Методические указания по решению контрольных работ по курсу "Эконометрика"

Якутская государственная сельскохозяйственная академия

Олекминский филиал

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ

КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ(ЗАДАНИЙ)

по эконометрике

Олекминск

2013

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Якутская государственная сельскохозяйственная академия»

Олекминский филиал

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ (УКАЗАНИЯ) ПО ВЫПОЛНЕНИЮ

КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ(ЗАДАНИЙ)

по эконометрике

Олекминск

2013

ББК 22.1.в6

Эконометрика: методические указания по выполнению контрольных работ

по направлению 080100.62 «экономика» Олекминск, 2013

Составитель: Тирский А.С., старший преподаватель кафедры естественных и

технических наук.

Утверждена на заседании кафедры естественных и технических наук

Протокол заседания кафедры № ___от «__»_________2013г.

Утверждена и рекомендована к издаеию методическим советом олекмиского филиала ФГБОУ ВПО «Якутской ГСХА»

Протокол заседания МС №____от «___» ________2013г.

© Якутская ГСХА, 2013

© Олекминский филиал, 2013

Содержание:

Введение………………………………………………………………………………….4

Методические рекомендации по выполнению контрольных заданий……………….5

Описание контрольных заданий…………………………………………………….....24

Введение

Роли и значение выполнения контрольных заданий в профессиональной подготовке студентов:

Выполнение контрольных заданий является важной частью изучения дисциплины, т.к. при самостоятельном выполнении контрольных работ студенты перерабатывают информацию ,получаемую на занятиях и при самостоятельном изучении дисциплины по учебникам, проверяют и демонстрируют преподавателю свой уровень подготовки по данной дисциплине.

Взаимосвязь контрольных заданий с различными формами организации учебного процесса:

При выполнении контрольных заданий студентами происходит автоматическая подготовка к экзаменам. Развивается логическое мышление, что несомненно важно для будущего экономиста.

Цели и задачи контрольных работ по «эконометрике»:

Цель: Подготовка к экзамену

Задачи:

• Отработка практической составляющей программы

• Изучение теоретического материала, необходимого для решения задач

• Развитие логического и оптимального мышления у студентов.

Требования к знаниям студентов, необходимым при выполнении контрольных заданий:

При выполнении контрольных заданий студенты должны

знать:

• Основные формулы и понятия школьного курса математики, теории вероятностей и математической статистики

• Теоретический материал дисциплины (определения, формулы, теоремы итд)

уметь:

• Решать основные виды задач школьного курса математики, теории вероятностей и математической статистики

• Применять теоретический материал курса для решения базовых задач

Методические рекомендации по выполнению контрольных заданий

К выполнению контрольной работы следует приступать только после изучения материала курса по учебнику и учебным пособиям. Далее следует внимательно разобрать все решенные задачи демонстрационного варианта. При выполнении работы следует руководствоваться следующими указаниями:

1. Контрольную работу следует выполнять в общей тетради, на внешней

обложке которой должны быть указаны фамилия и инициалы студентов,

полный шифр, номер варианта и дата ее отправки в академию. Решения

всех задач должны быть достаточно подробными. Все вычисления

необходимо делать полностью. Чертежи и графики должны быть

выполнены аккуратно, с указанием единиц масштаба, координатных осей

и других элементов чертежа. Для замечаний преподавателя необходимо

оставлять на каждой странице поля шириной 3-4 см и после каждой

задачи оставлять место 4-5 клеток.

2. Контрольная работа сдается как минимум за 10 дней до начала экзаменационной сессии на кафедру ( не преподавателю лично).

3) контрольная работа считается зачтенной,если в ней верно решено более 80% всех заданий

4. После получения незачтенной работы студент должен в короткий срок

исправить все ошибки в этой же тетради и сдать работу на проверку

повторно.

5. Контрольные работы должны выполняться самостоятельно. Не

самостоятельно выполненные работы автоматически считаются

незачтенными.

6. Студент выполняет тот вариант контрольной работы, который совпадает с

последней цифрой зачетной книжки (если шифр заканчивается цифрой 0,

то студент выполняет работу 10 варианта).

Вопросы, которые должны быть разобраны перед выполнением работы:

1. Определение эконометрики. Предмет и методы эконометрики.

2. Классификация моделей и типы данных.

3. Этапы построения эконометрической модели.

4. Модель парной регрессии.

5. Случайный член, причины его существования.

6. Условия нормальной линейной регрессии (Гаусса-Маркова)

7. Метод наименьших квадратов.

8. Свойства коэффициентов регрессии.

9. Нелинейная регрессия. Методы линеаризации.

10. Функциональная спецификация модели парной регрессии.

11. Интерпретация линейного уравнения регрессии.

12. Определение тесноты связи между факторами: линейный коэффициент корреляции, коэффициент детерминации.

13. Оценка тесноты связи в нелинейной регрессионной модели.

14. Оценка существенности параметров и статистическая проверка гипотез. t-критерий Стьюдента.

15. Взаимосвязь t-статистики и F-статистики для парной регрессии.

16. Коэффициент эластичности. Его смысл и определение.

17. Оценка статистической значимости уравнения в целом. F-критерий Фишера.

18. Модель множественной регрессии.

19. Ограничения модели множественной регрессии.

20. Идентификация параметров множественной регрессии МНК.

21. Интерпретация множественного уравнения регрессии.

22. Показатели тесноты связи в множественном регрессионном анализе - парные и частные коэффициенты корреляции.

23. Стандартизированное уравнение множественной регрессии.

24. Коэффициент множественной корреляции, скорректированный коэффициент множественной корреляции, множественный коэффициент детерминации.

25. Оценка статистической значимости множественных коэффициентов регрессии, t-критерий Стьюдента.

26. Модели с переменной структурой (фиктивные переменные).

27. Оценка статистической значимости множественного уравнения регрессии, F-критерий Фишера.

28. Спецификация модели множественной регрессии. Свойства множественных коэффициентов регрессии.

29. Решение проблемы выбора модели (с ограничением и без ограничения).

30. Методы отбора факторов: априорный и апостериорный подходы.

31. Гетероскедастичность и автокорреляция случайного члена.

32. Автокорреляция 1-го порядка и критерий Дарбина-Уотсона.

33. Тест серий (критерий Бреуша-Годфри)

34. Обобщенная регрессионная модель

35. Тесты на гетероскедастичность: Голдфелда-Квандта, тест Уайта.

36. Системы регрессионных (одновременных) уравнений.

37. Структурная и приведенная формы модели.

38. Эндогенные и экзогенные переменные. Проблема идентифицируемости систем уравнений.

39. Оценивание параметров в системах одновременных уравнений: косвенный и двухшаговый МНК.

40. Основные модели временных рядов.

41. Проверка точности и адекватности моделей временных рядов.

42. Модели распределенных лагов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

а) основная литература

1 Эконометрика: учебник / И.И. Елисеева [и др.]. – 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 2005.-576 с.

1. Практикум по эконометрике: учеб. пособие / И.И. Елисеева [и др.]. – 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 2006.-344 с.

2. Тихомиров, Н.П. Эконометрика: учебник / Н.П. Тихомиров, Е.Ю. Дорохина – М.: Изд-во «Экзамен», 2003.–512 с.

3. Дорохина, Е.Ю. Сборник задач по эконометрике: учебное пособие / Е.Ю. Дорохина, Л.Ф. Преснякова, Н.П. Тихомиров. – М.: Изд-во «Экзамен», 2003. – 224 с.

4. Кремер, Н.Ш. Эконометрика: учебник для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002.–311 с.

5. Берндт, Э. Практика эконометрики: классика и современность: учебник. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. – 863 с.

6. Магнус, Я.Р. Эконометрика. Начальный курс: учеб. – 4-е изд. / Я.Р. Магнус, П.К. Катышев, А.А. Пересецкий. – М.: Дело, 2006.-500 с.

7. Доугерти, К. Введение в эконометрику. – М.: ИНФРА-М, 2006.-402 с.

8. Бородич, С.А. Эконометрика: уч. пособие. – Мн.: Новое знание, 2006.– 408 с.

9. Сигел, Э. Практическая бизнес-статистика. – М.: 2002.-1056 с.

