Россия, Ярославль
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Была в сети 13.05.2024 20:33
Кукушкина Анна Владимировна
учитель математики
46 лет
52 512
276 
Местоположение
Специализация
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ОБ ОРГАНИЗАЦИИ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА В УСЛОВИЯХ ПЕРЕХОДА НА ФГОС СОО. Математика.
Категория:
Математика
26.08.2018 10:51
Просмотр содержимого документа
«МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ОБ ОРГАНИЗАЦИИ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА В УСЛОВИЯХ ПЕРЕХОДА НА ФГОС СОО. Математика.»
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
ОБ ОРГАНИЗАЦИИ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА
В УСЛОВИЯХ ПЕРЕХОДА НА ФГОС СОО
Математика
Составитель:
Головлева С.М., зав. кафедрой
естественно-математических дисциплин
ГАУ ДПО ЯО ИРО
Учебный предмет «Математика» входит в состав предметной области «Математика и информатика», а также является одним из учебных предметов минимального обязательного набора для изучения в старшей школе. Таким образом, изучение учебного предмета «Математика» является обязательным для всех обучающихся на уровне среднего общего образования.
Государственная итоговая аттестация по математике является обязательной для всех обучающихся. С 2015 года ГИА по математике в форме ЕГЭ проводится на двух уровнях – базовом и профильном.
При освоении курса математики на уровне среднего общего образования формируется комплекс образовательных результатов: предметных, метапредметных и личностных. Требования к образовательным результатам указаны
в ФГОС СОО1, кроме того, планируемые результаты конкретизированы в Примерной основной образовательной программе СОО2 (далее ПООП СОО).
Примерный учебный план
Согласно всем вариантам примерного учебного плана среднего общего образования, учебный предмет «Математика» является частью предметной области «Математика и информатика» и его изучение является обязательным
на базовом или углубленном уровне.
| Предметная область | Учебный предмет | Уровень изучения предмета | |
| базовый | углубленный | ||
| Математика и информатика | Математика | Б | У |
В примере распределения учебных часов в ПООП СОО на изучение учебного предмета «Математика» на уровне среднего общего образования отведено следующее количество часов:
| Предметная область | Учебный предмет | Уровни изучения | |
| Базовый (кол-во часов) | Углубленный (кол-во часов) | ||
| Математика и информатика | Математика | 280 (140/140) 4 часа в неделю | 420 (210/210) 6 часов в неделю |
Поскольку учебный предмет «Математика» является интеграцией двух важнейших содержательных разделов: алгебры и начал математического анализа и геометрии, образовательная организация самостоятельно, в рамках количества часов, отведенного учебным планом, осуществляет распределение часов между этими разделами. При этом можно выбрать любую модель изучения, как последовательную, так и параллельную.
Авторские программы, предлагаемые различными издательствами, содержат следующее распределение часов на изучение алгебры и начал анализа
и геометрии3.
| Учебный предмет | Часов в неделю |
| Базовый уровень | |
| Алгебра и начала математического анализа | 2,5-3 |
| Геометрия | 1-2 |
| Углубленный уровень | |
| Алгебра и начала математического анализа | 4-5 |
| Геометрия | 2-3 |
Учитывая тот факт, что изучение учебного предмета по модели 1 час
в неделю часто приводит к сложности достижения планируемых результатов
и снижению мотивации учения, рекомендуется организовать изучение геометрии на базовом уровне таким образом, чтобы количество часов в неделю было более 1. При этом возможны различные модели изучения, например – 2 часа в неделю в течение одного полугодия.
Результаты изучения предмета
ФГОС СОО предъявляет следующие требования к предметным результатам освоения курса математики
Таблица 1
Результаты освоения учебного предмета «Математика»
| Базовый уровень | Углубленный уровень |
| 1) сформированность представлений о математике как части мировой культуры и о месте математики в современной цивилизации, о способах описания на математическом языке явлений реального мира; 2) сформированность представлений о математических понятиях как о важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать разные процессы и явления; понимание возможности аксиоматического построения математических теорий; 3) владение методами доказательств и алгоритмов решения; умение их применять, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач; 4) владение стандартными приемами решения рациональных и иррациональных, показательных, степенных, тригонометрических уравнений и неравенств, их систем; использование готовых компьютерных программ, в том числе для поиска пути решения и иллюстрации решения уравнений и неравенств; 5) сформированность представлений об основных понятиях, идеях и методах математического анализа; 6) владение основными понятиями о плоских и пространственных геометрических фигурах, их основных свойствах; сформированность умения распознавать на чертежах, моделях и в реальном мире геометрические фигуры; применение изученных свойств геометрических фигур и формул для решения геометрических задач и задач с практическим содержанием; 7) сформированность представлений о процессах и явлениях, имеющих вероятностный характер, о статистических закономерностях в реальном мире, об основных понятиях элементарной теории вероятностей; умений находить и оценивать вероятности наступления событий в простейших практических ситуациях и основные характеристики случайных величин; 8) владение навыками использования готовых компьютерных программ при решении задач | 1) сформированность представлений о необходимости доказательств при обосновании математических утверждений и роли аксиоматики в проведении дедуктивных рассуждений; 2) сформированность понятийного аппарата по основным разделам курса математики; знаний основных теорем, формул и умения их применять; умения доказывать теоремы и находить нестандартные способы решения задач; 3) сформированность умений моделировать реальные ситуации, исследовать построенные модели, интерпретировать полученный результат; 4) сформированность представлений об основных понятиях математического анализа и их свойствах, владение умением характеризовать поведение функций, использование полученных знаний для описания и анализа реальных зависимостей; 5) владение умениями составления вероятностных моделей по условию задачи и вычисления вероятности наступления событий, в том числе с применением формул комбинаторики и основных теорем теории вероятностей; исследования случайных величин по их распределению. |
| В т.ч. для учащихся с ОВЗ |
|
| 9) для слепых и слабовидящих обучающихся: овладение правилами записи математических формул и специальных знаков рельефно-точечной системы обозначений Л. Брайля; овладение тактильно-осязательным способом обследования и восприятия рельефных изображений предметов, контурных изображений геометрических фигур и другое; наличие умения выполнять геометрические построения с помощью циркуля и линейки, читать рельефные графики элементарных функций на координатной плоскости, применять специальные приспособления для рельефного черчения («Драфтсмен», «Школьник»); овладение основным функционалом программы невизуального доступа к информации на экране персонального компьютера, умение использовать персональные тифлотехнические средства информационно-коммуникационного доступа слепыми обучающимися; 10) для обучающихся с нарушениями опорно-двигательного аппарата: овладение специальными компьютерными средствами представления и анализа данных и умение использовать персональные средства доступа с учетом двигательных, речедвигательных и сенсорных нарушений; наличие умения использовать персональные средства доступа |
|
Требования к предметным результатам освоения курса математики конкретизированы в ПООП СОО, где представлены конкретные умения, которые необходимо сформировать у учащихся на предметном материале математики.
