Методические рекомендации практического занятия по учебной дисциплине ЕН. 01 Математика на тему: «Решение дифференциальных уравнений»

Министерство образования Пензенской области

ГАПОУ ПО «Кузнецкий колледж электронных технологий»

Методические рекомендации

практического занятия

по учебной дисциплине

ЕН. 01 Математика

на тему: «Решение дифференциальных уравнений»

Кузнецк 2019

Пояснительная записка.

Методические рекомендации к практическому занятию по учебной дисциплине ЕН.01 Математика на тему «Решение дифференциальных уравнений» предназначено для студентов 2 курса специальности 15.02.15 «Технология металлообрабатывающего производства». Рекомендации содержат теоретический материал и примеры выполнения, что позволяет студентам легко выполнить все поставленные задачи.

Выполнение практического занятия направлено на обобщение, систематизацию, углубление теоретических знаний учебной дисциплины; формирование умений применять полученные знания в практической деятельности; на развитие аналитических, проектировочных, конструктивных умений; выработку самостоятельности, ответственности и творческой инициативы.

Для выполнения работы, студент обязан знать:

- понятие дифференциального уравнения;

- алгоритмы решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка с одной неизвестной функцией, линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

Уметь:

- применять различные методы для решения дифференциальных уравнений.

Тема: «Решение дифференциальных уравнений»

Цель: формирование умений и навыков решения дифференциальных уравнений.

Методические указания и теоретические сведения к практической работе

1 Дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие искомые функции, их производные различных порядков и независимые переменные.

2 Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок, входящих в него производных.

3 Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество функций y = f (x) + C, которые удовлетворяют данному уравнению. Такое множество функций называется общим решением дифференциального уравнения.

4 Частное решение дифференциального уравнения — это решение, не содержащее произвольных постоянных.

5 Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка с одной неизвестной функцией называется соотношение F (x, у, у') = 0 между независимым переменным х, искомой функцией у и еѐ производной.

6 Если уравнение может быть разрешено относительно производной, то получается уравнение y' = f (x, у), разрешенное относительно производной.

7 Дифференциальные уравнения f(y) dy = g(x) dx называют уравнениями с разделенными переменными.

8 Линейное уравнение первого порядка – это уравнение вида:

9 Если q(x) = 0, то уравнение называется однородным, если q(x) ≠ 0, то уравнение неоднородное.

10 Однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет следующий вид: , где p и q – константы (числа), а в правой части – строго ноль.

Примеры

Задание 1: Найдите общее решение уравнения .

Решение: Разделив переменные, имеем . Интегрируем обе части полученного уравнения:

; .

Так как произвольная постоянная может принимать любые числовые значения, то для удобства дальнейших преобразований вместо мы написали . Потенцируя последнее равенство, получим .

Это и есть общее решение данного уравнения.

Задание 2: Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям при .

Решение: Разделив переменные, имеем . Проинтегрируем обе части полученного уравнения:

; ,

или

, .

Это общее решение данного уравнения. Для нахождения значения произвольной постоянной подставим значения и в выражение для общего решения: , или , откуда .Следовательно, искомое частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям, имеет вид .

Задание 3: Найдите общее решение уравнения .

Решение: Это линейное уравнение: здесь , . Положим и продифференцируем это равенство по :

.

Подставив теперь выражения для и в данное уравнение, получим

,

или

. (*)

Так как одну из вспомогательных функций или можно выбрать произвольно, то в качестве возьмем одно из частных решений уравнения . Разделив в этом уравнении переменные и проинтегрируя, имеем , ; , (произвольную постоянную принимаем равной нулю, так как находим одно из частных решений).

Подставим теперь выражение для в уравнение (*); тогда получим уравнение , или .

Отсюда находим ; .

Зная и , теперь получим общее решение данного уравнения:

.

Задание 4: Решить уравнение: .

Решение: Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: . Отсюда следует, что , . Так как корни характеристического уравнения действительные и разные, то общее решение данного дифференциального уравнения согласно формуле (3) запишется так: .

Задание 5: Найти частное решение уравнения , если и при .

Решение: Составим характеристическое уравнение . Решая его, получим, , . Так как корни характеристического уравнения действительные и различные, то общее решение дифференциального уравнения имеет вид: , то есть .

Для нахождения искомого частного решения нужно определить значения постоянных и . Подставив в общее решение значения и , получим .

Продифференцировав общее решение и подставив в полученное выражение значения и , имеем , отсюда следует, что . Из данного выражения находим: , .

Таким образом, искомое частное решение имеет вид .

Задание 6: Решить уравнение .

Решение: Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: , . Характеристическое уравнение имеет равные действительные корни; поэтому согласно формуле (4) общее решение данного дифференциального уравнения записывается в виде .

Контрольные вопросы.

1. Какое уравнение называется дифференциальным?

2. Что называется решением дифференциального уравнения?

3. Какое решение дифференциального уравнения называется общим?

4. Какое решение дифференциального уравнения называется частным?

5. Какие дифференциальные уравнения называются уравнениями первого порядка?

6. Какие дифференциальные уравнения называются уравнениями с разделяющимися переменными?

7. Какие дифференциальные уравнения называются уравнениями второго порядка?

8. Какие уравнения называются линейными однородными дифференциальными уравнениями второго порядка?

9. Какой вид имеет характеристическое уравнение? Для чего необходимо его нахождение?

10. Какие случаи возможны при нахождении общего решения дифференциального уравнения второго порядка?

Выполните задания в соответствии со своим вариантом

Вариант 1

1. Найти общее решение дифференциального уравнения к разделяющимися переменными.

2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

3.Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.

4. Найти общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка.

5. Найти частное решение дифференциального уравнения 2-го порядка.

Вариант 2

1. Найти общее решение дифференциального уравнения c разделяющимися переменными.

2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

3.Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.

4. Найти общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка.

5. Найти частное решение дифференциального уравнения 2-го порядка.

Вариант 3

1. Найти общее решение дифференциального уравнения c разделяющимися переменными.

2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

3.Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.

4. Найти общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка.

5. Найти частное решение дифференциального уравнения 2-го порядка.

Вариант 4

1. Найти общее решение дифференциального уравнения c разделяющимися переменными.

2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

3.Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.

4. Найти общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка.

5. Найти частное решение дифференциального уравнения 2-го порядка.

Вариант 5

1. Найти общее решение дифференциального уравнения к разделяющимися переменными.

2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

3.Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.

4. Найти общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка.

5. Найти частное решение дифференциального уравнения 2-го порядка.

Вариант 6

1. Найти общее решение дифференциального уравнения к разделяющимися переменными.

2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

3.Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.

4. Найти общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка.

5. Найти частное решение дифференциального уравнения 2-го порядка.

Ссылки на используемые источники:

1. http://gunkoiren.ucoz.ru/_ld/0/60___8_.pdf

2. https://nsportal.ru/npo-spo/estestvennye-nauki/library/2016/12/12/sbornik-prakticheskih-zanyatiy-en-01matematika

3. https://infourok.ru/prakticheskaya_rabota_po_matematike_na_temu_differencialnye_uravneniya-533467.htm