10. Новак, Э. Введение в методы эконометрики / сборник задач – М.: Финансы и статистика, 2004. – 248 с.

11. Кобелев Н.Б. Практика применения экономико-математических методов и моделей: учеб.практ.пособие – М.: ЗАО «Финстатинформ», 2000.-157 с.

12. Шикин, Е.В. Математические методы и модели в управлении. / Е.В. Шикин, А.Г. Чхартишвили. – М.: Дело, 2000.-438 с.

б) дополнительная литература

1. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика: Начальный курс: Учебник.- М.: Дело, 2004.

2. Тихомиров Н.П., Дорохина Е.Ю. Эконометрика: Учебник. – М.: Экзамен, 2003.

3. Новиков А.И. Эконометрика: Учебное пособие. М.: ИНФРА-М 2006.

Методические указания по выполнению контрольной работы

Эконометрика – наука, которая дает количественное выражение взаимосвязей экономических явлений и процессов.

Эконометрика связывает между собой экономическую теорию и экономическую статистику и с помощью математико-статистических методов придает конкретное количественное выражение общим закономерностям, устанавливаемым экономической теорией.

Предметом эконометрики являются массовые экономические явления.

Главным инструментом эконометрики служит эконометрическая модель, которая представляет собой либо одно уравнение; либо систему уравнений.

Эконометрика изучает массовые явления в экономике через статистические совокупности, а последние через признаки, которыми характеризуются единицы этой совокупности.

Признаки могут находиться в связи между собой. Взаимосвязанные признаки могут выступать в одной из ролей:

- роли признака-результата (аналог зависимой переменной (y) в математике);

- роли признака-фактора, значения которого определяют значение признака-результата (аналог независимой переменной (x) в математике).

Связи классифицируют по степени тесноты, направлению, форме, числу факторов.

• По степени тесноты связи делят на статистические (стохастические) и функциональные.

Статистическая (стохастическая) связь – это такая связь между признаками, при которой для каждого значения признака-фактора х признак-результат (y) может в определенных пределах принимать любые значения с некоторыми вероятностями; при этом его статистические (массовые) характеристики (например, среднее значение) изменяются по определенному закону.

Статистическая связь обусловлена:

1) тем, что на результативный признак оказывают влияние не только фактор (факторы), учтенные в модели, но и неучтенные или неконтролируемые факторы;

2) неизбежностью ошибок измерения значений признаков.

Модель статистической связи может быть представлена в общем виде уравнениями:

y_i=f(x1_i,u_i) (i=1,2,…,n) - для модели с одним фактором,

y_i=f(x1_i,...,xm_i,u_i), (i=1,2,…,n) – для модели с множеством факторов,

где y_i - фактическое значение результативного признака для i-ой единицы статистической совокупности;

f(x1_i,...,xm_i) - часть результативного признака, сформировавшаяся под воздействием учтенных известных факторных признаков (xj_i, j=1;m);

u_i - часть результативного признака, сформировавшаяся под воздействием неконтролируемых или неучтенных факторов, а также ошибок измерения признаков.

Противоположной статистической связи является функциональная.

Функциональной называется такая связь, когда каждому возможному значению признака-фактора (х) соответствует одно или несколько строго определенных значений результативного признака (y). Определение функциональной связи может быть легко обобщено для случая многих признаков х1, х2,…,хm. модель функциональной связи в общем виде можно представить уравнением:

y_i=f(x1_i,...,xm_i).

• По направлению изменений результативного и факторного признаков связи делят на прямые и обратные.

• По форме связи (виду функции f) связи делят на прямолинейные (линейные) и криволинейные (нелинейные).

• По количеству факторов в модели связи подразделяют на однофакторные (парные) и многофакторные.

ЛИНЕЙНЫЙ ПАРНЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

Одним из методов изучения стохастических связей между признаками является регрессионный анализ.

Регрессионный анализ представляет собой вывод уравнения регрессии, с помощью которого находится средняя величина случайной переменной (признака-результата), если величина другой (или других) переменных (признаков-факторов) известна. Он включает следующие этапы:

1) выбор формы связи (вида аналитического уравнения регрессии);

2) оценку параметров уравнения;

3) оценку качества аналитического уравнения регрессии.

Наиболее часто для описания статистической связи признаков используется линейная форма. Внимание к линейной связи объясняется четкой экономической интерпретацией ее параметров, ограниченной вариацией переменных и тем, что в большинстве случаев нелинейные формы связи для выполнения расчетов преобразуют (путем логарифмирования или замены переменных) в линейную форму.

В случае линейной парной связи уравнение регрессии примет вид: . Параметры данного уравнения а и b оцениваются по данным статистического наблюдения x и y. Результатом такой оценки является уравнение: , где , - оценки параметров a и b, - значение результативного признака (переменной), полученное по уравнению регрессии (расчетное значение).

Наиболее часто для оценки параметров используют метод наименьших квадратов (МНК).

Метод наименьших квадратов дает наилучшие (состоятельные, эффективные и несмещенные) оценки параметров уравнения регрессии. Но только в том случае, если выполняются определенные предпосылки относительно случайного члена (u) и независимой переменной (x).

Задача оценивания параметров линейного парного уравнения методом наименьших квадратов состоит в следующем:

получить такие оценки параметров , , при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака - y_i от расчетных значений – минимальна.

Формально критерий МНК можно записать так:

.

Проиллюстрируем суть данного метода графически. Для этого построим точечный график по данным наблюдений (x_i,y_i, i=1;n) в прямоугольной системе координат (такой точечный график называют корреляционным полем). Попытаемся подобрать прямую линию, которая ближе всего расположена к точкам корреляционного поля. Согласно методу наименьших квадратов линия выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками корреляционного поля и этой линией была бы минимальной.

y

y’_i

y_i

x

х _i

Математическая запись данной задачи:

.

Значения y_i и x_i i=1;n нам известны, это данные наблюдений. В функции S они представляют собой константы. Переменными в данной функции являются искомые оценки параметров - , . Чтобы найти минимум функции 2-ух переменных необходимо вычислить частные производные данной функции по каждому из параметров и приравнять их нулю, т.е. .

В результате получим систему из 2-ух нормальных линейных уравнений:

Решая данную систему, найдем искомые оценки параметров:

Правильность расчета параметров уравнения регрессии может быть проверена сравнением сумм (возможно некоторое расхождение из-за округления расчетов).

Для расчета оценок параметров , можно построить таблицу 1.

Знак коэффициента регрессии b указывает направление связи (если b0, связь прямая, если bb показывает на сколько единиц изменится в среднем признак-результат -y при изменении признака-фактора - х на 1 единицу своего измерения.

Формально значение параметра а – среднее значение y при х равном нулю. Если признак-фактор не имеет и не может иметь нулевого значения, то вышеуказанная трактовка параметра а не имеет смысла.

Оценка тесноты связи между признаками осуществляется с помощью коэффициента линейной парной корреляции - r_x,y. Он может быть рассчитан по формуле: . Кроме того, коэффициент линейной парной корреляции может быть определен через коэффициент регрессии b: .

Область допустимых значений линейного коэффициента парной корреляции от –1 до +1. Знак коэффициента корреляции указывает направление связи. Если r_x,y0, то связь прямая; если r_x,y

Если данный коэффициент по модулю близок к единице, то связь между признаками может быть интерпретирована как довольно тесная линейная. Если его модуль равен единице r_x,y =1, то связь между признаками функциональная линейная. Если признаки х и y линейно независимы, то r_x,y близок к 0.

Для расчета r_x,y можно использовать также таблицу 1.

Таблица 1

N наблюдения	xi	yi	xi ∙yi
1	x1	y1	x1·y1
2	x2	y2	x2·y2
...
n	xn	yn	xn·yn
Сумма по столбцу	x	y	 x·y
Среднее значение

Для оценки качества полученного уравнения регрессии рассчитывают теоретический коэффициент детерминации – R²_yx:

,

где ² – объясненная уравнением регрессии дисперсия y;

²- остаточная (необъясненная уравнением регрессии) дисперсия y;

²_y - общая (полная) дисперсия y.

