Методические указания к выполнению практической работы по теме: "Элементы комбинаторики"

к выполнению практической работы

по дисциплине: ОУД 03 «Математика»

Цель: Научиться определять тип выборки, вычислять размещения, сочетания, перестанови.

Форма выполнения работы: групповая.

Форма контроля: зачёт.

Обеспечение: Методические указания к выполнению работы.

Необходимые сведения из теории:

Комбинаторными задачами называются задачи, в которых необходимо подсчитать, сколькими способами можно сделать тот или иной выбор, выполнить какое-либо условие.

• Пусть имеется множество, содержащее n элементов.

Каждое его упорядоченное подмножество, состоящее из k элементов, называется размещением из n элементов по k элементов:

,

где n!=1·2·3·…·n

Размещения отличаются по составу и по порядку элементов.

Пример. Группа учащихся изучает 7 учебных дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание занятий на понедельник, если в этот день недели должно быть 4 различных урока?

Решение.

Число способов равно числу размещений из 7 элементов по 4, т.е. равно .

Получаем =.

• Размещения из n элементов по n элементов называются перестановками из n элементов:

.

Перестановки отличаются по порядку элементов.

Пример. Сколько шестизначных чисел, кратных пяти, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что в числе цифры не повторяются?

Решение.

Цифра 5 обязана стоять на последнем месте. Остальные пять цифр могут стоять на оставшихся пяти местах в любом порядке. Следовательно, искомое число шестизначных чисел, кратных пяти, равно числу перестановок из пяти элементов, т.е. 5!=5·4·3·2·1=120.

• Сочетания. Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Каждое его подмножество, содержащее k элементов, называется сочетанием из n элементов по k элементов:

Пример. Сколько матчей будет сыграно в футбольном чемпионате с участием 16 команд, если каждые две команды встречаются между собой один раз?

Решение.

Матчей состоится столько, сколько существует двухэлементных подмножеств у множества, состоящего из 16 элементов, т.е. их число равно .

Сочетания отличаются по составу элементов.

ЗАДАНИЯ.

1. Вычислите: .

2. Найдите n, если .

3. Сколькими способами читатель может выбрать две книги из шести имеющихся?

4. Сколькими способами могут восемь человек стать в очередь к театральной кассе?

5. Сколькими способами из восьми человек можно избрать комиссию, состоящую из пяти членов?

6. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 4, 6, 7, 8, если никакую цифру не использовать более одного раза?

7. В классе десять предметов и пять уроков в день. Сколькими способами можно составить расписание на один день? (Уроки не повторяются). 

8. Подрядчику нужны четыре плотника, а к нему с предложением своих услуг обратились десять. Сколькими способами он может выбрать среди них четверых?

9. У нас есть три письма, каждое из которых мы можем послать по шести различным адресам. Сколькими способами можно осуществить рассылку писем, если никакие два письма нельзя посылать по одному адресу?

10. Сколько слов можно образовать из букв слова ФРАГМЕНТ, если слова должны состоять из трех букв?

11. В автомашине семь мест. Сколькими способами семь человек могут усесться в эту машину, если занять место водителя могут только трое из них?

12. Для полёта на Марс необходимо укомплектовать следующий экипаж космического корабля: командир корабля, первый его помощник, второй помощник, два бортинженера и один врач. Командующая тройка может быть отобрана из числа 25 готовящихся к полёту лётчиков, два бортинженера – из числа 20 специалистов, в совершенстве знающих устройство космического корабля, и врач – из числа 8 медиков. Сколькими способами можно укомплектовать экипаж исследователей космоса?

Ответы: 1) 1/6; 2) 3;14; 3) 15; 4) 40320; 5) 56; 6) 720; 7) 30240; 8) 210; 9) 120; 10) 336; 11) 2160; 12) 20976000.

Результаты практической работы оформить в тетради и сдать на проверку преподавателю.

По теме предусмотрена проверочная работа.

Преподаватель: Жаркова Н.И.