Методические рекомендации к практическому занятию по теме "Определение числовых характеристик ДСВ"

Тема занятия: «Определение числовых характеристик случайной величины»

Цель: формирование и развитие практических навыков вычисления основных характеристик ДСВ.

Ход работы:

1. Внимательно изучите методические рекомендации к выполнению работы.

2. Выполните индивидуальное задание.

3. Письменно ответьте на контрольные вопросы.

Теоретическая справка

Определение. Закон распределения дискретной случайной величины – это связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Для ДСВ закон распределения записывают в виде таблицы.

Так, например, закон распределения вероятностей выпавших на кубике очков имеет следующий вид:

При этом, сумма вероятностей их наступления равна единице:

Не редкость, когда закон распределения требуется составить самостоятельно. Для этого используют классическое определение вероятности, теоремы умножения / сложения вероятностей событий  и др.

Пример

В коробке находятся 50 лотерейных билетов, среди которых 12 выигрышных, причём 2 из них выигрывают по 1000 рублей, а остальные – по 100 рублей. Составить закон распределения случайной величины   – размера выигрыша, если из коробки наугад извлекается один билет.

Решение: как вы заметили, значения случайной величины принято располагать в порядке их возрастания. Поэтому мы начинаем с самого маленького выигрыша, и именно   рублей.

Всего таковых билетов 50 – 12 = 38, и по классическому определению:
 – вероятность того, что наудачу извлечённый билет окажется безвыигрышным.

С остальными случаями всё просто. Вероятность выигрыша   рублей составляет:

И для  :

Проверка:   

Ответ: искомый закон распределения выигрыша:

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Говоря простым языком, это среднеожидаемое значение при многократном повторении испытаний. Пусть случайная величина   принимает значения   с вероятностями   соответственно.

Определение. Математическим ожиданием M(X) (средним значением) ДСВ X, заданной законом распределения, называется число, равное сумме произведений её значений на соответствующие им вероятности: M(X)= .

Определение .Дисперсией D(X) случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения её возможных значений от её среднего значения.

Дисперсия находится по формуле: D(X)=

Методические рекомендации

Решение типового примера

Пример. Случайная величина Х задана законом распределения. Найти математическое ожидание, дисперсию и среде квадратическое отклонение:

Математическое ожидание M(X) вычисляем по формуле: M(X)= .

Получаем: M(X)=3 .

Для нахождения дисперсии воспользуемся формулами: D(X)=

и

Получаем: .

.

Среднеквадратическое отклонение находим по формуле: .

Получаем: .

Ответ: M(X)=6,72 D(X)=5,6816 .

Индивидуальное задание.(вариант соответствует номеру студента в журнале группы)

Случайная величина задана законом распределения:

Вычислить для X математическое ожидание M(X), дисперсию D(X), среднеквадратическое отклонение

Контрольные вопросы

1. Какой смысл имеет математическое ожидание?

2. В чём разница между дисперсией и средним квадратическим отклонением?

Для отчёта представить:

1. Решение индивидуального задания.

2. Письменные ответы на контрольные вопросы.

Критерии оценки:

1. «5» - выполнено 90-100% всех заданий;

2. «4» - выполнено 70-90% всех заданий;

3. «3» - выполнено 50-70% всех заданий;

4. «2» - выполнено менее 50% всех заданий.