Коэффициент детерминации характеризует долю вариации (дисперсии) результативного признака y, объясняемую регрессией (а, следовательно, и фактором х), в общей вариации (дисперсии) y. Коэффициент детерминации R²_yx принимает значения от 0 до 1. Соответственно величина 1-R²_yx характеризует долю дисперсии y, вызванную влиянием прочих неучтенных в модели факторов и ошибками спецификации.

При парной линейной регрессии R²_yx=r²_yx.

Оценка статистической значимости параметров уравнения регрессии.

С помощью МНК мы получили лишь оценки параметров уравнения регрессии, которые характерны для конкретного статистического наблюдения (конкретного набора значений x и y). Если оценку параметров произвести по данным другого статистического наблюдения (другому набору значений x и y), то получим другие численные значения , . Мы предполагаем, что все эти наборы значений x и y извлечены из одной и той же генеральной совокупности. Чтобы проверить, значимы ли параметры, т.е. значимо ли они отличаются от нуля для генеральной совокупности используют статистические методы проверки гипотез.

В качестве основной (нулевой) гипотезы выдвигают гипотезу о незначимом отличии от нуля параметра или статистической характеристики в генеральной совокупности. Наряду с основной (проверяемой) гипотезой выдвигают альтернативную (конкурирующую) гипотезу о неравенстве нулю параметра или статистической характеристики в генеральной совокупности. В случае если основная гипотеза окажется неверной, мы принимаем альтернативную. Для проверки этой гипотезы используется t-критерий Стьюдента.

Найденное по данным наблюдений значение t-критерия (его еще называют наблюдаемым или фактическим) сравнивается с табличным (критическим) значением, определяемым по таблицам распределения Стьюдента (которые обычно приводятся в конце учебников и практикумов по статистике или эконометрике). Табличное значение определяется в зависимости от уровня значимости () и числа степеней свободы, которое в случае линейной парной регрессии равно (n-2), n-число наблюдений.

Если фактическое значение t-критерия больше табличного (по модулю), то основную гипотезу отвергают и считают, что с вероятностью (1-) параметр или статистическая характеристика в генеральной совокупности значимо отличается от нуля.

Если фактическое значение t-критерия меньше табличного (по модулю), то нет оснований отвергать основную гипотезу, т.е. параметр или статистическая характеристика в генеральной совокупности незначимо отличается от нуля при уровне значимости .

Для параметра b критерий проверки имеет вид:

,

где - оценка коэффициента регрессии, полученная по наблюдаемым данным;

– стандартная ошибка коэффициента регрессии.

Для линейного парного уравнения регрессии стандартная ошибка коэффициента вычисляется по формуле:

.

Числитель в этой формуле может быть рассчитан через коэффициент детерминации и общую дисперсию признака-результата: .

Для параметра a критерий проверки гипотезы о незначимом отличии его от нуля имеет вид:

,

где - оценка параметра регрессии, полученная по наблюдаемым данным;

– стандартная ошибка параметра a.

Для линейного парного уравнения регрессии:

.

Для проверки гипотезы о незначимом отличии от нуля коэффициента линейной парной корреляции в генеральной совокупности используют следующий критерий:

, где r_yx - оценка коэффициента корреляции, полученная по наблюдаемым данным; _r – стандартная ошибка коэффициента корреляции r_yx.

Для линейного парного уравнения регрессии:

.

В парной линейной регрессии между наблюдаемыми значениями критериев существует взаимосвязь: t _(b=0)=t_(r=0).

Прогноз ожидаемого значения результативного признака y по линейному парному уравнению регрессии.

Пусть требуется оценить значение признака-результата для заданного значения признака-фактора (х^р). Прогнозируемое значение признака-результата c доверительной вероятностью равной (1-) принадлежит интервалу прогноза:

( -t·_p; +t·_p),

где - точечный прогноз;

t – коэффициент доверия, определяемый по таблицам распределения Стьюдента в зависимости от уровня значимости  и числа степеней свободы (n-2);

_p- средняя ошибка прогноза.

Точечный прогноз рассчитывается по линейному уравнению регрессии, как: .

Средняя ошибка прогноза определяется по формуле:

.

МНОЖЕСТВЕННЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

Построение уравнения множественной регрессии начинается с решения вопроса о спецификации модели, который в свою очередь включает 2 круга вопросов: отбор факторов и выбор уравнения регрессии.

Отбор факторов обычно осуществляется в два этапа:

1) теоретический анализ взаимосвязи результата и круга факторов, которые оказывают на него существенное влияние;

2) количественная оценка взаимосвязи факторов с результатом. При линейной форме связи между признаками данный этап сводится к анализу корреляционной матрицы (матрицы парных линейных коэффициентов корреляции):

r_y,y r_y,x1 r_yx2 .... r_y,xm

r_x1,y r_x1,x2 r_x2x2 .... r_x2,xm

......

r_xm,y r_xm,x1 r_xm,x2 .... r_xm,xm

где r_y,xj – линейный парный коэффициент корреляции, измеряющий тесноту связи между признаками y и хj j=1;m, m -число факторов.

r_xj,xk – линейный парный коэффициент корреляции, измеряющий тесноту связи между признаками хj и хk j,k=1;m.

Факторы, включаемые во множественную регрессию, должны отвечать следующим требованиям:

1. Они должны быть количественно измеримы. Если необходимо включить в модель качественный фактор, не имеющий количественного измерения, то ему нужно придать количественную определенность (например, в модели урожайности качество почвы задается в виде баллов).

2. Каждый фактор должен быть достаточно тесно связан с результатом (т.е. коэффициент парной линейной корреляции между фактором и результатом должен быть существенным).

3. Факторы не должны быть сильно коррелированы друг с другом, тем более находиться в строгой функциональной связи (т.е. они не должны быть интеркоррелированы). Разновидностью интеркоррелированности факторов является мультиколлинеарность - тесная линейная связь между факторами.

Мультиколлинеарность может привести к нежелательным последствиям:

1) оценки параметров становятся ненадежными. Они обнаруживают большие стандартные ошибки. С изменением объема наблюдений оценки меняются (не только по величине, но и по знаку), что делает модель непригодной для анализа и прогнозирования.

2) затрудняется интерпретация параметров множественной регрессии как характеристик действия факторов в «чистом» виде, ибо факторы коррелированны; параметры линейной регрессии теряют экономический смысл;

3) становится невозможным определить изолированное влияние факторов на результативный показатель.

Мультиколлинеарность имеет место, если определитель матрицы межфакторной корреляции близок к нулю:

.

Если же определитель матрицы межфакторной корреляции близок к единице, то мультколлинеарности нет.Существуют различные подходы преодоления сильной межфакторной корреляции. Простейший из них – исключение из модели фактора (или факторов), в наибольшей степени ответственных за мультиколлинеарность при условии, что качество модели при этом пострадает несущественно (а именно, теоретический коэффициент детерминации -R²_y(x1...xm) снизится несущественно).

Определение факторов, ответственных за мультиколлинеарность, может быть основано на анализе матрицы межфакторной корреляции. При этом определяют пару признаков-факторов, которые сильнее всего связаны между собой (коэффициент линейной парной корреляции максимален по модулю). Из этой пары в наибольшей степени ответственным за мультиколлинеарность будет тот признак, который теснее связан с другими факторами модели (имеет более высокие по модулю значения коэффициентов парной линейной корреляции).

Еще один способ определения факторов, ответственных за мультиколлинеарность основан на вычислении коэффициентов множественной детерминации (R²_{xj(x1,...,xj-1,xj+1,...,xm)}), показывающего зависимость фактора xj от других факторов модели x1,...,xj-1, xj+1,...,xm. Чем ближе значение коэффициента множественной детерминации к единице, тем больше ответственность за мультиколлинеарность фактора, выступающего в роли зависимой переменной. Сравнивая между собой коэффициенты множественной детерминации для различных факторов можно проранжировать переменные по степени ответственности за мультиколлинеарность.

При выборе формы уравнения множественной регрессии предпочтение отдается линейной функции:

y_i=a+b₁·x1_i+ b₂·x2_i+...+ b_m·xm_i+u_i

в виду четкой интерпретации параметров.

