Методическая разработка к уроку по теме "Усеченная пирамида", ФГОС, 10 класс

УСЕЧЁННАЯ ПИРАМИДА

Повторение

• Дайте определение пирамиды.
• Назовите элементы пирамиды.

S

D

С

О

А

В

Повторение

• Какая пирамида называется правильной?
• Как находится площадь боковой поверхности правильной пирамиды?
• Чему равна площадь полной поверхности пирамиды?
• Вспомним определение трапеции
• Какие виды трапеций вам известны?
• Как найти площадь трапеции?

Усеченная пирамида

Возьмем произвольную пирамиду РА 1 А 2 …А n .

S

В 1

В 3

В 2

Проведем секущую плоскость α , параллельную плоскости β основания пирамиды и пересекающую боковые ребра в точках В 1 , В 2 ,…,В n .

А n

А 1

А 3

А 2

Усеченная пирамида

Плоскость параллельная основанию пирамиды, разбивает её на два многогранника. Один из них является пирамидой, а другой называется усечённой пирамидой .

S

В 1

В 3

В 2

Усеченная пирамида – это часть полной пирамиды, заключенная между её основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию данной пирамиды

А n

А 1

А 3

А 2

Усеченная пирамида

Усечённая пирамида – многогранник, гранями которого являются два n – угольника А 1 А 2 … А n и В 1 В 2 … Вn , расположенные в параллельных плоскостях, и n – четырёхугольников А 1 В 1 В 2 А 2 , А 2 В 2 В 3 А 3 , … ,А n В n В 1 А 1.

В 1

В 3

Многоугольники А 1 А 2 А 3 … А n и В 1 В 2 В 3 … В n - нижнее и верхнее основания усечённой пирамиды

В 2

Основания

А n

А 1

А 3

А 2

Усеченная пирамида

Отрезки А 1 В 1 , А 2 В 2 , А 3 В 3 … - боковые ребра усечённой пирамиды

Четырёхугольники А 1 В 1 В 2 А 2 , А 2 В 2 В 3 А 3 … - боковые грани усечённой пирамиды.

В 1

Р

В 3

В 2

Отрезок РН – перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки верхнего основания к нижнему основанию – называется высотой усечённой пирамиды.

А n

Н

А 1

А 3

А 2

боковые грани усечённой пирамиды являются трапециями .

Докажите, что боковые грани усечённой пирамиды являются трапециями .

Рассмотрим четырехугольник А 1 В 1 В 2 А 2 .

1. α ║ β

(SА 2 А 3 ) ∩ α = А 2 А 3

(SА 2 А 3 ) ∩ β = В 2 В 3

Значит, А 2 А 3 ║ В 2 В 3

• 2. А 2 S ∩ А 3 S = S, значит А 2 В 2 ║ А 3 В 3

Т.о. А 1 В 1 В 2 А 2 – трапеция по определению

Аналогично доказывается и про остальные боковые грани.

S

В 1

Р

В 3

В 2

А n

Н

А 1

А 3

А 2

ПРАВИЛЬНАЯ УСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА

Усеченная пирамида называется правильной , если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию.

Высота боковой грани называется апофемой

НН 1

C

D

О

Н

A

B

D 1

С 1

Н 1

О 1

А 1

В 1

СВОЙСТВА ПРАВИЛЬНОЙ УСЕЧЕННОЙ ПИРАМИДЫ

C

D

Основания - правильные многоугольники .

Боковые грани – равные равнобедренные трапеции

О

A

B

D 1

С 1

О 1

А 1

В 1

ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ УСЕЧЁННОЙ ПИРАМИДЫ

Площадью полной поверхности усечённой пирамиды (Sполн) называется сумма площадей всех её граней: оснований и всех боковых граней.

Площадью боковой поверхности усечённой пирамиды (Sбок) называется сумма площадей её боковых граней.

А как найти площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды?

S полн.усеч. =S бок +S верхн.осн. +S нижн.осн.

ПЛОЩАДЬ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ УСЕЧЁННОЙ ПИРАМИДЫ

Найдем площадь одной из граней правильной n-угольной усечённой пирамиды.

α 1

Т.к. эта усечённая пирамида правильная, то

d

α 2

Домашнее задание

• № 267, 269
• Выучить записи в тетради + повторить

пирамиду и призму

• Дополнительная задача.

В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 22см и 6см, а высота-13см. Вычислите площадь полной поверхности пирамиды.