СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Скидки до 50 % на комплекты
только до

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Метод рационализации при решении показательных и логарифмических неравенств.

Категория: Алгебра

Нажмите, чтобы узнать подробности

Данная разработка предназначена для учеников 11 класса, которые готовятся к профильному ЕГЭ. При решении сложных показательных и логарифмических неравенств часто возникают трудности вычислительного характера. Метод рационализации значительно упрощает решение таких неравенств. В разработке представлена таблица перехода от показательных и логарифмических неравенств к рациональным. Приведены примеры решения таких неравенств.

Просмотр содержимого документа
«Метод рационализации при решении показательных и логарифмических неравенств.»

МЕТОД РАЦИОНАЛИЗАЦИИ

при решении логарифмических и показательных неравенств


При решении неравенств методом интервалов вычисление значений функции в промежуточных точках может вызвать трудности вычислительного характера. С другой стороны, для рациональных функций такие вычисления несколько проще.

Чтобы расширить возможности применения метода интервалов при решении неравенств, используется метод рационализации неравенств, известный в математической литературе под другими названиями: метод декомпозиции; метод замены множителей.

Метод рационализации заключается в замене сложного выражения на более простое выражение , при которой неравенство равносильно неравенству в области определения выражения . В этом случае говорят, что выражение является рационализацией (или рационализирующим выражением) для выражения . Этот метод позволяет довольно сильно упростить решение и вычисления. Здесь символ заменяет один из знаков .



  • Рассмотрим метод рационализации для решения показательных неравенств вида



Если бы мы решали данное неравенство классическим способом, то оно было бы равносильно совокупности:

По методу рационализации данное неравенство равносильно системе:

Покажем, что решения совокупности и системы совпадают.



Решение совокупности и системы полностью совпадают.



Приведём примеры решения показательных неравенств.

1. Решить неравенство

Используя метод рационализации, получаем систему неравенств:

Так как при любом значении , то дробь , если

. Решая второе неравенство методом интервалов, находим:

. Значит,





Ответ:



2. Решить неравенство

Преобразуем неравенство и применим метод рационализации:



Решая последнее неравенство методом интервалов, находим:



Ответ:



3. Решить неравенство

Преобразуем неравенство и применим метод рационализации:



4. Решить неравенство

Преобразуем неравенство и применим метод рационализации:



Ответ:









  • Рассмотрим метод рационализации для решения логарифмических неравенств вида

Заметим, что этот метод используется при решении неравенств с переменным основанием логарифма и позволяет решать неравенства такого вида без перехода к равносильной совокупности систем, решение которой является достаточно трудоёмким и требующим большого количества времени.

Если бы мы решали данное неравенство классическим способом, то оно было бы равносильно совокупности:

По методу рационализации данное неравенство равносильно системе:

Покажем, что решения совокупности и системы совпадают.

Решение совокупности и решение системы полностью совпадают.  



Приведём примеры решения логарифмических неравенств.



1. Решить неравенство

Преобразуем неравенство и применим метод рационализации.



Ответ:

2. Решить неравенство

Применим метод рационализации.



Ответ:



3. Решить неравенство

Применим метод рационализации.

Ответ:



4. Решить неравенство

Применим метод рационализации.

Ответ:



Если — многочлены, то метод рационализации позволяет перейти от показательного или логарифмического неравенства к рациональному, которое уже легко решается методом интервалов.  



Если – выражения с переменными, причём ; числа – фиксированные, , то выражения и имеют одинаковые знаки.

Выражение

Выражение



При использовании метода рационализации, удобно помнить алгоритм.

Алгоритм метода рационализации.

  1. Выписать условия, задающие ОДЗ исходного неравенства.

  2. Привести исходное неравенство к стандартному виду.

  3. Указать область допустимых значений для получившегося неравенства.

  4. Заменить все выражения на рациональные (используя таблицу перехода к рациональным выражениям).

  5. Решить полученное неравенство (как правило, методом интервалов).

  6. Записать ответ полученного неравенства.











3



Скачать

Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей

Вебинар для учителей

Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!