Данное уравнение регрессии называют уравнением регрессии в естественном (натуральном) масштабе. Коэффициент регрессии b_j при факторе хj называют условно-чистым коэффициентом регрессии. Он измеряет среднее по совокупности отклонение признака-результата от его средней величины при отклонении признака-фактора хj на единицу, при условии, что все прочие факторы модели не изменяются (зафиксированы на своих средних уровнях).

Если не делать предположения о значениях прочих факторов, входящих в модель, то это означало бы, что каждый из них при изменении хj также изменялся бы (так как факторы связаны между собой), и своими изменениями оказывали бы влияние на признак-результат.

Расчет параметров уравнения линейной множественной регрессии

Параметры уравнения множественной регрессии можно оценить методом наименьших квадратов, составив и решив систему нормальных линейных уравнений.

Кроме того, для линейной множественной регрессии существует другой способ реализации МНК при оценке параметров - через -коэффициенты (через параметры уравнения регрессии в стандартных масштабах).

Модель регрессии в стандартном масштабе предполагает, что все значения исследуемых признаков переводятся в стандарты (стандартизованные значения) по формулам:

, j=1;m,

где хj_i - значение переменной хj_i в i-ом наблюдении.

_.

Таким образом, начало отсчета каждой стандартизованной переменной совмещается с ее средним значением, а в качестве единицы изменения принимается ее среднее квадратическое отклонение . Если связь между переменными в естественном масштабе линейная, то изменение начала отсчета и единицы измерения этого свойства не нарушат, так что и стандартизованные переменные будут связаны линейным соотношением:

.

Для оценки -коэффциентов применим МНК. При этом система нормальных уравнений будет иметь вид:

r_x1y=1+r_x1x2∙2+…+ r_x1xm∙m

r_x2y= r_x2x1∙1+2+…+ r_x2xm∙m

…

r_xmy= r_xmx1∙1+r_xmx2∙2+…+m

Найденные из данной системы –коэффициенты позволяют определить значения коэффициентов в регрессии в естественном масштабе по формулам:

, j=1;m; .

Показатели тесноты связи факторов с результатом.

Если факторные признаки различны по своей сущности и (или) имеют различные единицы измерения, то коэффициенты регрессии b_j при разных факторах являются несопоставимыми. Поэтому уравнение регрессии дополняют соизмеримыми показателями тесноты связи фактора с результатом, позволяющими ранжировать факторы по силе влияния на результат. К таким показателям тесноты связи относят: частные коэффициенты эластичности, –коэффициенты, частные коэффициенты корреляции.

Частные коэффициенты эластичности Э_j рассчитываются по формуле: . Частный коэффициент эластичности показывают, на сколько процентов в среднем изменяется признак-результат y с изменением признака-фактора хj на один процент от своего среднего уровня при фиксированном положении других факторов модели. В случае линейной зависимости Э_j рассчитываются по формуле: , где – оценка коэффициента регрессии при j–ом факторе.

Стандартизированные частные коэффициенты регрессии - -коэффициенты (_j) показывают, на какую часть своего среднего квадратического отклонения _у изменится признак-результат y с изменением соответствующего фактора хj на величину своего среднего квадратического отклонения (_хj) при неизменном влиянии прочих факторов (входящих в уравнение).

По коэффициентам эластичности и -коэффициентам могут быть сделаны противоположные выводы. Причины этого: а) вариация одного фактора очень велика; б) разнонаправленное воздействие факторов на результат.

Коэффициент _j может также интерпретироваться как показатель прямого (непосредственного) влияния j-ого фактора (x_j) на результат (y). Во множественной регрессии j-ый фактор оказывает не только прямое, но и косвенное (опосредованное) влияние на результат (т.е. влияние через другие факторы модели). Косвенное влияние измеряется величиной: , где m- число факторов в модели. Полное влияние j-ого фактора на результат равное сумме прямого и косвенного влияний измеряет коэффициент линейной парной корреляции данного фактора и результата – r_xj,y.

Коэффициент частной корреляции измеряет «чистое» влияние фактора на результат при устранении воздействия прочих факторов модели.

Для расчета частных коэффициентов корреляции могут быть использованы парные коэффициенты корреляции.

Для случая зависимости y от двух факторов можно вычислить 2 коэффициента частной корреляции:

,

(фактор х2 фиксирован).

(фактор х1 фиксирован).

Это коэффициенты частной корреляции 1-ого порядка (порядок определяется числом факторов, влияние которых устраняется).

Частные коэффициенты корреляции, рассчитанные по таким формулам изменяются от –1 до +1. Они используются не только для ранжирования факторов модели по степени влияния на результат, но и также для отсева факторов. При малых значениях r_{yxm/x1,x2…xm-1} нет смысла вводить в уравнение m-ый фактор, т.к. его чистое влияние на результат несущественно.

Коэффициенты множественной детерминации и корреляции характеризуют совместное влияние всех факторов на результат.

По аналогии с парной регрессией можно определить долю вариации результата, объясненной вариацией включенных в модель факторов (²), в его общей вариации (²_y). Ее количественная характеристика – теоретический множественный коэффициент детерминации (R²_y(x1,...,xm)). Для линейного уравнения регрессии данный показатель может быть рассчитан через -коэффициенты, как:

.

- коэффициент множественной корреляции. Он принимает значения от 0 до 1 (в отличии от парного коэффициента корреляции, который может принимать отрицательные значения). Поэтому R не может быть использован для интерпретации направления связи. Чем плотнее фактические значения y_i располагаются относительно линии регрессии, тем меньше остаточная дисперсия и, следовательно, больше величина R_y(x1,...,xm). Таким образом, при значении R близком к 1, уравнение регрессии лучше описывает фактические данные и факторы сильнее влияют на результат. При значении R близком к 0 уравнение регрессии плохо описывает фактические данные и факторы оказывают слабое воздействие на результат.

Оценка значимости полученного уравнения множественной регрессии.

Оценка значимости уравнения множественной регрессии осуществляется путем проверки гипотезы о равенстве нулю коэффициент детерминации рассчитанного по данным генеральной совокупности: или b₁= b₂=…=b_m=0 (гипотеза о незначимости уравнения регрессии, рассчитанного по данным генеральной совокупности).

Для ее проверки используют F-критерий Фишера.

При этом вычисляют фактическое (наблюдаемое) значение F-критерия, через коэффициент детерминации R²_y(x1,...,xm), рассчитанный по данным конкретного наблюдения:

, где n-число наблюдений; h – число оцениваемых параметров (в случае двухфакторной линейной регрессии h=3).

По таблицам распределения Фишера-Снедоккора находят критическое значение F-критерия (F_кр). Для этого задаются уровнем значимости  (обычно его берут равным 0,05) и двумя числами степеней свободы k1=h-1 и k2=n-h.

Сравнивают фактическое значение F-критерия (F_набл) с табличным F_кр(;k1;k2). Если F_наблF_кр(;k1;k2), то гипотезу о незначимости уравнения регрессии не отвергают. Если F_наблF_кр(;k1;k2), то выдвинутую гипотезу отвергают и принимают альтернативную гипотезу о статистической значимости уравнения регрессии.

Задание № 2

На основе данных, приведенных в Приложении и соответствующих Вашему варианту (таблица 2), требуется:

1. Построить уравнение множественной регрессии. При этом признак-результат и один из факторов остаются теми же, что и в первом задании. Выберите дополнительно еще один фактор из приложения 1 (границы наблюдения должны совпадать с границами наблюдения признака-результата, соответствующего Вашему варианту). При выборе фактора нужно руководствоваться его экономическим содержанием или другими подходами. Пояснить смысл параметров уравнения.

2. Рассчитать частные коэффициенты эластичности. Сделать вывод.

3. Определить стандартизованные коэффициенты регрессии (-коэффициенты). Сделать вывод.

4. Определить парные и частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент корреляции; сделать выводы.

5. Оценить значимость параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента, а также значимость уравнения регрессии в целом с помощью общего F-критерия Фишера. Предложить окончательную модель (уравнение регрессии). Сделать выводы.

CИСТЕМЫ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Не всегда получается описать адекватно сложное социально-экономическое явление с помощью только одного соотношения (уравнения). Кроме того, некоторые переменные могут оказывать взаимные воздействия и трудно однозначно определить, какая из них является зависимой, а какая независимой переменной. Поэтому при построении эконометрической модели прибегают к системам уравнений.