Результаты государственной итоговой аттестации по программам основного общего образования свидетельствуют о том, что к освоению программ среднего общего образования приступают учащиеся с очень отличающимся уровнем математической подготовки.
Согласно концепции развития математического образования, а также
с целью обеспечения образовательных потребностей учащихся с разным уровнем математической подготовки, в ПООП СОО предлагается четыре базовые образовательные программы по математике – две на базовом уровне и две
на углубленном.
Базовый уровень:
| Программа | Целевая категория | Особенности | Цели образования |
| Компенсирующая базовая программа | Учащиеся, уровень математической грамотности которых свидетельствует о недостаточном освоении программы основного общего образования, нуждающиеся в устранении пробелов в математическом образовании | содержит расширенный блок повторения и предназначена для тех, кто по различным причинам после окончания основной школы не имеет достаточной подготовки для успешного освоения разделов алгебры и начал математического анализа, геометрии, статистики и теории вероятностей по программе средней (полной) общеобразовательной школы; содержание программы сформулировано достаточно конкретно и не предполагает необходимости изучения абстрактных математических понятий | Для использования в повседневной жизни и обеспечения возможности успешного продолжения образования по специальностям, не связанным с прикладным использованием математики |
| Основная базовая программа | Учащиеся, успешно освоившие математику на уровне основного общего образования, не планирующие в дальнейшем использовать математику в профессиональной деятельности | предназначена для обучающихся средней школы, не испытывавших серьезных затруднений на предыдущего уровня обучения; содержит достаточно большие блоки вариативного материала, что позволяет педагогу гибко формировать рабочую программу с учетом начального уровня подготовленности учащихся | Для развития мышления, использования в повседневной жизни и обеспечения возможности успешного продолжения образования по специальностям, не связанным с прикладным использованием математики |
Отличительной характеристикой программ базового уровня является
их практикоориентированность, поскольку основной целью обучения математике на базовом уровне является формирование компетентности обучающихся по применению математических знаний и умений в повседневной жизни и возможности успешного продолжения образования по специальностям, не связанным с прикладным использованием математики.
Изучение математики на базовом и профильном уровне подразумевает различное содержание учебного предмета и различные методические подходы. Таким образом, расширение курса математики посредством изучения отдельных тем, а также решения ряда задач, входящих в КИМ ГИА не могут эффективно решить проблему подготовки.
Проектирование образовательного процесса в соответствии с ПООП несколько затруднено, поскольку образовательные результаты приведены для базового и углубленного уровней, а содержание представлено в трех вариантах: компенсирующая базовая программа, основная базовая программа, углубленная программа. При проектировании образовательного процесса, как на базовом, так и на углубленном уровне рекомендуется гибко планировать результаты
и содержание на усмотрение педагога и с учетом содержания государственной итоговой аттестации, а также возможностей и образовательных потребностей учащихся.
Углубленный уровень:
| Программа | Целевая | Особенности | Цели образования |
| Математика для применения в профессиональной деятельности | Учащиеся, планирующие получать высшее образование в областях, связанных с применением математического аппарата (технические, некоторые ИКТ и экономические специальности и др.) | Выбирая эту программу выпускник получает возможность о методах математики, применяемых в смежных отраслях | Для успешного продолжения образования по специальностям, связанным с прикладным использованием математики |
| Математика для творческого применения в профессиональной деятельности | Учащиеся, планирующие получать высшее образование в областях, связанных с развитием математики, научной и исследовательской деятельностью по математике и в области смежных наук | Выбирая эту программу, выпускник получает возможность изучить математику на гораздо более высоком уровне, что создаст фундамент для дальнейшего серьезного изучения математики в вузе. | Для обеспечения возможности успешного продолжения образования по специальностям, связанным с осуществлением научной и исследовательской деятельности в области математики и смежных наук |
Содержание учебного предмета на базовом и углубленном уровне
Содержание учебного предмета «Математика», представлено в двух вариантах для базового уровня – компенсирующая и основная базовые программы, а также для углубленного уровня, включая уровень для использования
в профессии и творческое направление для тех, кто планирует заниматься творческой и исследовательской работой в области математики, физики экономики и др. Независимо от уровня программы содержание представлено укрупненными разделами:
Алгебра и начала математического анализа
Геометрия
Вероятность и статистика. Логика и комбинаторика4
Следует заметить, что при описании планируемых результатов по математике представлены не укрупненные разделы, а отдельные темы.
В таблице 2 представлено сопоставление содержания для базового уровня (компенсирующая и основная программы).
