Методические указания по самостоятельному изучению темы «Основные численные методы» для студентов колледжа

Федеральное агентство по образованию

ФГОУ СПО «Мичуринский аграрный колледж»

Методические указания

для студентов заочного отделения

специальности 110301 Механизация сельского хозяйства

по дисциплине «Математика»

на тему «Основные численные методы»

Мичуринск

2008

Методические указания по самостоятельному изучению темы «Основные численные методы» предназначены для студентов заочной формы обучения, изучающих дисциплину «Математика».

Автор: Долгова И.М., преподаватель математики ФГОУ СПО «Мичуринский аграрный колледж».

РАССМОТРЕНО

на заседании цикловой комиссии

общеобразовательных дисциплин

протокол № _____ от ___________ 2008 г.

председатель комиссии

_______________________ И.М. Долгова

СОГЛАСОВАНО

Методист заочного отделения

____________________ Е.В. Зайцева

Содержание

Введение…………………………………………………………………………...3

Рекомендуемая литература……………………………………………………….4

Основы темы «Основные численные методы»………………………………….5

Численное интегрирование…………………………………………………..5

Численное дифференцирование……………………………………………...7

Численное решение обыкновенных дифференциальных

уравнений……………………………………………………………………..9

Задания для самоконтроля………………………………………………………10

Введение

На практике часто встречаются интегралы, которые нельзя выразить через элементарные функции или выразить очень сложно. В этих случаях интегралы находят приближенными методами, в том числе с использованием методов численного интегрирования. Метод численного дифференцирования позволяет по табличным данным находить аналитическое выражение производной. Для нахождения значения функции, определяемого заданным дифференциальным уравнением и начальными условиями, используют метод Эйлера, который дает четкое представление о правилах численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Методические указания содержат краткие теоретические аспекты темы «Основные численные методы», необходимые студентам для решения практических задач. Кроме этого, автор разбирает решение некоторых типовых задач темы, после чего предлагается пользователю задания для самоконтроля.

3

Рекомендуемая литература

Основная

1. Баврин И.И. Высшая математика: учеб. для студ. естественнонаучных специальностей педагогических вузов/И.И. Баврин. – М.: Издательский центр «Академия»; Высшая школа, 2000. – 616 с.

2. Колягин Ю.М. Математика: учеб. пособие: В 2 кн. 2кн./Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, Г.Н. Яковлев. – 4-е изд., испр. и доп. – М.: ООО «Издательство Новая Волна»: Издатель Умеренков, 2004. – 656 с.: ил.

3. Пехлецкий И.Д. Математика: учеб./ И.Д. Пехлецкий. – 2-е изд., стереотип. – М.: Издательский центр «Академия»; Мастерство, 2002. – 304 с.

4. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Полный курс/Д.Т. Письменный. – 2-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2004. – 608 с.: ил. – (Высшее образование).

Дополнительная

1. Афанасьева О.Н. Сборник задач по математике для техникумов на базе средней школы: учеб. пособие для техникумов/О.Н. Афанасьева, Я.С. Бродский, И.И. Гуткин, А.Л. Павлов. – М.: Гл. ред. физ. – мат. лит., 1987. – 208 с.

2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: учеб. пособие для средних проф. учеб. заведений/Н.В. Богомолов. – 8-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2006. – 495 с.

4

Основы темы «Основные численные методы»

Численное интегрирование

На практике часто встречаются интегралы, которые нельзя выразить через элементарные функции или выразить очень сложно. В этих случаях интегралы находят приближенными методами, в том числе с использованием методов численного интегрирования.

Промежуток интегрирования (a,b) делим точками х0, х1, х2, …х(n-1) на n равных частей. Длина каждой , где a= х(0); b=х(b).

Через х(1/2), х(3/2), х(5/2…) обозначаем середины отрезков участков (х0, х1), (х1,х2), …

Полагаем f(х(0))=y(0); f(х(1/2))=у(1/2); f(х(3/2))=у(3/2)…

Формулы прямоугольников:

Формула трапеций:

Формула Симпсона (параболических трапеций):

Абсолютная погрешность рассчитывается по формулам численного интегрирования (не более):

1. По формулам прямоугольников 1 и 2

5

2. По формуле прямоугольников 3

3. По формуле трапеции

4. По формуле Симпсона

где Mn –наибольшее значение производных соответственно |fⁿ(x)| на отрезке [a;b].