В любой эконометрической модели в зависимости от конечных прикладных целей ее использования все участвующие в ней переменные подразделяются на:

• Экзогенные (независимые) – значения которых задаются «извне», автономно, в определенной степени они являются управляемыми (планируемыми) (X);

• Эндогенные (зависимые) - значения которых определяются внутри модели, или взаимозависимые (Y).

• Лаговые – экзогенные или эндогенные переменные эконометрической модели, датированные предыдущими моментами времени и находящиеся в уравнении с текущими переменными. Например:

y_t – текущая эндогенная переменная,

y_t-1 – лаговая эндогенная переменная (отстоящая от текущей на 1 период назад),

y_t-2 – тоже лаговая эндогенная переменная (отстоящая от текущей на 2 периода).

• Предопределенные переменные – переменные, определяемые вне модели. К ним относятся лаговые и текущие экзогенные переменные (x_t, x_t-1), а также лаговые эндогенные переменные (y_t-1).

Все эконометрические модели предназначены для объяснения текущих значений эндогенных переменных по значениям предопределенных переменных.

В дальнейшем для простоты будем рассматривать в качестве предопределенных переменных только текущие экзогенные переменные (х).

Система уравнений в эконометрических исследованиях может быть построена по-разному. Выделяют следующие 3 вида систем уравнений.

1. Система независимых уравнений, когда каждая зависимая переменная (y) рассматривается как функция только от предопределенных переменных (х):

1. Система рекурсивных уравнений, когда в каждом последующем уравнении системы зависимая переменная представляет функцию от зависимых и предопределенных переменных предшествующих уравнений:

В рассмотренных 2-ух видах систем каждое уравнение может рассматриваться самостоятельно, и его параметры можно определить с помощью метода наименьших квадратов (МНК).

1. Система взаимозависимых (совместных, одновременных) уравнений, когда зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть (т.е. выступают в роли признаков-результатов), а в других уравнениях – в правую часть системы (т.е. выступают в роли признаков-факторов) одновременно:

Название «система одновременных уравнений» подчеркивает тот факт, что в системе одни и те же переменные одновременно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях и как независимые в других.

В отличие от предыдущих систем каждое уравнение системы одновременных уравнений не может рассматриваться самостоятельно, и для нахождения его параметров традиционный МНК неприменим, т.к. нарушаются предпосылки, лежащие в основе МНК. В результате оценки параметров получаются смещенными.

В эконометрике эта система уравнений также называется структурной формой модели.

Некоторые из уравнений системы могут быть представлены в виде тождеств, т.е. параметры этих уравнений являются константами.

От структурной формы легко перейти к так называемой приведенной форме модели. Число уравнений в приведенной форме равно числу эндогенных переменных модели. В каждом уравнении приведенной формы эндогенная переменная выражается через все предопределенные переменные модели:

Так как правая часть каждого из уравнений приведенной формы содержит только предопределенные переменные и остатки, а левая часть только одну из эндогенных переменных, то такая система является системой независимых уравнений. Поэтому параметры каждого из уравнений системы в приведенной форме можно определить независимо обычным МНК.

Зная оценки этих приведенных коэффициентов можно определить параметры структурной формы модели. Но не всегда, а только если модель является идентифицируемой.

Проблема идентификации.

Модель считается точно идентифицированной, если все ее уравнения точно идентифицированны.

Если среди уравнений модели есть хотя бы одно сверхидентифицированное уравнение, то вся модель считается сверхидентифицированной.

Если среди всех уравнений модели есть хотя бы одно неидентифицированное, то вся модель считается неидентифицированной.

Уравнение называется точно идентифицированным, если оценки структурных параметров можно однозначно (единственным способом) найти по коэффициентам приведенной модели.

Уравнение сверхидентифицировано, если для некоторых структурных параметров можно получить более одного численного значения.

Уравнение называется неидентифицированным, если оценки его структурных параметров невозможно найти по коэффициентам приведенной модели.

Правила идентификации - необходимое и достаточное условия идентификации (применяются только к структурной форме модели).

Введем следующие обозначения:

M- число предопределенных переменных в модели;

m- число предопределенных переменных в данном уравнении;

K – число эндогенных переменных в модели;

k – число эндогенных переменных в данном уравнении.

Необходимое (но недостаточное) условие идентификации уравнения модели:

Для того чтобы уравнение модели было идентифицируемо, необходимо, чтобы число предопределенных переменных, не входящих в уравнение, было не меньше «числа эндогенных переменных, входящих в уравнение минус 1», т.е. : M-m=k-1;

Если M-m=k-1 , уравнение точно идентифицированно.

Если M-mk-1, уравнение сверхидентифицированно.

Эти правила следует применять в структурной форме модели.

Достаточное условие идентификации уравнения модели.

Введем обозначения: А – матрица коэффициентов при переменных не входящих в данное уравнение.

Достаточное условие идентификации заключается в том, что ранг матрицы А должен быть равен (К-1). Ранг матрицы – размер наибольшей ее квадратной подматрицы, определитель которой не равен нулю.

Сформулируем необходимое и достаточное условия идентификации уравнения модели:

1) Если M-mk-1 и ранг матрицы А равен К-1, то уравнение сверхидентифицированно.

2) Если M-m=k-1 и ранг матрицы А равен К-1, то уравнение точно идентифицированно.

3) Если M-m=k-1 и ранг матрицы А меньше К-1, то уравнение неидентифицированно.

4) Если M-m-1, то уравнение неидентифицированно. В этом случае ранг матрицы А будет меньше К-1.

Оценка точно идентифицированного уравнения осуществляется с помощью косвенного метода наименьших квадратов (КМНК).

Алгоритм КМНК включает 3 шага:

1) составление приведенной формы модели и выражение каждого коэффициента приведенной формы через структурные параметры;

2) применение обычного МНК к каждому уравнению приведенной формы и получение численных оценок приведенных параметров;

3) определение оценок параметров структурной формы по оценкам приведенных коэффициентов, используя соотношения, найденные на шаге 1.

Оценка сверхидентифицированного уравнения осуществляется при помощи двухшагового метода наименьших квадратов.

Алгоритм двухшагового МНК включает следующие шаги:

1) составление приведенной формы модели;

2) применение обычного МНК к каждому уравнению приведенной формы и получение численных оценок приведенных параметров;

3) определение расчетных значений эндогенных переменных, которые фигурируют в качестве факторов в структурной форме модели;

4) определение структурных параметров каждого уравнения в отдельности обычным МНК, используя в качестве факторов входящие в это уравнение предопределенные переменные и расчетные значения эндогенных переменных, полученные на шаге 1.

Рассмотрим пример.

Пусть имеется система:

Требуется составить приведенную форму модели, проверить каждое уравнение структурной модели на идентификацию, и предложить способ оценки параметров структурной формы модели.

Решение:

В этой системе y₁, y₂,y₃ - эндогенные переменные (K=3);

x₁, x₂, x₃ - предопределенные переменные (M=3).

K-1=2; K+M=6.

Составим приведенную форму модели:

Проверим, как выполняется необходимое условие идентификации для каждого уравнения.

Для 1-ого уравнения имеем: k₁=3; m₁=2;

M-m₁=1 k₁-1=2, следовательно, 1-ое уравнение неидентифицированно.

Для 2-ого уравнения имеем: k₂=2; m₂=1;

M-m₂=2 k₂-1=1, следовательно, 2-ое уравнение сверхидентифицированно.

Для 3-его уравнения имеем: k₃=2; m₃=2;

M-m₃=1 = k3-1=1, следовательно, 3-е уравнение точно идентифицированно.

Рассмотрим, как выполняется достаточное условие идентификации для каждого уравнения системы. Для того, чтобы оно выполнялось необходимо, чтобы определитель матрицы А (матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в это уравнение) был равен К-1=2.

Составим матрицу А для 1-ого уравнения системы. В 1-ом уравнении отсутствует лишь одна переменная системы х₃. Поэтому матрица А будет иметь вид:

х₃

0 - во 2-ом уравнении

a₃₃ - в 3-ем уравнении

Ранг данной матрицы равен 1, что меньше К-1=2, следовательно, 1-ое уравнение модели неидентифицированно.