Таблица 2
Содержание учебного предмета «Математика» на базовом уровне
для компенсирующей и основной базовой программы
| Компенсирующая базовая программа | Основная базовая программа | ||
| Раздел Алгебра и начала математического анализа | |||
| Натуральные числа, запись, разрядные слагаемые, арифметические действия. Числа и десятичная система счисления. Натуральные числа, делимость, признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9, 10. Разложение числа на множители. Остатки. Решение арифметических задач практического содержания. Целые числа. Модуль числа и его свойства. Части и доли. Дроби и действия с дробями. Округление, приближение. Решение практических задач на прикидку и оценку. Проценты. Решение задач практического содержания на части и проценты. Степень с натуральным и целым показателем. Свойства степеней. Стандартный вид числа. Алгебраические выражения. Значение алгебраического выражения. Квадратный корень. Изображение числа на числовой прямой. Приближенное значение иррациональных чисел. Понятие многочлена. Разложение многочлена на множители, Уравнение, корень уравнения. Линейные, квадратные уравнения и системы линейных уравнений. Решение простейших задач на движение, совместную работу, проценты. Числовые неравенства и их свойства. Линейные неравенства с одной переменной и их системы. Числовые промежутки. Объединение и пересечение промежутков. Зависимость величин, функция, аргумент и значение, основные свойства функций. График функции. Линейная функция. Ее график. Угловой коэффициент прямой. Квадратичная функция. График и свойства квадратичной функции. график функции Нули функции, промежутки знакопостоянства, монотонность (возрастание или убывание) на числовом промежутке. Наибольшее и наименьшее значение функции. Периодические функции и наименьший период. Градусная мера угла. Тригонометрическая окружность. Определение синуса, косинуса, тангенса произвольного угла. Основное тригонометрическое тождество. Значения тригонометрических функций для углов 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270. Графики тригонометрических функций Решение простейших тригонометрических уравнений с помощью тригонометрической окружности. Понятие степени с действительным показателем. Простейшие показательные уравнения и неравенства. Показательная функция и ее график. Логарифм числа, основные свойства логарифма. Десятичный логарифм. Простейшие логарифмические уравнения и неравенства. Логарифмическая функция и ее график. Понятие степенной функции и ее график. Простейшие иррациональные уравнения. Касательная к графику функции. Понятие производной функции в точке как тангенс угла наклона касательной. Геометрический и физический смысл производной. Производные многочленов. Точки экстремума (максимума и минимума). Исследование элементарных функций на точки экстремума с помощью производной. Наглядная интерпретация. Понятие первообразной функции. Физический смысл первообразной. Понятие об интеграле как площади под графиком функции | Повторение. Решение задач с использованием свойств чисел и систем счисления, делимости, долей и частей, процентов, модулей чисел. Решение задач с использованием свойств степеней и корней, многочленов, преобразований многочленов и дробно-рациональных выражений. Решение задач с использованием градусной меры угла. Модуль числа и его свойства. Решение задач на движение и совместную работу с помощью линейных и квадратных уравнений и их систем. Решение задач с помощью числовых неравенств и систем неравенств с одной переменной, с применением изображения числовых промежутков. Решение задач с использованием числовых функций и их графиков. Использование свойств и графиков линейных и квадратичных функций, обратной пропорциональности и функции Тригонометрическая окружность, радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла. Основное тригонометрическое тождество и следствия из него. Значения тригонометрических функций для углов 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270. ( Нули функции, промежутки знакопостоянства, монотонность. Наибольшее и наименьшее значение функции. Периодические функции. Четность и нечетность функций. Сложные функции. Тригонометрические функции Арккосинус, арксинус, арктангенс числа. Арккотангенс числа. Простейшие тригонометрические уравнения. Решение тригонометрических уравнений. Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики. Решение простейших тригонометрических неравенств. Степень с действительным показателем, свойства степени. Простейшие показательные уравнения и неравенства. Показательная функция и ее свойства и график. Логарифм числа, свойства логарифма. Десятичный логарифм. Число е. Натуральный логарифм. Преобразование логарифмических выражений. Логарифмические уравнения и неравенства. Логарифмическая функция и ее свойства и график. Степенная функция и ее свойства и график. Иррациональные уравнения. Метод интервалов для решения неравенств. Преобразования графиков функций: сдвиг вдоль координатных осей, растяжение и сжатие, отражение относительно координатных осей. Графические методы решения уравнений и неравенств. Решение уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля. Системы показательных, логарифмических и иррациональных уравнений. Системы показательных, логарифмических неравенств. Взаимно обратные функции. Графики взаимно обратных функций. Уравнения, системы уравнений с параметром. Производная функции в точке. Касательная к графику функции. Геометрический и физический смысл производной. Производные элементарных функций. Правила дифференцирования. Вторая производная, ее геометрический и физический смысл. Понятие о непрерывных функциях. Точки экстремума (максимума и минимума). Исследование элементарных функций на точки экстремума, наибольшее и наименьшее значение с помощью производной. Построение графиков функций с помощью производных. Применение производной при решении задач. Первообразная. Первообразные элементарных функций. Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница. Определенный интеграл. Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью интеграла | ||
| Раздел Геометрия | |||