Пример. Вычислить по формулам прямоугольника и трапеции, где n=10. Оценить погрешность.

Решение:

Составляем таблицу значений подынтегральной функции:

По формуле прямоугольников 2:

I=0,1∙7,5998=7,5998.

По формуле трапеции:

I=0,1∙(0,75+7,0998)=7,8498.

Для оценки погрешности найдем

;

Наибольшее значение

Абсолютная погрешность:

1. По формуле прямоугольников – 0,0029.

2. По формуле трапеции – 0,0017.

6

Численное дифференцирование

Интерполяция – это процесс определения для заданного аргумента х значения функции у=f(х) по ее нескольким известным значениям.

Интерполяционная функция Ньютона. Пусть у₀, у₁, у₂, … значения некоторой функции у=f(х), соответствующие равностоящим значениям аргумента х₀, х₁, х₂, … (т.е. х_k+1-х_k=∆х_k=const)/

Разности первого порядка:

у₁-у₀=∆у₀, у₂-у₁=∆у₁, … у_n-у_n-1=∆у_n-1

Разности второго порядка:

∆у₁-∆у₀=∆²у₀, ∆у₂-∆у₁=∆²у₂

Разности (n+1) – го порядка:

∆ⁿу₁-∆ⁿу₀=∆ⁿ⁺¹у₀, ∆ⁿу₂-∆ⁿу₁=∆ⁿ⁺¹у₁

Значение аргумента, функции и конечной разности образуют таблицу конечных разностей.

Последовательные подстановки в формулы разности дают:

у_n=(1+∆)ⁿу₀=у₀+n∆у₀+∆²у₀+…+∆ⁿу₀,

если n- любое число (n=t), то получим интерполяционную формулу Ньютона.

у_t=у₀+∆у₀+∆²у₀+∆³у₀+…+∆^tу₀,

так как х=х₀+th, то есть t=, то формула принимает вид

у_n=у₀+∆у₀+∆²у₀+…

Для оценки погрешности интерполяционных формул Ньютона используют формулу:

R_n(x)≈

В разделах высшей математики приведены формулы приближенного дифференцирования в точке х, основанные на интерполяционных формулах Ньютона:

у^/_i=(∆y_i -∆²y_i - ∆³y_i+…)

у^//_i=(∆²y_i -∆³y_i - ∆⁴y_i…)

7

Пример. Из таблицы найти значение у при х=3,1, пользуясь интерполяционной формулой Ньютона, построить формулы приближенного дифференцирования. Найти производные и погрешность в их определении.

Решение. Составим таблицу разностей.

х₀=3, так как х=3,1, h=1. Тогда t==;

у=у₀+t∆у₀+∆²y₀;

у=13+0,1∙8+∙2=13,71.

Интерполяционный многочлен для этой таблицы имеет вид (х=3,1 и у=13,71).

у=3+(х-1)∙4+∙2=х²+х+1.

Найдем приближенные значения у^/_i и у^//_I величин у^/(х_i) и у^//(х_I) (h=1):

у^/_i=

у^//_i=(∆²y_i - ∆³y_i)=(2-0)-2

Погрешность при вычислении у^/_i равна (t=0,1)

≤0,1(0,1-1)=∙0,09≈0,09

Сравним с аналитическим вычислением производных функций:

у=х²+х+1; у^/=2х+1; х_i=3,1; у(х)=2∙3,1+1=7,1

Расчеты верны.