Составим матрицу А для 2-ого уравнения системы. Во 2-ом уравнении отсутствуют переменные y₃, x₂, х₃:

y₃ x₂ x₃

b₁₃ a₁₃ 0 - в 1-ом уравнении

1 a₃₂ a₃₃ - в 3-ем уравнении

Ранг данной матрицы равен 2, что равно К-1=2, следовательно, 2-ое уравнение модели точно идентифицированно.

Составим матрицу А для 3-его уравнения системы. В 3-ем уравнении отсутствуют переменные y₁, x₂:

y₁ x₂

1 a₁₂ - в 1-ом уравнении

b₂₁ 0 - во 2-ом уравнении

Ранг данной матрицы равен 1, что меньше К-1=2, следовательно, 3-е уравнение модели неидентифицированно.

Сделаем выводы: 1-ое и 3-е уравнения системы неидентифицированны (т.к. не выполняются достаточные условия идентификации, а в случае 1-ого уравнения и необходимое условие также). 2-ое уравнение системы сверхидентифицированно. Следовательно, система в целом является неидентифицируемой.

Для оценки параметров 2-ого уравнения можно применить двухшаговый МНК. Параметры 1-ого и 3-его уравнений определить по коэффициентам приведенной формы нельзя. Поэтому модель должна быть модифицирована.

ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ В ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ

ИССЛЕДОВАНИЯХ

Большинство эконометрических моделей строится как динамические эконометрические модели. Это означает, что моделирование причинно-следственных связей между переменными осуществляется во времени, а исходные данные представлены в форме временных рядов.

Временной ряд х_t (t=1;n) – ряд значений какого-либо показателя за несколько последовательных промежутков времени.

Каждый временной ряд х_t складывается из следующих основных составляющих (компонентов):

1) Тенденции, характеризующей общее направление динамики изучаемого явления. Аналитически тенденция выражается некоторой функцией времени, называемой трендом (Т).

2) Циклической или периодической составляющей, характеризующей циклические или периодические колебания изучаемого явления. Колебания представляют собой отклонения фактических уровней ряда от тренда. Объем продаж некоторых товаров подвержен сезонным колебаниям. Сезонные колебания (S) – периодические колебания, которые имеют определенный и постоянный период равный годовому промежутку. Конъюнктурные колебания (К) связаны с большими экономическими циклами, период таких колебаний – несколько лет.

3) Случайной составляющей, которая является результатом воздействия множества случайных факторов (Е).

Тогда уровень ряда можно представить как функцию от этих составляющих (компонентов): =f(T, K, S, E).

В зависимости от взаимосвязи между составляющими может быть построена либо аддитивная модель: =T+K+S+E, либо мультипликативная модель: =T·K·S·E ряда динамики.

Для определения состава компонентов (структуры временного ряда) в модели временного ряда строят автокорреляционную функцию.

Автокорреляция – корреляционная связь между последовательными уровнями одного и того же ряда динамики (сдвинутыми на определенный промежуток времени L - лаг). То есть, автокорреляция - это связь между рядом: x₁, x₂, ... x_n-l и рядом x_1+l, x_2+l, ...,x_n, где L- положительное целое число. Автокорреляция может быть измерена коэффициентом автокорреляции:

,

где ,

– средний уровень ряда (x_1+L, x_2+L,..., x_n ),

средний уровень ряда (x₁, x₂,..., x_n-L ),

_t , _t-L – средние квадратические отклонения, для рядов (x_1+L, x_2+L,..., x_n ) и (x₁, x₂,..., x_n-L ) соответственно.

Лаг (сдвиг во времени) определяет порядок коэффициента автокорреляции. Если L=1, то имеем коэффициент автокорреляции 1-ого порядка r_t,t-1, если L=2, то коэффициент автокорреляции 2-ого порядка r_t,t-2 и т.д. Следует учитывать, что с увеличением лага на единицу, число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции уменьшается на 1. Поэтому обычно рекомендуют максимальный порядок коэффициента автокорреляции равный n/4.

Рассчитав несколько коэффициентов автокорреляции, можно определить лаг (L), при котором автокорреляция (r_t,t-L) наиболее высокая, выявив тем самым структуру временного ряда. Если наиболее высоким оказывается значение r_t,t-1, то исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался r_t,t-L, то ряд содержит колебания периодом L. Если ни один из r_t,t-L не является значимым, можно сделать одно из двух предположений:

- либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, а его уровень определяется только случайной компонентой;

- либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.

Последовательность коэффициентов автокорреляции 1, 2 и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости значений коэффициентов автокорреляции от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называют коррелограммой.

Для выявления закономерных колебаний внутри года при выполнении контрольной работы рекомендуется рассчитывать не меньше 4-х уровней коэффициентов автокорреляции.

Рассмотрим на примере как построить коррелограмму, чтобы определяется структуру временного ряда.

Пусть нам даны поквартальные данные об объеме выпуска некоторого товара некоторой фирмой –х (усл.ед.) за 3 года:

1993				1994				1995
1	2	3	4	1	2	3	4	1	2	3	4
410	560	715	500	520	740	975	670	705	950	1200	900

Чтобы построить коррелогорамму для нашего примера, исходный ряд динамики дополним рядами из уровней этого ряда, сдвинутыми во времени (таблица 6).

Таблица 6

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
хt	-	560	715	500	520	740	975	670	705	950	1200	900	rt,t-1=0,537
xt-1	-	410	560	715	500	520	740	975	670	705	950	1200
хt	-	-	715	500	520	740	975	670	705	950	1200	900	rt,t-2=0,085
хt-2	-	-	410	560	715	500	520	740	975	670	705	950
хt	-	-	-	500	520	740	975	670	705	950	1200	900	rt,t-3=0,445
хt-3	-	-	-	410	560	715	500	520	740	975	670	705
хt	-	-	-	-	520	740	975	670	705	950	1200	900	rt,t-4=0,990
хt-4	-	-	-	-	410	560	715	500	520	740	975	670
хt	-	-	-	-	-	740	975	670	705	950	1200	900	rt,t-5=0,294
хt-5	-	-	-	-	-	410	560	715	500	520	740	975

Рассчитаем коэффициенты корреляции:

1-ого порядка для рядов х_t и х_t-1,

2-ого порядка для рядов х_t и х_t-2,

3-его порядка для рядов х_t и х_t-3,

4-ого порядка для рядов х_t и х_t-4,

5-ого порядка для рядов х_t и х_t-5

Результаты расчетов представлены в таблице 7.

Таблица 7

Лаг (порядок) – L	rt,t-L	Коррелограмма
1	0,537	****
2	0,085	*
3	0,445	***
4	0,990	*****
5	0,294	**

Вывод: в данном ряду динамики имеется тенденция (т.к. r_t,t-1=0,537 →1) и периодические колебания с периодом (L) равным 4, т.е. имеют место сезонные колебания (т.к. r_t,t-4=0,99 →1).

Построение модели временного ряда с сезонными колебаниями (аддитивная модель).

Процесс построения модели временного ряда (х), содержащего n уровней некоторого показателя за Z лет, с L сезонными колебаниями включает следующие шаги:

1) Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней (х^c). Произведем выравнивание исходного ряда взятого из примера, рассмотренного выше, методом скользящей средней с периодом усреднения равным 3. Результаты представлены в таблице 9 (столбец 4).

2) Расчет значений сезонной составляющей S_i, i=1;L, где L– число сезонов в году. Для нашего примера L=4 (сезоны - кварталы).

Расчет значений сезонных составляющих осуществляется после устранения тенденции из исходных уровней ряда: x - x^c (столбец 5, таблица 9). Для дальнейшего расчета S_i построим отдельную таблицу. Строки данной таблицы соответствуют сезонам, столбцы - годам. В теле таблицы находятся значения: x - x^c. По этим данным рассчитываются средние оценки сезонных составляющих каждой строке (S^c_i). Если сумма всех средних оценок равна нулю ( ), то данные средние и будут окончательными значениями сезонных составляющих (S_i=S^c_i). Если их сумма не равна нулю, то рассчитываются скорректированные значения сезонных составляющих вычитанием из средней оценки величины равной отношению суммы средних оценок к их общему числу ( ). Для нашего примера расчет значений S_i представлен в таблице 8.