| Фигуры на плоскости и в пространстве. Длина и площадь. Периметры и площади фигур. Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей. Треугольники. Виды треугольников: остроугольные, тупоугольные, прямоугольные. Катет против угла в 30 градусов. Внешний угол треугольника. Биссектриса, медиана и высота треугольника. Равенство треугольников. Решение задач на клетчатой бумаге. Равнобедренный треугольник, равносторонний треугольник. Свойства равнобедренного треугольника. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике. Тригонометрические функции углов в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора. Применение теорем синусов и косинусов. Четырехугольники: параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат, трапеция и их свойства. Средняя линия треугольника и трапеции. Выпуклые и невыпуклые фигуры. Периметр многоугольника. Правильный многоугольник. Углы на плоскости и в пространстве. Вертикальные и смежные углы. Сумма внутренних углов треугольника и четырехугольника. Соотношения в квадрате и равностороннем треугольнике. Диагонали многоугольника. Подобные треугольники в простейших случаях. Формулы площади прямоугольника, треугольника, ромба, трапеции. Окружность и круг. Радиус и диаметр. Длина окружности и площадь круга. Число . Вписанный угол, в частности угол, опирающийся на диаметр. Касательная к окружности и ее свойство. Куб. Соотношения в кубе. Тетраэдр, правильный тетраэдр. Правильная пирамида и призма. Прямая призма. Изображение некоторых многогранников на плоскости. Прямоугольный параллелепипед. Теорема Пифагора в пространстве. Задачи на вычисление расстояний в пространстве с помощью теоремы Пифагора. Развертка прямоугольного параллелепипеда. Конус, цилиндр, шар и сфера. Проекции фигур на плоскость. Изображение цилиндра, конуса и сферы на плоскости. Понятие об объемах тел. Использование для решения задач на нахождение геометрических величин формул объема призмы, цилиндра, пирамиды, конуса, шара. Понятие о подобии на плоскости и в пространстве. Отношение площадей и объемов подобных фигур | Повторение. Решение задач с применением свойств фигур на плоскости. Задачи на доказательство и построение контрпримеров. Использование в задачах простейших логических правил. Решение задач с использованием теорем о треугольниках, соотношений в прямоугольных треугольниках, фактов, связанных с четырехугольниками. Решение задач с использованием фактов, связанных с окружностями. Решение задач на измерения на плоскости, вычисление длин и площадей. Решение задач с помощью векторов и координат. Наглядная стереометрия. Фигуры и их изображения (куб, пирамида, призма). Основные понятия стереометрии и их свойства. Сечения куба и тетраэдра. Точка, прямая и плоскость в пространстве, аксиомы стереометрии и следствия из них. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Изображение простейших пространственных фигур на плоскости. Расстояния между фигурами в пространстве. Углы в пространстве. Перпендикулярность прямых и плоскостей. Проекция фигуры на плоскость. Признаки перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве. Теорема о трех перпендикулярах. Многогранники. Параллелепипед. Свойства прямоугольного параллелепипеда. Теорема Пифагора в пространстве. Призма и пирамида. Правильная пирамида и правильная призма. Прямая пирамида. Элементы призмы и пирамиды. Тела вращения: цилиндр, конус, сфера и шар. Основные свойства прямого кругового цилиндра, прямого кругового конуса. Изображение тел вращения на плоскости. Представление об усеченном конусе, сечения конуса (параллельное основанию и проходящее через вершину), сечения цилиндра (параллельно и перпендикулярно оси), сечения шара. Развертка цилиндра и конуса. Простейшие комбинации многогранников и тел вращения между собой. Вычисление элементов пространственных фигур (ребра, диагонали, углы). Площадь поверхности правильной пирамиды и прямой призмы. Площадь поверхности прямого кругового цилиндра, прямого кругового конуса и шара. Понятие об объеме. Объем пирамиды и конуса, призмы и цилиндра. Объем шара. Подобные тела в пространстве. Соотношения между площадями поверхностей и объемами подобных тел. Движения в пространстве: параллельный перенос, центральная симметрия, симметрия относительно плоскости, поворот. Свойства движений. Применение движений при решении задач. Векторы и координаты в пространстве. Сумма векторов, умножение вектора на число, угол между векторами. Коллинеарные и компланарные векторы. Скалярное произведение векторов. Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векторам. Скалярное произведение векторов в координатах. Применение векторов при решении задач на нахождение расстояний, длин, площадей и объемов. Уравнение плоскости в пространстве. Уравнение сферы в пространстве. Формула для вычисления расстояния между точками в пространстве | ||
| Раздел Вероятность и статистика. Логика и комбинаторика (Работа с данными) | |||
| Логика. Верные и неверные утверждения. Следствие. Контрпример. Множество. Перебор вариантов. Таблицы. Столбчатые и круговые диаграммы. Числовые наборы. Среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения. Примеры изменчивых величин. Частота и вероятность события. Случайный выбор. Вычисление вероятностей событий в опытах с равновозможными элементарными событиями. Независимые события. Формула сложения вероятностей. Примеры случайных величин. Равномерное распределение. Примеры нормального распределения в природе. Понятие о законе больших чисел | Повторение. Решение задач на табличное и графическое представление данных. Использование свойств и характеристик числовых наборов: средних, наибольшего и наименьшего значения, размаха, дисперсии. Решение задач на определение частоты и вероятности событий. Вычисление вероятностей в опытах с равновозможными элементарными исходами. Решение задач с применением комбинаторики. Решение задач на вычисление вероятностей независимых событий, применение формулы сложения вероятностей. Решение задач с применением диаграмм Эйлера, дерева вероятностей, формулы Бернулли. Условная вероятность. Правило умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Дискретные случайные величины и распределения. Независимые случайные величины. Распределение суммы и произведения независимых случайных величин. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия суммы случайных величин. Геометрическое распределение. Биномиальное распределение и его свойства. Непрерывные случайные величины. Понятие о плотности вероятности. Равномерное распределение. Показательное распределение, его параметры. Понятие о нормальном распределении. Параметры нормального распределения. Примеры случайных величин, подчиненных нормальному закону (погрешность измерений, рост человека). Неравенство Чебышева. Теорема Бернулли. Закон больших чисел. Выборочный метод измерения вероятностей. Роль закона больших чисел в науке, природе и обществе. Ковариация двух случайных величин. Понятие о коэффициенте корреляции. Совместные наблюдения двух случайных величин. Выборочный коэффициент корреляции | ||
. График функции 
. 
.
рад). Формулы сложения тригонометрических функций, формулы приведения, формулы двойного аргумента. 
. Свойства и графики тригонометрических функций.
В таблице 3 представлено сопоставление содержания для углубленного уровня (основное и вариативное содержание). Вариативное содержание углубленного уровня, соответствует программе, направленной на будущую творческую и исследовательскую деятельность в области математики с смежных дисциплин.
