЗов – М: Высшая школа, 1998г

3. Данко П.Е.., Попов А.Г.., Кожевникова Т.Я., Высшая математика в упражнениях и задачах, в 2-х частях Ч-1.: Учебное пособие для ВУЗов - .М.: Высшая школа, 1999

4. Практикум по высшей математике для экономистов: Уч. пособие для ВУЗов – Кремер Н.М., Тришин И.М., Путько Б.А. М., 2004г

5. Высшая математика для экономистов: Учебное пособие для ВУЗов/Н.Ш. Кремер., Б.А. Путько, И.М. Тришин – М., 2003г.

Примеры выполнения контрольных заданий (образцы решения задач)

1. Исследовать систему линейных уравнений, если она совместна, то найти ее общее и одно частное решение

Решение:

Систему будем решать по методу Гаусса(метод последовательного исключения неизвестных), состоящем в следующем:

1. На первом этапе (прямой ход) расширенная матрица системы приводится к

ступенчатому виду. По виду ступенчатой матрицы делается вывод о ее совместности и

определенности системы:

- система совместна тогда и только тогда когда ранг матрицы системы равен рангу

расширенной матрицы, т.е .( теорема Кронекера – Капелли)

- если =n, где n- число неизвестных, то система определена, т.е имеет

единственное решение.

- если n, то система неопределенна и имеет множество решений.

2. Если система совместна, то переходят ко второму этапу(обратный ход) –

последовательному определению неизвестных.

Приведем расширенную матрицу к ступенчатому виду:

1 2 2 3 1 1 2 2 3 1

6 -3 -3 -1 -9 II-I ~ 0 -15 -15 -19 15 ~

-7 1 1 -2 8 III+I 0 15 15 19 15 III+II

-3 9 9 10 12 IV+I 0 15 15 19 15 IV+II

1 2 2 3 1 1 2 2 3 1

0 -15 -15 -19 -15 II ~ 0 15 15 19 15

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

И з полученной ступенчатой матрицы видно что r(A)=2 и =2. Это значит, что система совместна. Так как r(A), т.е двум, количество свободных переменных равно n- r(A)=4 – 2=2. Выберем какой-нибудь не равный нулю минор второго порядка (базисный) полученной матрицы, например, 1 2 .

0 15

Его столбцы – 1-ый и 2-ой столбцы матрицы соответствуют переменным и - это будут главные переменные, а и - свободные переменные. Заметим, что в качестве главных переменных нельзя брать пару , , так как любой соответствующий им минор равен нулю. Теперь запишем систему уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице:

или

Из второго уравнения выразим :

. Подставляя выражение для в первое уравнение, получим:

. Выражая , получим:

П олучаем общее решение:

- любое число

- любое число

Частное решение системы получим из общего, например при =1, =0:

, , =1, =0.

2. Дана система векторов . Найти любой базис данной системы векторов и выразить, не вошедшие в него вектора, через базисные.

Р ешение: Найдем ранг данной системы векторов, используя элементарные преобразования. Для этого составим матрицу, строки корой соответствуют координатным строкам данных векторов, и найдем ее ранг.

2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1

1 2 0 1 ~ 0 -3 3 -1 ~ 0 -3 3 -1

-1 1 -3 0 0 3 -3 1 0 0 0 0

0 3 -3 1 0 3 -3 1 0 0 0 0

Полученная в итоге цепочки элементарных преобразований ступенчатая матрица имеет две ненулевые строки, поэтому ее ранг равен 2.

Так как ранги эквивалентных матриц равны, то исходная матрица имеет такой же ранг.

Отсюда следует, что ранг исходной системы векторов также равен 2.

Из определения ранга конечной системы векторов (максимальное число линейно независимых векторов), следует, что базис данной системы векторов состоит из двух векторов. Так как в ступенчатой матрице ненулевыми являются первые две строки, то соответствующие им строки исходной матрицы линейно независимы, т. е. векторы - линейно независимы и могут быть выбраны в качестве базисных.

Выразим вектор через и :

В координатной форме имеем:

Из данного равенства получим систему линейных уравнений:

Решая ее, получаем:

Таким образом, .

Аналогично выражаем вектор через и :

В координатной форме имеем:

Из данного равенства получаем систему линейных уравнений:

Решая ее, получаем:

Следовательно:

Ответ: - один из базисов, , .

Описания контрольных заданий

1. Вычислить определитель матрицы А ( таблица 1 )

2. Найти произведение матриц А и В:

1 2 2 -1 а 2 -1

А= 2 3 4 5 В= -1 в 3

1 3 2 5 -2 4 с ( таблица 2 )

3 2 4 -3 1 3 2

3. Дана матрица А ( таблица 3). Найти матрицу и установить, что .

4. Дана система векторов в которой ,

, . Дополнить линейно независимую часть

(таблица 4) до базиса системы векторов и все

векторы не вошедшие в базис, разложить по базису.

5. Найти общее решение системы линейных уравнений ( таблица 5)

методом Гаусса.

Таблица 1

Таблица 2

Таблица 3

Таблица 4

Таблица 5

Список рекомендуемой литературы

1. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: Учебное пособие для ВУЗов.- М. Высшая школа., 2001г.

2. Шипачев В.С. Основы высшей математики: Учебное пособие для ВУЗов – М: Высшая школа, 1998г

3. Данко П.Е.., Попов А.Г.., Кожевникова Т.Я., Высшая математика в упражнениях и задачах, в 2-х частях Ч-1.: Учебное пособие для ВУЗов - .М.: Высшая школа, 1999

4. Практикум по высшей математике для экономистов: Уч. пособие для ВУЗов – Кремер Н.М., Тришин И.М., Путько Б.А. М., 2004г

5. Высшая математика для экономистов: Учебное пособие для ВУЗов/Н.Ш. Кремер., Б.А. Путько, И.М. Тришин – М., 2003г.

20