Таблица 8

Номер сезона	Год 1	Год 2	Год 3	Средняя оценка сезонной составляющей	Скорректированная оценка сезонной составляяющей Si
1	-	-66,67	-70,00	-68,33	-67,15
2	-1,67	-5,00	-1,67	-2,78	-1,60
3	123,33	180,00	183,33	162,22	163,40
4	-78,33	-113,33	-	-95,83	-94,66
Итого				-4,72	0

3) Устранение влияния сезонной составляющей из исходного ряда динамики : x^S = x-S_i. Результаты расчета x^S для нашего примера представлены в столбце 6 таблицы 9.

4) Аналитическое выравнивание уровней x^S (построение тренда): .

Расчет параметров при аналитическом выравнивании чаще всего производится с помощью метода наименьших квадратов (МНК). При этом поиск параметров для линейного уравнения тренда можно упростить, если отсчет времени производить так, чтобы сумма показателей времени изучаемого ряда динамики была равна нулю. Для этого вводится новая условная переменная времени t^y, такая, что t^y =0. Уравнение тренда при этом будет следующим: .

При нечетном числе уровней ряда динамики для получения  t^y=0 уровень, находящийся в середине ряда, принимается за условное начало отсчета времени (периоду или моменту времени, соответствующему данному уровню присваивается нулевое значение). Даты времени, расположенные левее этого уровня, обозначаются натуральными числами со знаком минус (-1 –2 –3 ...), а даты времени, расположенные правее этого уровня – натуральными числами со знаком плюс (1 2 3 ...).

Если число уровней ряда четное, периоды времени левой половины ряда (до середины) нумеруются –1, -3, -5 и т.д. А периоды правой половины - +1, +3, +5 и.т.д. При этом t^y будет равна 0.

Система нормальных уравнений (соответствующих МНК) преобразуется к виду:

Отсюда параметры уравнения рассчитываются по формулам:

.

Интерпретация параметров линейного уравнения тренда :

- уровень ряда за период времени t^у=0;

- средний абсолютный прирост уровня ряда за единичный промежуток времени.

В нашем примере четное число уровней ряда: n=12. Следовательно, условная переменная времени для 6-ого элемента ряда будет равна –1, а для 7-ого +1. Значения переменной _i^y содержатся во 2-ом столбце таблицы 9.

Параметры линейного тренда будут: =14257,5/572=24,93; =8845/12=737,08. Это значит, что с каждым кварталом объем выпуска товара в среднем увеличивается на 2∙28,7 усл.ед. А средний за период с 1993 по 1995гг объем выпуска составил 738,75 усл.ед.

Рассчитаем значения трендовой компоненты по формуле (столбец 7 таблицы 9).

5) Учет сезонной составляющей в выровненных уровнях ряда ( =T+S). Результаты расчета для нашего примера представлены в столбце 8 таблицы 9.

6) Расчет абсолютной ошибки временного ряда (Е=x- ) осуществляется для оценки качества полученной модели. Результаты расчета для нашего примера представлены в столбце 9 таблицы 9.

Таблица 9

T	tу	x	xc	x- xc	xs		T		E
1	2	3	4	5	6		7	8	9
1	-11	410	-	-		477,15	462,90	395,75	14,25
2	-9	560	561,67	-1,67		561,60	512,75	511,15	48,85
3	-7	715	591,67	123,33		551,60	562,60	726,00	-11,01
4	-5	500	578,33	-78,33		594,65	612,45	517,80	-17,80
5	-3	520	586,67	-66,67		587,15	662,31	595,15	-75,15
6	-1	740	745,00	-5,00		741,60	712,16	710,56	29,44
7	1	975	795,00	180,00		811,60	762,00	925,41	49,59
8	3	670	783,33	-113,33		764,65	811,86	717,21	-47,21
9	5	705	775,00	-70,00		772,15	861,71	794,56	-89,56
10	7	950	951,67	-1,67		951,60	911,56	909,97	40,03
11	9	1200	1016,67	183,33		1036,60	961,41	1124,82	75,18
12	11	900	-	-		994,65	1011,27	916,61	-16,61
Итого		8845				8845,00	8845,00	8845,00	16,61

Значимость параметров линейного уравнения тренда (Т) определяется на основе t-критерия Стьюдента также как и в линейном парном регрессионном анализе.

Прогнозирование по аддитивной модели.

Пусть требуется дать прогноз уровня временного ряда на период (n+1). Точечный прогноз значения уровня временного ряда х_n+1 в аддитивной модели есть сумма трендовой компоненты и сезонной компоненты (соответствующей i–ому сезону прогноза): =T_n+1+S_i.

Для построения доверительного интервала прогноза нужно рассчитать среднюю ошибку прогноза:

^р = ,

где h- число параметров в уравнении тренда;

t^yp – значение условной переменной времени для периода прогнозирования.

Затем рассчитаем предельную ошибку прогноза: ^р =t_a·_р,

где t_a- коэффициент доверия, определяемый по таблицам Стьюдента по уровню значимости α и числу степеней свободы равным (n-h).

Окончательно получим: ( -^р; +^р).

Описания контрольных заданий

Задание № 1

На основе данных, приведенных в Приложении 1 и соответствующих Вашему варианту (таблица 2), требуется:

1. Рассчитать коэффициент линейной парной корреляции и построить уравнение линейной парной регрессии одного признака от другого. Один из признаков, соответствующих Вашему варианту, будет играть роль факторного (х), другой – результативного (y). Причинно-следственные связи между признаками установить самим на основе экономического анализа. Пояснить смысл параметров уравнения.

2. Определить теоретический коэффициент детерминации и остаточную (необъясненную уравнением регрессии) дисперсию. Сделать вывод.

3. Оценить статистическую значимость уравнения регрессии в целом на пятипроцентном уровне с помощью F-критерия Фишера. Сделать вывод.

4. Выполнить прогноз ожидаемого значения признака-результата y при прогнозном значении признака-фактора х, составляющим 105% от среднего уровня х. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал с вероятностью 0,95.

Таблица 2

Вариант	Номер начального наблюдения	Номер конечного наблюдения	Номер признаков из прил. 1
1	2	3	4
01	1	50	1,2
02	1	50	3,4
03	2	51	1,3
04	2	51	4,5
05	3	52	1,4
06	3	52	2,5
07	4	53	1,5
08	4	53	2,3
09	5	54	1,2
10	5	54	3,4

Задание № 2

На основе данных, приведенных в Приложении и соответствующих Вашему варианту (таблица 2), требуется:

1. Построить уравнение множественной регрессии. При этом признак-результат и один из факторов остаются теми же, что и в первом задании. Выберите дополнительно еще один фактор из приложения 1 (границы наблюдения должны совпадать с границами наблюдения признака-результата, соответствующего Вашему варианту). При выборе фактора нужно руководствоваться его экономическим содержанием или другими подходами. Пояснить смысл параметров уравнения.

2. Рассчитать частные коэффициенты эластичности. Сделать вывод.

3. Определить стандартизованные коэффициенты регрессии (-коэффициенты). Сделать вывод.

4. Определить парные и частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент корреляции; сделать выводы.

5. Оценить значимость параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента, а также значимость уравнения регрессии в целом с помощью общего F-критерия Фишера. Предложить окончательную модель (уравнение регрессии). Сделать выводы.

Задание № 3

На основе данных, приведенных в таблице 3 и соответствующих Вашему варианту (таблица 4) провести идентификацию модели и описать процедуру оценивания параметров уравнений структурной формы модели.