Таблица 3
Содержание учебного предмета «Математика» на углубленном уровне
для применения в профессии и творческого применения в профессии
| Математика для применения | Математика для творческого | ||
| Раздел Алгебра и начала математического анализа | |||
| Повторение. Решение задач с использованием свойств чисел и систем счисления, делимости, долей и частей, процентов, модулей чисел. Решение задач с использованием свойств степеней и корней, многочленов, преобразований многочленов и дробно-рациональных выражений. Решение задач с использованием градусной меры угла. Модуль числа и его свойства. Решение задач на движение и совместную работу, смеси и сплавы с помощью линейных, квадратных и дробно-рациональных уравнений и их систем. Решение задач с помощью числовых неравенств и систем неравенств с одной переменной, с применением изображения числовых промежутков. Решение задач с использованием числовых функций и их графиков. Использование свойств и графиков линейных и квадратичных функций, обратной пропорциональности и функции Множества (числовые, геометрических фигур). Характеристическое свойство, элемент множества, пустое, конечное, бесконечное множество. Способы задания множеств Подмножество. Отношения принадлежности, включения, равенства. Операции над множествами. Круги Эйлера. Конечные и бесконечные, счетные и несчетные множества. Истинные и ложные высказывания, операции над высказываниями. Связь высказываний с множествами. Кванторы существования и всеобщности. Законы логики. Решение логических задач с использованием кругов Эйлера. Умозаключения. Обоснования и доказательство в математике. Теоремы. Виды математических утверждений. Признак и свойство, необходимые и достаточные условия. Радианная мера угла, тригонометрическая окружность. Тригонометрические функции чисел и углов. Формулы приведения, сложения тригонометрических функций, формулы двойного и половинного аргумента. Преобразование суммы, разности в произведение тригонометрических функций, и наоборот. Нули функции, промежутки знакопостоянства, монотонность. Наибольшее и наименьшее значение функции. Периодические функции и наименьший период. Четные и нечетные функции. Тригонометрические функции числового аргумента Обратные тригонометрические функции, их главные значения, свойства и графики. Тригонометрические уравнения. Однородные тригонометрические уравнения. Решение простейших тригонометрических неравенств. Простейшие системы тригонометрических уравнений. Степень с действительным показателем, свойства степени. Простейшие показательные уравнения и неравенства. Показательная функция и ее свойства и график. Число Логарифм, свойства логарифма. Десятичный и натуральный логарифм. Преобразование логарифмических выражений. Логарифмические уравнения и неравенства. Логарифмическая функция и ее свойства и график. Степенная функция и ее свойства и график. Иррациональные уравнения. Первичные представления о множестве комплексных чисел. Метод интервалов для решения неравенств. Преобразования графиков функций: сдвиг, умножение на число, отражение относительно координатных осей. Графические методы решения уравнений и неравенств. Решение уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля. Системы показательных, логарифмических и иррациональных уравнений. Системы показательных, логарифмических и иррациональных неравенств. Взаимно обратные функции. Графики взаимно обратных функций. Уравнения, системы уравнений с параметром. Понятие предела функции в точке. Непрерывность функции. Дифференцируемость функции. Производная функции в точке. Касательная к графику функции. Геометрический и физический смысл производной. Производные элементарных функций. Правила дифференцирования. Вторая производная, ее геометрический и физический смысл. Точки экстремума (максимума и минимума). Исследование элементарных функций на точки экстремума, наибольшее и наименьшее значение с помощью производной. Первообразная. Неопределенный интеграл. Первообразные элементарных функций. Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница. Определенный интеграл. |
Алгебра высказываний.
Основные логические правила. Решение логических задач с использованием основных логических правил.
Виды доказательств. Математическая индукция. Утверждения: обратное данному, противоположное, обратное противоположному данному. Основная теорема арифметики. Остатки и сравнения. Алгоритм Евклида. Китайская теорема об остатках. Малая теорема Ферма. q-ичные системы счисления. Функция Эйлера, число и сумма делителей натурального числа.
Функции «дробная часть числа»
Действия с комплексными числами. Комплексно сопряженные числа. Модуль и аргумент числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Решение уравнений в комплексных числах.
Формула Бинома Ньютона. Решение уравнений степени выше 2 специальных видов. Теорема Виета, теорема Безу. Приводимые и неприводимые многочлены. Основная теорема алгебры. Симметрические многочлены. Целочисленные и целозначные многочлены. Диофантовы уравнения. Цепные дроби. Теорема Ферма о сумме квадратов. Суммы и ряды, методы суммирования и признаки сходимости. Теоремы о приближении действительных чисел рациональными. Множества на координатной плоскости. Неравенство Коши–Буняковского, неравенство Йенсена, неравенства о средних. Понятие предела функции в бесконечности. Асимптоты графика функции. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших. Свойства непрерывных функций. Теорема Вейерштрасса. Применение производной в физике.
Построение графиков функций с помощью производных. Применение производной при решении задач. Нахождение экстремумов функций нескольких переменных. Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью интеграла. Методы решения функциональных уравнений и неравенств. | ||
| Раздел Геометрия | |||
| Повторение. Решение задач с использованием свойств фигур на плоскости. Решение задач на доказательство и построение контрпримеров. Применение простейших логических правил. Решение задач с использованием теорем о треугольниках, соотношений в прямоугольных треугольниках, фактов, связанных с четырехугольниками. Решение задач с использованием фактов, связанных с окружностями. Решение задач на измерения на плоскости, вычисления длин и площадей. Наглядная стереометрия. Призма, параллелепипед, пирамида, тетраэдр. Основные понятия геометрии в пространстве. Аксиомы стереометрии и следствия из них. Построение сечений многогранников методом следов. Центральное проектирование. Построение сечений многогранников методом проекций. Скрещивающиеся прямые в пространстве. Угол между ними. Теоремы о параллельности прямых и плоскостей в пространстве. Параллельное проектирование и изображение фигур. Перпендикулярность прямой и плоскости. Ортогональное проектирование. Наклонные и проекции. Теорема о трех перпендикулярах. Расстояния между фигурами в пространстве. Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых. Углы в пространстве. Перпендикулярные плоскости. Виды многогранников. Правильные многогранники. Призма. Параллелепипед. Свойства параллелепипеда. Прямоугольный параллелепипед. Наклонные призмы. Пирамида. Виды пирамид. Элементы правильной пирамиды. Пирамиды с равнонаклоненными ребрами и гранями, их основные свойства. Площади поверхностей многогранников. Тела вращения: цилиндр, конус, шар и сфера. Сечения цилиндра, конуса и шара. Шаровой сегмент, шаровой слой, шаровой сектор (конус). Усеченная пирамида и усеченный конус. Касательные прямые и плоскости. Вписанные и описанные сферы. Векторы и координаты. Сумма векторов, умножение вектора на число. Угол между векторами. Скалярное произведение. Уравнение плоскости. Формула расстояния между точками. Уравнение сферы Понятие объема. Объемы многогранников. Объемы тел вращения.