8

Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Дифференциальное уравнение у^/=f(х,у) определяет на плоскости поле направлений, то есть в каждой точке плоскости, в которой существует функция f(х,у), задано направление интегральной кривой уравнения, проходящей через эту точку. Пусть требуется решить задачу Коши, то есть найти решение уравнения у^/=f(х,у), удовлетворяющее начальному условию у(х₀)=у₀. Разделим отрезок [х₀Х] на n равных частей и положим (h- шаг изменения аргумента). Допустим, что внутри элементарного промежутка от х₀ до х_0+h функция у^/ сохраняет постоянное значение f(х₀, у₀). Тогда у₁-у₀≈h∙f(х₀,у₀), где у₁ – значение искомой функции, соответствующее значению х₁=х₀+h. Отсюда получаем у₁≈у₀+h∙f(х₀,у₀).Повторяя эту операцию, получим последовательные значения функции: у₂≈у₁+h∙f(х₁,у₁), у₃≈у₂+h∙f(х₂,у₂), у_k+1≈у_k+h∙f(х_k,у_k).

Таким образом, можно приближенно построить интегральную кривую в виде ломанной с вершинами

М_k(x_k;у_k), где х_k+1=х_k+∆x_k, y_k+1=y_k+hf (x_k; y_k).

Этот метод называется методом ломанных Эйлера, или просто методом Эйлера.

Пример. Методом Эйлера найти четыре значения функции у, определяемой уравнением у^/=х+у, при начальном условии у(0)=1, полагая h=0,1.

Решение. Значения аргумента х₀=0, х₁=0,1, х₂=0,2, х₃=0,3 подставляем в формулы последовательных значений функции и получаем таблицу, по которой можно построить интегральную кривую.

У

1,36

1,22

1,1

1

0 0,1 0,2 0,36 0,4 Х

9

Задания для самоконтроля

1. Вычислить по формулам прямоугольников 1 и по формуле Симпсона. Найти погрешность.

2. Составить при n=10 по формулам прямоугольников.

3. Составить таблицу конечных разностей, приближенно вычислить значения функции и ее производных в точке х=2,2. Найти погрешность, если функция задана таблицей:

4. Методом Эйлера найти значения функций у:

у^/-1+х+у²; у(0)=1; h=0,1.

10

Рецензия

на методические указания

по самостоятельному изучению темы

«Основные численные методы»,

разработанные для студентов заочной формы обучения

специальности 110301 Механизация сельского хозяйства

по дисциплине «Математика»

преподавателем ФГОУ СПО «Мичуринский аграрный колледж»

Долговой Ириной Михайловной

Методические указания содержат материал по одному из разделов дисциплины «Математика». Вопросы основных численных методов изложены в краткой, но достаточной для ознакомления с ними и применения для решения задач форме. Они включают в себя численное интегрирование, численное дифференцирование, численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Студенты заочной формы обучения смогут не только изучить теоретический материал, но и рассмотреть конкретные примеры и проверить свои знания при решении заданий для самоконтроля.

Работа написана грамотно. Все буквенные обозначения и формульные символы выражены в единой форме.

Методист заочного отделения

ФГОУ СПО

«Мичуринский аграрный колледж» Е.В. Зайцева

Рецензия

на методические указания

по самостоятельному изучению темы

«Основные численные методы»,

разработанные для студентов заочной формы обучения

специальности 110301 Механизация сельского хозяйства

по дисциплине «Математика»

преподавателем ФГОУ СПО «Мичуринский аграрный колледж»

Долговой Ириной Михайловной

Методические указания по самостоятельному изучению темы «Основные численные методы» рассматривают некоторые важные вопросы высшей математики, а именно, вопросы численного интегрирования и дифференцирования, правила численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений на примере метода Эйлера.

Указания содержат теоретические аспекты темы, конкретные примеры применения теории в решении практических задач, а также задания для самоконтроля.

Теоретический материал, в силу небольшого количества часов, отведенных на изучение данной темы, изложен в краткой, но доступной для понимания студентов и достаточной для решения задач форме.

Приведенные примеры решения практических задач и задания для самоконтроля отражают тот необходимый минимум умений и навыков, которые должны приобрести студенты в результате изучения данной темы.

Работа написана грамотно, четко, не содержит лишней информации. Все обозначения, буквенные и формульные символы выдержаны в единой форме.

Данные методические указания можно рекомендовать для использования в обучении студентов математике как заочной, так и очной форм обучения средних специальных учебных заведений.

Методист

Мичуринского филиала

Тамбовского техникума

железнодорожного транспорта Н.В. Кузнецова