Таблица 3

Уравнение	Вариант уравнения	Коэффициенты перед регрессорами
		y2	y3	x1	x2	x3
y1	1	0	0	a11	a21	a31
	2	0	b31	0	a21	a31
	3	0	b31	a11	a21	0
	4	0	b31	a11	0	a31
	5	b21	b31	a11	0	a31
		y1	y3	x1	x2	x3
y2	1	b12	b32	0	0	a32
	2	b12	0	a12	a22	0
	3	0	b32	a12	a22	a32
	4	b12	b32	a12	a22	0
	5	b12	b32	0	a22	a32
		y1	y2	x1	x2	x3
y3	1	b13	b23	a13	0	0
	2	b13	0	0	a23	a33
	3	b13	0	a13	0	a33
	4	b13	0	a13	a23	a33

Таблица 4

№ варианта контрольной работы	Уравнение
	y1	y2	y3
1	2	3	4
1	y11	y21	y32
2	y11	y21	y33
3	y11	y21	y34
4	y11	y22	y31
5	y11	y22	y32
6	y11	y22	y33
7	y11	y22	y34
8	y11	y23	y31
9	y11	y23	y32
10	y11	y23	y33

Эконометрическая модель содержит три уравнения. Количество эндогенных переменных (y), экзогенных переменных (х) и вид уравнения определяются вариантом контрольной работы (таблицы 3 и 4).

Например, для варианта №1 (номер зачетной книжки заканчивается на 01) формируется система уравнений, содержащая уравнения y11 (1-ый вариант, соответствующий уравнению y1), y21 (1-ый вариант, соответствующий уравнению y2), y32 (2-ой вариант, соответствующий уравнению y3) (см. таблицу 4). В результате из таблицы 3 формируем новую таблицу 5 коэффициентов при переменных, в соответствии с вариантом:

Таблица 5

	y2	y3	x1	x2	x3
y11	0	0	a11	a21	a31
	y1	y3	x1	x2	x3
y21	b12	b32	0	0	a32
	y1	y2	x1	x2	x3
y32	b13	0	0	a23	a33

Таким образом, окончательно система уравнений, соответствующая варианту 01, примет вид:

y1=a₁₁·x1+a₂₁·x2+a₃₁·x3

y2=b₁₂·y1+b₃₂·y3+a₃₂·x3

y3=b₁₃·y1+a₂₃·x2+a₃₃·x3

Задание № 4

На основе данных, приведенных в таблице 10 и соответствующих Вашему варианту (таблица 11), постройте модель временного ряда. Для этого требуется:

1. Построить коррелограмму и определить имеет ли ряд тенденцию и сезонные колебания.

2. Провести сглаживание ряда скользящей средней и рассчитать значения сезонной составляющей.

3. Построить уравнения тренда и сделать выводы.

4. На основе полученной модели сделать прогноз на следующие два квартала с учетом выявленной сезонности.

Таблица 10

Основные показатели развития производственной фирмы

(по сопоставимой оценке)

N наблюдения	Год	Квартал	Объем производства продукции, млн.руб.	Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн.руб.	Среднегодовая численность ППП, чел.,	Дебиторская задолженность, млн.руб.	Среднегодовая стоимость оборотных средств, млн.руб.	Балансовая прибыль, млн. руб.	Чистая прибыль, млн. руб.
А	Б	В	1	2	3	4	5	6	7
1	2002	1	1065	1062	713	25	837	94	36
2		2	851	682	507	27	685	78	27
3		3	531	726	361	34	837	87	22
4		4	922	1153	557	44	1161	75	29
5	2003	1	1095	1213	607	42	1151	84	34
6		2	986	898	598	39	822	63	28
7		3	822	794	368	48	1383	86	30
8		4	1137	1441	646	60	884	82	35
9	2004	1	1301	1600	693	63	1309	78	40
10		2	1038	967	718	40	1028	72	33
11		3	780	1246	363	48	1771	84	33
12		4	1435	1458	639	71	1310	102	40
13	2005	1	1593	1412	708	87	1372	112	36
14		2	1658	891	614	65	1272	92	27
15		3	1363	1061	348	67	1821	99	30
16		4	1737	1287	636	76	1571	113	36
17	2006	1	1719	1635	825	101	1758	95	36
18		2	1521	1166	622	84	1505	79	28
19		3	1049	1230	514	73	2109	112	28
20		4	1790	1514	703	93	1787	116	28
21	2007	1	2016	1642	797	96	2197	90	39

Таблица 11

Номера наблюдений и показатель,

соответствующие варианту контрольной работы

Номер варианта	Номер начального наблюдения	Номер конечного наблюдения	Номер показателя из табл.4
1	2	3	4
1	1	12	1
2	2	13	1
3	3	14	1
4	4	15	1
5	5	16	1
6	6	17	1
7	7	18	1
8	8	19	1
9	9	20	1
10	10	21	1

Приложение

Показатели деятельности производственных предприятий

№ наблюдений	Собственные оборотные средства, млн.руб.		Балансовая прибыль, млн.руб.		Дебиторская задолженность, млн.руб.		Дивиденды, начисленные по результатам деятельности, млн.руб.		Курсовая цена акции, руб.
А	1		2		3		4		5
1	1011		107		37		20,33		92
2	799		102		64		20,04		83
3	995		107		71		19,87		95
4	1243		122		26		20,48		124
5	1507		108		51		20,13		96
6	947		108		41		20,26		106
7	1015		97		78		19,89		70
8	1169		109		43		19,92		97
9	1051		101		68		19,78		76
10	1372		116		34		20,23		112
11	1463		113		49		20,46		113
12	684		112		40		20,07		109
13	1251		106		56		20,23		91
14	1376		111		45		20,26		95
15	1193		113		44		20,28		115
16	1386		122		40		20,52		114
17	1631		118		47		20,28		133
18	1735		119		47		19,97		116
19	1181		102		49		19,97		85
20	922		100		65		19,57		91
21	1281		103		54		19,94		82
22	1333		113		59		20,29		105
23	1632		124		36		20,83		124
24	635		95		70		19,59		70
25	949		102		64		19,76		84
26	788		112		48		20,19		106
27	1728		124		30		20,66		128
28	1773		116		58		19,95		105
29	1679		118		48		20,61		121
30	1085		100		69		20,03		79
31	1214		99		58		19,78		82
32	1422		107		49		20,22		80
33	523		87		76		19,78		37
34	1025		109		59		20,09		101
35	1083		106		74		20,13		98
36	1466		113		54		20,56		98
37	1642		123		36		20,51		134
38	387		82		75		19,71		39
39	704		104		51		20,10		88
40	1177		112		35		20,32		108
41	1792		116		47		20,37		112
42	2072		106		33		20,03		80
43	1178		120		28		20,65		120
44	1304		105		58		20,19		88
45	1308		114		32		20,24		104
46	1416		107		58		20,27		94
47	1185		115		44		20,69		107
48	1220		96		68		19,85		82
49	1311		104		64		19,87		84
50	1288		108		25		20,20		101
51	918		102		54		20,33		98
52	809		102		70		20,20		89
53	1188		120		19		20,46		118
54	1394		106		28		20,17		90
55	1435		114		54		20,62		123
56	1514		112		48		19,79		107
57	1577		112		44		20,34		97
58	1579		122		39		20,51		126
59	1210		122		26		20,04		147
60	1448		108		58		20,39		88
61	1468		114		28		20,27		111
62	1661		113		47		20,06		121
63	989		108		58		20,39		104
64	1007		102		62		19,94		63
65	1030		112		62		19,95		99
66	1099		113		42		20,23		114
67	1197		110		67		20,49		99
68	1386		107		72		20,61		94
69	1498		117		45		20,56		124
70	1672		120		35		20,42		117
71	484		93		69		19,73		64
72		1060		89		62		19,42		52
73		1612		118		36		20,17		114
74		1120		103		42		19,87		78
75		947		98		52		20,26		85
76		1102		95		56		20,04		57
77		1302		106		66		20,34		98
78		1477		123		32		20,63		119
79		820		110		68		20,32		94
80		1231		104		47		20,06		94
81		1311		103		59		20,04		83
82		1843		122		29		20,62		118
83		1215		114		36		20,53		116
84		1284		112		57		20,18		96
85		1336		115		54		20,40		117
86		1412		109		60		20,26		93
87		1447		108		45		19,79		81
88		1593		114		54		20,33		103
89		1663		107		49		20,24		86
90		1114		98		81		19,83		79
91		863		104		61		19,97		92
92		932		107		49		20,10		85
93		978		105		68		20,01		89
94		1621		123		53		20,21		121
95		1199		119		39		20,40		125
96		999		95		49		19,66		69
97		935		93		76		19,37		61
98		1494		120		48		20,25		116
99		817		98		72		19,82		82

39