Площадь сферы. Площадь поверхности цилиндра и конуса. Комбинации многогранников и тел вращения. Подобие в пространстве. Отношение объемов и площадей поверхностей подобных фигур |
Решение задач с помощью векторов и координат.
Понятие об аксиоматическом методе. Теорема Менелая для тетраэдра.
Методы нахождения расстояний между скрещивающимися прямыми.
Геометрические места точек в пространстве.
Виды тетраэдров. Ортоцентрический тетраэдр, каркасный тетраэдр, равногранный тетраэдр. Прямоугольный тетраэдр. Медианы и бимедианы тетраэдра. Достраивание тетраэдра до параллелепипеда.
Площадь ортогональной проекции. Перпендикулярное сечение призмы. Трехгранный и многогранный угол. Свойства плоских углов многогранного угла. Свойства плоских и двугранных углов трехгранного угла. Теоремы косинусов и синусов для трехгранного угла.
Развертки многогранника. Кратчайшие пути на поверхности многогранника. Теорема Эйлера. Двойственность правильных многогранников.
Элементы сферической геометрии. Конические сечения.
Касающиеся сферы. Комбинации тел вращения.
Формула расстояния от точки до плоскости. Способы задания прямой уравнениями. Решение задач и доказательство теорем с помощью векторов и методом координат. Элементы геометрии масс. Аксиомы объема. Вывод формул объемов прямоугольного параллелепипеда, призмы и пирамиды. Формулы для нахождения объема тетраэдра. Теоремы об отношениях объемов. Приложения интеграла к вычислению объемов и поверхностей тел вращения. Площадь сферического пояса. Объем шарового слоя. Применение объемов при решении задач. Развертка цилиндра и конуса.
Движения в пространстве: параллельный перенос, симметрия относительно плоскости, центральная симметрия, поворот относительно прямой. Преобразование подобия, гомотетия. Решение задач на плоскости с использованием стереометрических методов | ||
| Раздел Вероятность и статистика. Логика и комбинаторика (Работа с данными) | |||
| Повторение. Использование таблиц и диаграмм для представления данных. Решение задач на применение описательных характеристик числовых наборов: средних, наибольшего и наименьшего значения, размаха, дисперсии и стандартного отклонения. Вычисление частот и вероятностей событий. Вычисление вероятностей в опытах с равновозможными элементарными исходами. Использование комбинаторики. Вычисление вероятностей независимых событий. Использование формулы сложения вероятностей, диаграмм Эйлера, дерева вероятностей, формулы Бернулли. Условная вероятность. Правило умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Дискретные случайные величины и распределения. Совместные распределения. Распределение суммы и произведения независимых случайных величин. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия суммы случайных величин. Бинарная случайная величина, распределение Бернулли. Геометрическое распределение. Биномиальное распределение и его свойства. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности. Функция распределения. Равномерное распределение. Нормальное распределение. Функция Лапласа. Параметры нормального распределения. Примеры случайных величин, подчиненных нормальному закону (погрешность измерений, рост человека). Ковариация двух случайных величин. Понятие о коэффициенте корреляции. Совместные наблюдения двух случайных величин |
Вероятностное пространство. Аксиомы теории вероятностей.
Гипергеометрическое распределение и его свойства.
Показательное распределение, его параметры. Распределение Пуассона и его применение.
Центральная предельная теорема. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева и теорема Бернулли. Закон больших чисел. Выборочный метод измерения вероятностей. Роль закона больших чисел в науке, природе и обществе. Выборочный коэффициент корреляции. Линейная регрессия. Статистическая гипотеза. Статистика критерия и ее уровень значимости. Проверка простейших гипотез. Эмпирические распределения и их связь с теоретическими распределениями. Ранговая корреляция. Построение соответствий. Инъективные и сюръективные соответствия. Биекции. Дискретная непрерывность. Принцип Дирихле. Кодирование. Двоичная запись. Основные понятия теории графов. Деревья. Двоичное дерево. Связность. Компоненты связности. Пути на графе. Эйлеровы и Гамильтоновы пути | ||
, 
, 
, 
. Свойства и графики тригонометрических функций.
и функция 
. 
и «целая часть числа» 
.
Как видно из таблицы, углубленное изучение математики для творческого применения в профессии предполагает довольно большой объем дополнительного содержания, что, скорее всего, потребует дополнительного времени
на освоение программы. Детальный анализ содержания и планируемых результатов освоения курса математики средней школы «Математика для творческого применения в профессиональной деятельности»6 показал, что повышенный уровень освоения углубленной программы рассчитан на 7-8 часов изучения математики в неделю.
Примеры элективных курсов
Достаточно обширное, предполагающее большую долю вариативности содержание учебного предмета «Математика», а также необходимость повторения большого количества учебного материала, позволяет дополнять изучение математики различными элективными курсами. Элективные курсы для различных уровней изучения математики могут быть посвящены углубленному изучению отдельных ее разделов. При этом важно учесть применимость изучаемого материала на ГИА по математике. В качестве примеров тем элективных курсов можно предложить7:
Логика и множества, решение логических задач (базовый уровень)
Геометрия. Планиметрия. (базовый или углубленный уровни)
Задачи с параметром (углубленный уровень)
Некоторые специальные методы решения уравнений, неравенств и их систем (углубленный уровень)
Теория чисел (углубленный уровень)
Комплексные числа (углубленный уровень)
Векторы. Аффинные преобразования на плоскости и в пространстве, аффинные задачи (углубленный уровень)
Тригонометрия (базовый или углубленный уровни)
Степени и логарифмы (базовый или углубленный уровни)
Организация внеурочной деятельности
Внеурочная деятельность на уровне среднего общего образования позволяет эффективно решать задачи социализации, воспитания, а также погружения в выбранную предметную область. Исходя из этого, в ПООП СОО предлагаются три основных направления внеурочной деятельности:
Организация жизни ученических сообществ;
Воспитательные мероприятия;
Внеурочная деятельность по предметам школьной программы.
Внеурочная деятельность по математике может охватывать все три направления посредством:
организации в школе деятельности научного ученического сообщества, в рамках деятельности которого организуются семинары и конференции,
организации воспитательных мероприятий патриотической направленности, посвященных памятным датам, связанным с жизнью и деятельностью российских ученых-математиков, а также экскурсии художественной направленности, связанные с применением математики в архитектуре, живописи, скульптуре и других видах искусства;
внеурочной деятельностью по математике или по комплексу предметов естественнонаучного цикла.
Следует отметить, что учебный предмет «Математика» является универсальным и объединяющим многие предметы. Математическую часть, посвященную моделированию или обработке данных, может содержать учебных проект или исследование по любому предмету.
Федеральный перечень учебников
В настоящее время в Федеральный перечень учебников, рекомендованных к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ начального общего, основного общего, среднего общего образования входят следующие учебники по математике
| № в | Авторы | Название учебного предмета | Издательство | Уровень Б –базовый У - углубленный |
| 1.3.4.1.8.1, 1.3.4.1.8.2 | Муравин Г.К., Муравина О.В. | Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень) | Российский учебник | Б |
| 1.3.4.1.8.3 | Шарыгин И.Ф. | Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый уровень) | Российский учебник | Б |
| 1.3.4.1.1.1 | Александ- | Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия | «Просвещение» | Б+У |
| 1.3.4.1.1.2, 1.3.4.1.1.3 | Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. | Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа | «Просвещение» | Б+У |
| 1.3.4.1.2.1 | Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. | Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия | «Просвещение» | Б+У |
| 1.3.4.1.2.2 | Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачёва М.В. и др. | Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа | «Просвещение» | Б+У |
| 1.3.4.1.4.1 | Бутузов В.Ф., Прасолов В.В. / под ред. Садовничего В.А. | Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. (базовый и углубленный уровень) | «Просвещение» | Б+У |
| 1.3.4.1.4.2, 1.3.4.1.4.3 | Никольс- кий С.М., ков Н.Н. и др. | Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа | «Просвещение» | Б+У |
| 1.3.4.1.5.1, 1.3.4.1.5.2 | Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. / Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А. | Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Базовый и углублённый уровни | «Русское слово» | Б+У |
| 1.3.4.2.1.1, 1.3.4.2.1.4 | Александ- ров А.Д., | Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углубленный уровень) | «Просвещение» | У |
| 1.3.4.2.1.2, 1.3.4.2.1.3 | Пратусе- вич М.Я., Столбов К.М., Головин А.Н. | Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (углубленный уровень) | «Просвещение» | У |
| 1.3.4.2.3.1, 1.3.4.2.3.3 | Муравин Г.К., Муравина О.В. | Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень | Российский учебник | У |
| 1.3.4.2.3.2, 1.3.4.2.3.4 | Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. | Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. Углубленный уровень.(учебник, задачник) | Российский учебник | У |
Краткая методическая характеристика УМК приведена в методическом письме о преподавании учебного предмета Математика8.
Большинство УМК, входящих на данный момент в Федеральный перечень учебников адаптировали содержание авторских программ к содержанию ПООП СОО, в основном это коснулось части «Планируемые результаты освоения учебного предмета», однако некоторые элементы содержания, которые традиционно не входили в школьную программу, так и не появились в содержании УМК.
В целом, несмотря на формальное соответствие формулировок планируемых результатов авторских программ ПООП СОО, содержание большинства УМК не изменилось, несмотря на появление в ПООП новых дидактических единиц.
В содержание и тематическое планирование многих УМК по алгебре
не вошли темы «Случайные величины», «Основы теории графов», не рассматриваются некоторые именные неравенства.
Все это потребует от учителя дополнительной подготовки к занятиям
и изыскания дополнительных материалов не только при преподавании математики на углубленном уровне, но в некоторых случаях, и на базовом.
Организация системы оценивания планируемых результатов
Основной формой оценки уровня математического образования в старшей школе остается государственная итоговая аттестация по математике. Контрольно-измерительные материалы ГИА включают в себя задания по всему курсу математики как основной, так и старшей школы.
Подготовка обучающихся к ГИА становится важной задачей для педагога и это должно сказаться на построении системы оценки образовательных результатов. Система оценки по предмету включает в себя следующие процедуры:
Диагностика. Например, стартовая диагностика, как процедура оценки готовности к продолжению обучения на уровне среднего общего образования. Результаты стартовой диагностики, наряду с результатами ГИА по программам основного общего образования могут быть использованы для выбора одной из четырех программ изучения математики на уровне среднего общего образования, а также для формирования индивидуальных образовательных траекторий для отдельных обучающихся;
Текущее оценивание. Для оценки индивидуального продвижения
в освоении учебной программы курса. Текущая оценка отличается разнообразием форм и методов проверки, а ее результаты являются основой для индивидуализации учебной деятельности и корректировки индивидуального учебного плана. Тематическая оценка используется для текущей коррекции учебной деятельности и ее индивидуализации.Накопительное оценивание. Например, портфолио, как процедура оценки динамики учебной и творческой активности учащегося. В узком смысле, портфолио можно использовать при подготовке к ГИА, как инструмент индивидуального продвижения и накопления уровней достижений по отдельным темам, блокам заданий и заданиям ГИА, накоплением справочного материала
и методов решения задач с открытым ответом. В этом случае портфолио может стать хорошей поддержкой индивидуальных траекторий учащихся по подготовке к ГИА.
Поскольку ГИА включает в себя задания не только за курс средней,
но и за курс основной школы, оценочные материалы по предмету должны включать в себя долю заданий на повторение учебного материала.
Организация повторения возможна как по отдельному плану. Так
и в процессе изучения новых тем. Например, тренировать вычислительные навыки с различными видами чисел (натуральными числами, обыкновенными
и десятичными дробями и т.д.) можно при изучении любой темы курса алгебры, подбирая задания с условиями, включающими соответствующие числа.
В целом, формированию прочных вычислительных навыков следует уделить большое внимание, учитывая, что на ГИА в распоряжении учащихся
не будет калькулятора.
В оценочные материалы рекомендуется включать задания, аналогичные содержанию КИМ ЕГЭ. При этом важно учитывать, что для каждого типа заданий существует множество прототипов задач. Используя их при составлении оценочных материалов желательно включать в варианты разнообразные формы заданий. Учитывая ограниченность времени на контроль, при использовании
в нем заданий повышенной сложности, можно предлагать аналог не задания целиком, а его части. С целью облегчения проверки, задания с открытым ответом КИМ ЕГЭ разделены на части, каждая из которых может представлять собой отдельную.
При формировании критериев оценивания, как заданий с развернутым ответом, так и работ учащихся в целом, важно придерживаться ориентиров, заданных КИМ ГИА. При этом критерии проверки текущих заданий могут быть более подробными, затрагивать наличие и корректность отдельных элементов оформления, особенно если задание является новым для обучающихся.
Использование в процессе обучения формирующего оценивания может помочь учащемуся определить желаемый уровень достижений и степень соответствия ему. При использовании формирующего оценивания каждый критерий должен сопровождаться показателем, позволяющим четко и однозначно определить уровень своих достижений. Как правило в качестве такого показателя используется количество решенных задач определенного типа или количество набранных баллов за определенную группу задач.
Традиционно много вопросов у педагогов вызывают правила выставления отметок, учитывая тот факт, что Алгебра и Геометрия чаще всего преподаются как отдельные курсы. В вопросах выставления итоговых отметок следует руководствоваться письмом Департамента образования Ярославской области9.
Особенности преподавания учебного предмета «Математика» на уровне среднего общего образования
Методика преподавания математики в старшей школе имеет ряд особенностей.
Учитывая тот факт, что все учащиеся различаются по уровню математических способностей, в старшей школе уровень этих различий углубляется
за счет того, что большинство учащихся, обнаруживших склонность к изучению математики, различными способами достаточно повысили свою математическую компетентность, а учащиеся, не проявляющие интерес к ее изучению, часто успели накопить некоторые пробелы в освоении программы.
В сложившихся условиях, учитывая требования ФГОС, важно обеспечить каждого обучающегося посильным для него интеллектуальным трудом по формированию планируемых образовательных результатов. Набор заданий, используемых педагогом на занятиях может быть достаточно широк, он должен включать задания различного уровня сложности, разные типы и формы предъявления заданий. За счет разнообразия заданий создается возможность обеспечить каждого учащегося индивидуальной траекторией в рамках одного предметного содержания, иными словами обеспечить не только дифференцированный, но и индивидуальный подход.
Любое разнообразие заданий принесет пользу лишь в том случае, если педагог может организовать самостоятельную деятельность учащихся по
их решению. Поэтому важно обеспечить учащихся адекватными справочными материалами, инструкциями и алгоритмами для самостоятельного решения заданий. Также эффективной может оказаться организация парной и групповой работы по формированию и/или обсуждению способов решения заданий различного уровня сложности.
Сотрудничество учащихся с разным уровнем подготовки в процессе групповой и парной работы позволяет всем категориям учащихся углубить знания и добиться прочного понимания выполняемых заданий.
Современные образовательные технологии, в частности, большое разнообразие ресурсов дистанционного обучения существенно расширяют возможности учителя математики, как в области формирования предметных результатов, так и в области организации подготовки к ГИА. Это может стать большим подспорьем для учителя и учащихся, поскольку дистанционные ресурсы содержат большой объем разнообразных заданий и возможности для формирования образовательных результатов как на базовом, так и на углубленном уровне.
Использование дистанционных образовательных ресурсов может помочь педагогу сформировать индивидуальную траекторию подготовки к ГИА, облегчить процесс подбора заданий и их проверки, а также способствует самостоятельному продвижению учащегося в вопросах освоения курса. При этом работу учащихся с дистанционными ресурсами следует грамотно организовывать, рекомендуя те или иные ресурсы обучающимся и отслеживая их продвижение
в использовании возможностей этих ресурсов.
1 Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (утвержден приказом Минобрнауки России № 413 от 17 мая 2012 года) с изменениями и дополнениями от: 29 декабря 2014 г., 31 декабря 2015 г., 29 июня 2017 г.
2 Примерная основная образовательная программа среднего общего образования: одобрена 28 июня 2016. Протокол от №2/16 //Реестр примерных основных общеобразовательных программ. - URL: http://fgosreestr.ru/wp-content/uploads/2015/07/Primernaya-osnovnaya-obrazovatelnaya-programma-srednego-obshhego-obrazovaniya.pdf (дата обращения: 15.04.2018)
3 Указано предельное минимальное и предельное максимальное значение часов в неделю на изучение Алгебры и Геометрии.
4 Название данного раздела несколько варьируется для программ разного уровня.
5 В данном столбце показано только дополнительное содержание данной программы, не исключающее содержания, указанного в столбце 1.
6 Виды программ см. в разделе «Результаты изучения предмета».
7 Данный перечень приводится в качестве примера и не претендует на исключительность и обязательность.
8 Головлева С.М., Методическое письмо о преподавании учебных предметов «Математика», «Алгебра», «Геометрия», «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия» в общеобразовательных организациях Ярославской области в 2017/2018 уч. г.
9 Письмо департамента образования Ярославской области от 24.08.2017 №ИХ.24-4773/17 «Об образовательной деятельности в 2017-2018 учебном году» с дополнением от 06.10.2017 №ИХ.24-5672/17.
24
Вебинар для учителей
Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!
Полезное для учителя
Реализация образовательных программ осуществляется с применением исключительно электронного обучения и ДОТ
